用向量的数积解几何题(高二、高三)     

王其钧 《数理天地(高中版)》2003,(5)

涉及角的一类几何题用向量的数积去处理,比较简捷.根据: 若a、b是非零向量,θ为它们的夹角,则特别地,设a=(x1.y1),b=(x2,y2),则  相似文献   

双线性函数的一个最值问题     

王江云 《兰州石化职业技术学院学报》1995,(1)

首先引入几个记号,介绍某些概念. 记全体实数为R,记平面上全体点为R~2,即R~2={(x,y):x,y∈R}。 凸集 设K是R~2上的一个点集,若任意两点X~(1)∈K,X~(2)∈K的连线上的一切点 a·X~(1) (1-a)·X~(2)∈K (0相似文献   

2019年高考浙江卷第21题的探究及教学启示     

《中学数学教学》2019,(4)

<正>2019年全国卷Ⅲ第23题是:设x、y、z∈R,且x+y+z=1.(1)求(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值;(2)若成立,证明:a≤-3或a≥-1.1 解法探究解法一 (1)设P0(x0,y0,z0)是平面α上的某一个定点,P(x,y,z)是平面α上的任意一点,n=(A,B,C)( 其中A2+B2+C2≠0)是平面α的一个法向量,从而,即A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0,若令D=-(  相似文献   

向量的性质及其应用     

郑兴明 《数学教学通讯》2003,(S6)

向量的性质常见于教材的例、习题中 ,但其应用是教材的薄弱内容 .同学们学习时应掌握下面性质的应用 ,以加深对向量知识的理解和掌握 .1若 e1、e2 是平面α内非零不共线向量 ,则对于α内任一向量 a,有且只有一对实数λ1,λ2 ,使得 a=λ1e1+λ2 e2 成立 ;2非零向量 a =( x1,y1) ,b =( x2 ,y2 )的数量积为a .b =x1x2 +y1y2 ;3设向量 a =( x1,y1) ,b =( x2 ,y2 ) ,b≠ 0 ,则 a∥b x1y2 - x2 y1=0 ;4设非零向量 a =( x1,y1) ,b =( x2 ,y2 ) ,则 a⊥b x1x2 +y1y2 =0 ;5非零向量 a =( x1,y1) ,b =( x2 ,y2 )的夹角θ满足 cosθ =cos〈a,b〉 =a .b|…  相似文献   

一道课本习题的教学价值     

郑观宝 《中学数学教学》2007,(3):6-8

课本中的例题和习题是所有教学材料中的精品,其教学价值是潜在的和不易被发现的.因此,教师要以一种超预期的、反思的眼光去理解这些例题和习题,只有这样才能充分、科学的发挥其教学价值.人教A版数学必修4第126页B组第3题:已知对任意平面向量AB=(x,y),把AB绕其起点A逆时针方向旋  相似文献   

问题解决与反思学习——谈一堂习题课的教学体会     

束云松  刘义军 《数学教学通讯》2003,(8)

一堂“基本不等式”的习题课上 ,老师提出这样一个问题 1:“若 x,y∈ R+,且 x + y =1,则 1x + 1y的最小值是 4,若 x,y∈ R+,且 1x + 1y =1,则 x+ y的最小值也是 4.那么若 x,y∈ R+,且 x +y = 1,则 1x + 4y 的最小值是不是与若 x,y∈R+,且 1x + 4y =1,则 x + y的最小值相同 ?为什么 ?”有的学生很快有了答案 ,有的学生怎么也做不出结果来 .老师问那些做出结果的同学 ,答案相同吗 ?学生 [1]说 :相同 .老师又问 :你是怎样求的 ?学生 [1]说 :因为 x,y∈ R+,且 x + y =1,所以 1x+ 4y=(1x+ 4y) (x + y) =5 + yx+4xy ≥ 5 + 2 yx .4xy =9(等号成…  相似文献   

用向量外积的概念解释共线向量的等价条件     

沈易 《中学数学月刊》2008,(1):36-37

在高中数学的向量部分,有两个在形式上颇为相似的重要知识点:其一,对于向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a⊥bx1x2 y1y2=0.其二,对于向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a∥bx1y2-x2y1=0.  相似文献   

非平行向量之旅     

孔德潜 《数学教学通讯》2010,(36)

已知向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),若x1y2-x2y1=0,则向量a与向量b平行.本文对x1y2-x2y1≠0,利用合情推理与演绎推理探索其几何意义,并利用此几何意义从全新的角度推导了点到直线的距离公式和两角和的正弦公式.  相似文献   

