点到直线距离公式的推导真的很繁琐吗?     

李锋  王凤华 《中学数学杂志》2008,(3):25

设点P(x_0,y_0),直线l:Ax+By+C=0,求点P(x_0,y_0)到直线l:Ax+By+C=0距离公式的推导无论是原来的旧教材还是现在的新课标教材,都指出由点P(x_0,y_0)向直线l作垂线,垂足为Q,求出Q  相似文献   

点到直线的距离公式的简化证明     

邵剑波 《数学教学通讯》1999,(5)

《平面解析几何》教材中关于点到直线的距离公式的证明较为复杂,本文给出一个简化证明,供大家参考,本证明的核心在于对垂足的处理.证明:已知点 P(x_0,y_0)和直线 l:Ax By C=0,先设 A≠0,B≠0,又设点 P 到直线 l 的垂线为 l′,垂足为 Q(x_1,y_1),由l′⊥l 可知l′的斜率为(B/A)。所以  相似文献   

一道试题引出圆锥曲线一个有趣的向量性质     

林新建 《数学教学》2007,(11):19-20

2007年福建省高考理科第20题为:如图1,已知点F(1,0),直线l:x=-1,P为平面上的动点,过P作直线l的垂线,垂足为Q,且(?)·(?).(Ⅰ)求动点P的轨迹C的方程;(Ⅱ)过点F的直线交轨迹C于A、B两点,交直线l于点M,已知(?)=λ_1(?)=λ_2(?),求λ_1 λ_2的值.  相似文献   

“点到直线的距离”的教学设计     

刘煊藩 《数学教学》1998,(1)

怎样求点P(x_0,y_0)到直线l∶Ax By C=0的距离?课本先介绍纯解析的方法:求过P且垂直于l的垂线l′与l的交点即垂足Q的坐标.由此即可据两点距离公式求出|PQ|即P到直线l的距离.接着课本又指出:“这个方法虽然思路自然,但是运算很繁,下面介绍  相似文献   

三点共线的等价命题类     

《中学数学教学参考》2007,(17)

从平面几何到代数、立体几何和解析几何,证明三点共线的命题、方法、技巧,实在不少,它们都可以归结为等价命题.(1)P、Q、R 三点共线(在同一条直线上).(2)P 在直线 QR 上.(3)P 到直线 QR 的距离为0.(4)P、Q、R 都是平面α与β的公共点.(5)P、Q、R 是△ABC 外接圆上一点分别在直线AB、BC、CA 上的射影.(6)S_(△PQR)=0。(7)三点 P、Q、R 在直线 AB 同侧,且 S_(△PAB)=S_(△QAB)=S_(△RAB).(8)线段 PQ、QR、PR 中,有两条之和等于第三条.(9)k_(PQ)=k_(PR).(10)若直线 PQ 的方程为 Ax By C=0,则直线 PR 的方程为 kAx kBy kC=0(k≠0为常数).若设三点 P、Q、R 的坐标分别为(x_1,y_1)、(x_2,y_2)、(x_3,y_3),则有(11)(x_3,y_3)满足方程(x-x_1)/(x_2-x_1)=(y-y_1)/(y_2-y_1).(12)设λ_1=(x_1-x_2)/(x_2-x_3),λ_2=(y_1-y_2)/(y_2-y_3),则λ_1=λ_2.  相似文献   

对一道几何问题的反思     

彭长亮 《中学生数理化(高中版)》2004,(11):5-6

今有一道题: 已知平面上一定点C(-1,0)和一定直线l:x=-4,P为该平面上一动点,作PQ⊥l,垂足为Q,(PQ 2PC)·(PQ-2PC)=0. (Ⅰ)问:点P在什么曲线上?求出该曲线的方程. (Ⅱ)点O是坐标原点,A、B两点在P的轨迹上,若OA λOB=(1 λ)OC,且λ＞0,求λ的取值范围.  相似文献   

用定比分点公式解不等式问题     

陈天雄 《中学理科》1994,(12)

我们知道,若P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2),P(x,y),且P分P_1P_2的比为λ(λ=-1),见y=y_1 λy_2/1 λ或λ=y-y_1/y_2-y。由公式易得: 1°.λ>0(?)y介于y_1、y_2之间。  相似文献   

平面上两点关于直线或二次曲线位置关系的判定     

单文海 《中学数学月刊》1998,(3)

