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一、问题的提出一元二次方程ax~2+bx+c=0,其中a、b、c均为实数,其解为:x_(1,2)=(-b±(b~2-4ac)~(1/2))/2a 我们知道,在实数范围内,当b~2-4ac>0时,方程有两个不同的实数解;当b~2-4ac=0时,方程有两个相同的实数解(或有一个二重实数解)。其解的几何解释分别如图1中(a)、(b)所示。 相似文献
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罗增儒 《中学数学教学参考》2004,(7):24-26
2 .2 形与数解法间的对应上面各图形解法 ,实际上已在叙述中显示了相应的代数含义 ,此处再作一集中的描述 .(1 )图 6所提供的解法 ,最反映题目本质的步骤是不等式③ ,将图形用向量或复数表示出来就是|MD| |DF| |FN|≥ |MD DF FN .证明 2 :作复数z1=a bi,z2 =b ci,z3=c ai,由 |z1| |z2 | |z3|≥ |z1 z2 z3|,得a2 b2 b2 c2 c2 a2≥ (a b c) 2 (b c a) 2=2 (a b c) .把三个复数及其运算表示在复平面上 (如图 8) ,所得到的等腰直角△OFE其实就是图 7中的等腰直角△MRN ,折线OADE就是图 7中折线MDFN ,线段OE就是图 7… 相似文献
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邬天泉 《数理天地(高中版)》2005,(11)
四个阻值不同的电阻,按照图1、图2两种不同的方式连接后,哪一种的电阻较大呢? 设图1、图2的电阻分别为R1、R2,则R1=((a b)(c d))/(a b c d), R2=ac/(a c) bd/(b d). 取特殊值检验: 相似文献
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婆什迦罗是12世纪印度著名的大数学家。他编的许多数学题被人称为“印度问题”,在世界各地广为流传。其中婆什迦罗关于著名的“勾股定理”的独特证明就为众多数学迷津津乐道。大家都知道“勾股定理”的内容是:直角三角形的两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方(a2﹢b2=c2)。古往今来,“勾股定理”的证明方法层出不穷,其中婆什迦罗的证明最为奇特。他只画了如下两张图,就把勾股定理给证明出来了。你能看懂这是什么意思吗?c原来啊,婆什迦罗是用(1)、(2)两图表示了一个奇妙的转换,从而进行了直观明了的证明。具体的思路是:用(1)图中四个直角三角形,即图形的阴影部分,拼成图(2)中的两个矩形(也是阴影部分)。而图(1)中的小正方形直接移到(2)的右上角。很明显,两图的面积是相等的。同时注意到,图(2)补上虚线AB后,图形就被分割为两个正方形,面积分别为a2、b2;而图(1)的面积明显是c2,因此有a2﹢b2=c2。怎么样,这个证明是不是很简洁?本栏责任编辑梁为奇异的证明@林格 相似文献
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一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),当有一个根是“1”时,根据方程根的定义得a+b+c=0,反之,如果a+b+c=0时,方程的根又分别是什么呢?证明:∵a+b+c=0∴b=-a-c则ax2+bx+c=0变为ax2+(-a-c)x+c=0可分解为(ax-c)(x-1)=0解得:x1=1x2=ac也就是方程ax2+bx+c=0(a≠0)中,当a+b+c=0时,有一个根是1,另一个根是c/a,借这个特殊性质来巧解题。1、巧求一元二次方程的两个根例1解关于x的方程:mx2-(m-n)x-n=0(m≠0)解:∵m-(m-n)-n=0∴x1=1x2=-(mn).2、巧求代数式的值已知:一元二次方程(ab-2b)x2+2(b-a)x+2a-ab=0有两个相等的实数根,求1a+1b的值。解:方程(ab-2b)x2+2… 相似文献
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当a,b,c都是整数时,二元一次方程 ax+by=c (ab≠0)的整数解有下面两个简单性质: 1.若a,b的最大公约数d不能整除c,则方程(1)没有整数解. 相似文献
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数学教学活动中图形演示的意义 总被引：1，自引：1，他引：0