《相似形》解题中的常见错误剖析     

周宏文  包宁霞 《初中生世界(初三物理版)》2002,(Z2)

初中学生在学习《相似形》这一章时,常出现一些解题错误,现举例说明.1.若(x y)/z=(y z)/x=(z x)/y=k,则k=__.错解:2.分析:由条件易想到用等比性质来解题,而题中没有给出分母之和即x y  相似文献   

10道有关数学方法运用的模拟题     

李金辉  谢明春  庞磊 《高中生》2006,(14)

1.已知非空集合A=｛x｜x2-4mx 2m 6=0,x!R｝,若A∩R-≠!,求实数m的取值范围.(R-表示负实数)2.关于x的方程x3-3x2-a=0有3个不同的实数解,求实数a的取值范围.3.已知a!R,求函数y=(a-sinx)(a-cosx)的最小值.4.当n!N且n≥3时,求证:n 13 n 14 … 2n1 2>1130.5.已知定点(M-1,2),直线l1:y=(a x 1),曲线C:y=$x2 1,l1与C交于A,B两点.记线段AB的中点为N,直线l2经过M,N两点,且在x轴上的截距为m,将m表示成a的函数,并求此函数的定义域.6.已知向量u=(x,y)和向量v=(y,2y-x)的对应关系可用v=f(u)表示.(1)已知a=(1,1),b=(1,0),求f(a),f(b)的坐标.(2)求…  相似文献   

例谈两向量垂直的充要条件的应用     

屈瑞雨 《数学大世界(高中辅导)》2003,(5):17-18

高一数学第五章第六至第七节中提到两个向量垂直的充要条件、内容是:若a和b都是非零向量,则 (1)a⊥b(?)a·b=0. (2)a⊥b(?)x1x2+y1y2=0,其中a=(x1,y1), b=(x2,y2). 以上两个结论在本章占有很重要的地位,而且应用很  相似文献   

运用向量性质解答立几试题     

雷碧 《数学大世界(高中辅导)》2003,(5):13-14

向量的主要性质①向量的加法适合向量加法的三角形法则或平行四边形法则,即AB+BC=AC; ②若e1、e2是平面α内非零不共线向量,则对于α内任一向量a,有且只有一对实数λ1λ2,使得a=λ1 e1+λ2 e2成立; ③非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)的数量积为a·b=x1x2+y1y2; ④设非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b(?)a·b=x1x2+y1y2=0;  相似文献   

从一道高考模拟试题谈起     

程孝刚 《中学数学教学》2009,(3)

2009年合肥市高三第三次模拟考试数学(理)的第21题如下: 设向量i,j为直角坐标平面内的x轴、y轴正方向上的单位向量,若向量a=(x+1)i+yj,b=(x-1)i+yj,且|a+|+|b|=4.(1)求满足上述条件的点P(x,y)的轨迹C的方程;(2)过F(-1,0)任作一条与y轴不垂直的直线l交轨迹C于A、B两点,在x轴上是否存在点M,使得MF平分∠AMB?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.  相似文献   

对课本一道习题的反思     

蒋红雅 《数学教学研究》2008,(Z1)

课本习题一般是编者为了让同学们对新知识得到进一步的巩固而编拟的,具有一定的代表性、典型性.因而在学习中,我们要善于研究它们,发挥课本习题的价值.注意一题多解,比较方法;一题多样,推而广之;一题多改,突而破之.新教材苏教版选修2-1中第47页的第8题是下面的原问题.图1原问题如图1,直线y=x-2与抛物线y2=2x相交于A,B两点,O是坐标原点,求证:OA⊥OB.分析此问题涉及到抛物线的弦对其顶点张角的问题,学生多数用纯解析几何知识来解的.也可以用平面向量的知识来解决题.1问题的另解证明设A(x1,y1),B(x2,y2),将y=x-2代入y2=2x,得x2-6x+4=0.由韦达定理得x1+x2=6,x1x2=4,y1y2=(x2-2)(x2-2)=x1x2-2(x1+x2)+4=-4.OA=(x1,y1),OB=(x2,y2)则OA·OB==x1x2+y1y2=0,OA⊥OB,即OA⊥OB.2问题的推广原问题中,直线AB与x轴的交点(2,0)的横坐标恰好是抛物线的参数p的两倍,将其推广为一般.变题1若直线l过定点(2p,0)且与抛物线y2=2px(p>0)交于两点,求证:OA⊥OB.证明设A(x1,y1),B...  相似文献   