设P_1（x_1,y_1),P_2（x_2,y_2）是坐标平面上的两点,直线L的方程为f(x,y) =ax by C=0,二次曲线G的方程为 F（x,y）=Ax~2 Bxy Cy~2 Dx十Ey十F=0.1 若记直线P_1P_2与直线L的交点为P（x,y）,并且P点分所成的比为λ（λ≠-1).则 x=(x_1 λx_2)/(1 λ),y=(y_1 λy_2)/(1 λ).代入方 程f（x,y）=0得:a（x_1 λx_2） b（y_1 λy_2） c（1 λ）=0,即ax_1 by_1 c λ(ax_2 by_2 c)=0.  相似文献   

每期一题     

柯连平  张必华 《中学数学教学》1992,(6)

题:若抛物线y=ax~2- 1(a≠0)上存在关于直线l:x y=0对称的两点,试求a的范围。解法1(判别式法)设抛物线上关于直线l对称的相异两点分别为P、Q,则PQ方程可设为y=x b。由于P、Q两点的存在,所以方程组 y=x b 有两组不相同的实数 y=ax~2-1 解,即可得方程: ax~2-x-(1 b)=0 ①判别式△=1 4a(1 b)>0 ②又设P(x_1,y_1),Q(x_2,y_2),PQ中点M(x_0,y_0)。由①得x_0=x_1 x_2/2=1/2a,y_0=  相似文献   

一道高考题引出的圆锥曲线的一个性质     

黄俊峰  袁方程 《河北理科教学研究》2013,(3)

2007年福建省理科20题:如图1,已知点F(1,0),直线l:x=-1,P为平面上的动点,过P作直线l的垂线,垂足为点Q,且→QP· →QF=→FP·→FQ. (Ⅰ)求动点P的轨迹C的方程; (Ⅱ)过点F的直线交轨迹C于A,B两点,交直线l于点M,已知MA=λ1AF,MB=λ 2 BF,求λ1+λ2的值. 我们很容易求出本题第(Ⅱ)问λ1+λ2为定值0,那么在一般情况下,在其他圆锥曲线中是否也是定值.对此我们做了研究,得到了下面的定理.  相似文献   

求三角形面积的一个公式     

杨继武 《中学教研》1993,(8)

定理已知点P(a,0)、Q关于直线l:Ax+By+C=0对称,点R(x_0,y_0)是直线PQ外一点,则证明:设Q坐标为(X,Y)。∵直线PQ和直线l互相垂直, ∴ Y-b/X-a=B/A,即 BX-AY=Ba-Ab. (1)又∵ P、Q关于直线l对称,且在l的两侧, ∴ AX+BY+C=-(Aa+Bb+C),即 AX+BY=-(Aa+Bb+2C). (2) 将(1)、(2)联立,可得如下关于X、Y的线性方程组: BX-AY=Ba-Ab, AX+BY=-(Aa+Bb+2C),解之得X=Au+a, u=-2(Aa+Bb+C)/A~2+B~2 Y=Bu+b, ∴点Q坐标为(Au+a,Bu+b).  相似文献   

线段的定比分圆     

《中学数学教学参考》2007,(23)

定义若圆上任一点到点 A 的距离与到点 B 的距离的比恒为常数λ(λ>0,λ≠1),则称该圆分有向线段()所成的比是λ;该圆称为有向线段()的定比分圆.定理设 A(x_1,y_1)、B(x_2,y_2)是定点,一个圆分有向线段()所成的比是λ,则该圆的圆心坐标是 x_0=(x_1-λ~2x_2)/(1-λ~2),y_0=(y_1-λ~2y_2)/(1-λ~2),半径是 r=λ|1-λ~2|·|AB|.证明:设 P(x,y)是圆上的动点,由 |PA|/|PB|=λ得(x-x_1)~2 (y-y_1)~2=λ~2[(x-x_2)~2 (y-y_2)~2],经整理,得x~2 y~2-2x·(x_1-λ~2x_2)/(1-λ~2)-2x·(y_1-λ~2y_2)/(1-λ~2)=(λ~2x_2~2 λ~2y_2~2-x_1~2-y_1~2)/(1-λ~2),配方并化简整理,得  相似文献   

圆锥曲线中的对称问题     

《中学生数理化(高中版)》2017,(12)

<正>在圆锥曲线的考查中,我们经常会遇到这样的一类问题:圆锥曲线上存在两点关于某条直线对称,求参数的取值范围。这类问题的解法是:设P(x_1,y_1),Q(x_2,y_2)是圆锥曲线上关于直线y=kx+b(k≠0)对称的两点,PQ的中点为M(x_0,y_0),则PQ的方程为y=-1/kx+m,利用点差法、中点坐标公式求得中点坐标,再根据中点与圆锥曲线的位置关系求解。例1已知抛物线C:y²=x与直线l:  相似文献   

一道高考题的探究性教学     

李两火 《福建中学数学》2007,(10)

教学实录(多媒体演示2007年福建省省高考理科数学试卷第20题)如图,已知点F(1,0),直线l:x=?1,P为平面上的动点,过P作直线[?5,7]的垂线,垂足为点Q,且QP?QF=FP?FQ.(Ⅰ)求动点P的轨迹C的方程;(Ⅱ)过点F的直线交轨迹C于A,B两点,交直线l于点M,已知MA=λ1AF,MB=λ2BF,求λ1 λ2的值.学生很快完成(Ⅰ)题,笔者请一名学生到黑板把(Ⅰ)题的解答过程写出来:生1解:(Ⅰ)设点P的坐标为P(x,y),则Q(?1,y),由QP?QF=FP?FQ可得:(x 1,0)?(2,?y)=(x?1,y)?(?2,y,化简得C:y2=4x.师这位同学把题设的向量关系直接转化为坐标的形式,通过化简求得动点P轨…  相似文献   

二次曲线的一组统一性质     

胡芳举 《中学数学教学参考》2006,(11)

笔者最近得到了二次曲线的一组统一性质,现介绍如下,供读者参考.定理1 点 N(x_0,y_0)不在二次曲线 ax~2+by~2=1上,过 N 任作一直线,交曲线于 A、B 两点,交直线l:ax_0x+by_0y=1于点 M(异于点 A、B),设=λ_1,=λ_2,则λ_1+λ_2=0.证明:如图,设点 A(x_1,y_1)、M(m,n).由条件=λ_1知点 A 分向量所成的比为λ_1.  相似文献   

探索点到直线距离公式的七种方法     

徐树成 《数理化解题研究》2005,(10):20-21

问题 已知点P（x0，y0）是直线l：Ax＋By＋C=0外一点，求点P到直线l的距离.思路1 先由方程思想求出过点P向直线l作垂线时垂足Q（m，n）的坐标，再根据两点间的距离公式求｜PQ｜．  相似文献   

每期一题     

程序 《中学数学教学》1989,(6)

题:从射线OB与圆x~2 y~2=2ax的交点B向Ox轴作垂线BC,C为垂足,求C在OB上射影的轨迹方程。解一:选取过定点的动直线斜率为参数。如右图,设直线OB斜率为k(k为参数),OB直线方程为y=kx, y=kx由 { x~2 y~2=2ax, x_1=0 x_2=2a/(1 k~2) ∴ { { y_1=0 y_2=2ak/(1 k~2) 则C(2a/(1 k~2),0)  相似文献   

用向量求点线距离(高一、高二、高三)     

瞿高海 《数理天地(高中版)》2003,(4)

直线方程Ax+By+C=0一次项系数的几何意义:向量(A,B)是直线Ax+By+C=0的法线方向.设点p坐标为(x1,y1),直线l的方程是Ax+By+C=0,过点P作直线l的垂线,垂足为D,线段PD的长度是点P到直线l的距离。  相似文献   

再谈一条美妙性质     

张定胜 《中学数学研究(江西师大)》2006,(4):17

文[2]对文[1]作了推广,文[2]中定理如下:定理:过圆锥曲线准线上一点,作该曲线的两条切线,两切点所在直线过相应焦点(其中双曲线准线上的点应在两渐近线之间).笔者受其启发,对文[2]再作推广如下:定理:直线z与圆锥曲线无交点,P∈l,过P若存在两条直线与圆锥曲线相切,则两切点所在直线恒过定点,并以该定点为中点的弦平行于直线 l.证明:设直线 l 方程:Ax By C=0(C≠0),两切点为 M(x_1,y_1),N(x_2,y_2),P(x_0,y_0).  相似文献   

点到直线距离公式的四种证法     

邵明岗 《中学数学教学》1995,(Z1)

点到直线的距离公式是解析几何重要公式之一。教学中,笔者发现除书中介绍的证法外,还有以下四种证法,现介绍如下: 问题:已知点P（x_0,y_0）和直线L:Ax By C=0,求证:点P到直线L的距离公式为: d=|Ax_o By_o C|/(A~2 B~2)~(1/) 1.整体代入法 证明 设点P到直线L的垂线为L＇,垂足为Q（x,y）.∵L⊥L＇,∴L＇的方程为:B（x-x_o）-A（y-y_o）=0, 点Q的坐标（x,y）满足方程组:  相似文献