2014年高考数学必做创新题     

章少川 《数学教学通讯》2014,(Z3):124-128

第1点运算定义型()必做1定义平面向量的一种运算:ab=|a|·|b| sin〈a,b〉,则下列命题:1ab=ba;2λ(ab)=(λa)b;3(a+b)c=(ac)+(bc);4若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab=|x1y2-x2y1|.  相似文献   

向量形式的三角形面积公式及应用     

李宝华 《数学教学研究》2007,(2):38-39

本文结合示例介绍一个简单的向量形式的三角形面积公式.结论三角形ABC中,若AB=(x1,y1),AC=(x2,y2),则三角形ABC的面积S=21|x1y2-x2y1|.证明因AB=(x1,y1),AC=(x2,y2),则cosA=AB·AC|AB||AC|=x12x1 x2y12 y1xy222 y22.∵0相似文献   

向量导数巧求最值     

彭光焰 《中学理科》2007,(12):10-12

恰当地应用好向量和导数,许多最值问题便迎刃而解,并且利用向量和导数来求最值,容易被学生接受.为了便于比较.一、用|a||b|≥a.b求最值例1已知x,y,z∈R ,且x y z=1,求x1 4y z9的最小值.解:令a=(1x,2y,3z),b=(x,y,z),则|a|2=1x 4y 9z,|b|2=1,(a.b)2=(1 2 3)2=36.由|a|2|b|2≥(a.b)2得,1x 4y 9z≥36,当且仅当1x=2y=3z时等号成立,即x=16,y=31,z=21.∴1x 4y 9z的最小值为36.例2已知ai,bi∈R ,且∑ni=1ai=∑ni=1bi=1,求a1a 12b1 a2a 22b2 … ana 2nbn的最小值.解析:令p=(a1a1 b1,aa2 2b2,…,anan bn,q=(a1 b1,a2 b2,…,an bn),则|p|2=a1a 21b1 a…  相似文献   

反函数问题常见误区剖析     

张汉川  张春辉 《数学教学研究》2008,(Z1)

反函数是中学数学教材中的难点之一,在教学中我们常会遇到对反函数定义理解不深不透、解题思路不清、解答步骤不全等错误,严重影响学生对这部分知识的掌握.下面本人将以函数中常见的几种典型错误进行剖析,与同行磋商.误区一:忽视函数存在反函数的条件案例1函数y=x2(x∈R)是否存在反函数,若存在,求反函数;若不存在,说明理由.错解函数存在反函数.当x≥0时,由y=x2得x=y,所以x≥0时,反函数为y=x(x≥0);当x<0时,由y=x2得x=-y,所以x<0时,反函数为y=-x(x>0).剖析忽视函数存在反函数的条件,从而盲目地进行分类讨论求反函数.正解∵y=x2(x∈R)不是一一对应函数,∴y=x2不存在反函数.解后反思只有从定义域到值域上的一一映射所确定的函数才有反函数.误区二:错解反函数的解析式案例2求函数y=3x2-1(x≤0)的反函数的表达式.错解由y=3x2-1,得x2=(y+1)3,∴x=(y+1)3或x=-(y+1)3,∴反函数的表达式为y=(x+1)3或y=-(x+1)3.剖析在求解过程中没有考虑原函数中x≤0这个条件导致出现两个答案的错误.正解由y=3x2-1,得x2=(y+1)3,∵x≤0,∴x...  相似文献   

空间向量法巧解立几题     

黄春莹 《中学理科》2007,(12):13-16

在高考指导中,大胆引进B版本教材的空间向量内容,且对这部分进行一定的挖掘,看似多花了时间,却体现了通解通法.“磨刀不误砍柴工.”学生乐于接受,教学效果也很好,就连平时很惧怕立几的学生,也都能信心十足.下面谈谈本人在教学中的具体做法.一、引进空间向量的内容,不必一一介绍,但应掌握如下几个公式的应用:①两直线所成角的求法向量AB和CD所成的角记为〈AB,CD〉,若AB=(x1,y1,z1),CD=(x2,y2,z2),则cos〈AB,CD〉=AB.CD|AB|.|CD|=x1.x2 y1.y2 z1.z2x12 y21 z12.x22 y22 z22=a.所以直线AB和CD所成的角为arccos|a|.特别地:AB⊥CD …  相似文献   

陈题新解一例     

刘兴东 《数学教学通讯》1998,(2)

题:求函数 y=(x~2-x 1)/(x~2 x 1)的值域. 很多复习资料上都有这道题,一般都是用根的判别式法来解.仔细推敲题型结构,不难发现一些新的解法.解法一:y=(x~2 x 1-2x)/(x~2 x 1)=1-(2x)/(x~2 x 1)  相似文献