数学教学过程是再现数学知识发生的过程 ,是揭示数学对象内在联系的过程。图形的演示可使上述过程形象化 ,找出变化规律 ,找出变与不变之因素 ,从而发现问题的内在联系 ,有利于学生掌握知识 .1 证明恒等式有些恒等式可用图形来证明 .图 1(1)～ (3)的 3个图形分别用大正方形的面积进行不同分割 ,得到了 3个恒等式 .分析 :图 1(1) : = =ab, =a2 , =b2 .大正方形的面积 (a b) 2等于 ,即 (a b) 2 =a2 b2 2 ab;图 1(2 ) : = =12 (a b) (a - b) , =b2 .大正方形的面积 a2 等于 ,即 a2 - b2 =(a b) (a - b) ;图 1(3)… 相似文献
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杨燕 《初中生世界(初三物理版)》2002,(18)
中考试卷中,考查基础的试题约占60％～70％.为了考查学生对基础知识的掌握情况,许多试卷特别设计了一些易做又易错的试题.这就要求同学们周密思考,不被试题所设的“陷阱”所迷惑.(下列例子均引自2001年备地试卷)了x≠0的条件,∴a2x/bx=a2/b正确。例2 下面是某同学在一次测验中解答的填空题:(1)若x2=a2,则x=a。(2)方程2x(x-1)=x-1的解为x=0。(3)若直角三角形有两边长分别为3和4,则第三边长为5.其中答案完全正确的题目个数为( ).(A)0个(B)1个(C)2个 (D)3个(重庆市)错解1:(B);错解2:(C);错解3:(D).分析:本题给出的三题全错,题(1)求a2的平方根,应答±a;题(2)解方程,两边不能除以(x-1),方程的根应为:x=0或1;题(3)已知两边没有指明是直角边,4也可为直角三角形的斜边.答案应为5或7.故应选(A).例3若不等式组的解集是x>a,则a的取值范目是( ).A.a<3 Ba=3 C.a>3 D.a≥3(湖北省荆州市)错解:(C).分析:错解漏掉一个解:a=3.应边(D).例4已知abc≠0并且a/(b c)=b/(c a)=c/(a b)=k=__.(湖北省孝感市)错解:∵abc≠0.∴a、b、c均不为零.由等比性质知:k=(a b c)/(b c) (c a) (a b)=(a b c)/2(a b c)=1/2.分析:本题应用等比性质,须有条件a b c≠0,本题虽有abc≠0的条件,但未明确给出这个条件.须分a b c≠0和A B C=0分别讨论.正解:当a b c≠0时,有如上结论,k=1/2;当a b c=0时,a=-(b c),∴k=a/(b c)=-(b c)/(b c)=-1.k=1/2或-1.例5若实数a、b满足a2-8a 5=0,b2-8b 5=0,则(b-1)/(a-1) (a-1)/(b-1)的值为( ).(A)-20(B)2(C)2或-20 (D)2或20(湖北省十堰市)错解:由已知,a、b方程x2-8x 5=0的两实根,由韦达定理,可得a b=8,ab=5进而可得(A-1) (b-1)=6,(A-1)(b-1)=AB-(a b) 1=5-8 1=-2.∴选(A).分析:本题判断a、b在是方程x2-8x 5=0的根是正确的.因△=(-8)2-4×5>0,a、b作为方程的两解,显然有a≠b;本题还有a=b的,即a、b同是方程的某一个根的可能.错解忽视了后一种可能.正解:当a≠b时,得(b-1)/(a-1) (a-1)/(b-1)=-20,解如上;当a=b时,(b-1)/(a-1) (a-1)/(b-1)=1 1=2。∴(b-1)/(a-1) (a-1)/(b-1)的值为-20或2。例6 已知:关于x的函数的图象与x轴总有交点,求a的取值范围.(湖北省十堰市)错解:由二次函数及其相关性质知,应满足a2 3a 2≠0且△=(a 1)2-(a2 3a 2)≥0,化简可得a<-1且a≠-2.分析:已知条件并未指明函数一定是二次函戮,其实当a=-2时,函数成了y=-x (1/4),此时是一次函数,与x轴也有交点.因此a的取值范回应为a<一1.例7 阅读下题及证明过程.已知:BE、CF为△ABC的两条中线,且BE=CF.求证:△ABC为等腰三角形.证明:在△ABC与△ACF中,∵AE/AC=AF/AB=1/2,∠A=∠A,∴△ABE≌△ACF又∵BE=CF,∴△ABE≌△ACF.∴AB=AC.即△ABC为等腰三角形.问:上面证明过程是否正确?若正确,请写出每一步推理的根据;若不正确,请指出错在哪一步,并写出你认为正确的证明过程.(四川省广元市)错解:上面证明过程正确.推理的依掘是:①相似三角形判定定理;②有一组对应边相等的相似三角形全等;③等腰三角形定义.分析:本题证明不正确,错在第①步,虽AD/AC=AF/AB=1/2成立,但是它不是△ABE和△ACF的对应边之比,不能作为判定这两个三角形相似的依据.本题可以过样解:连接EF.∵BE、CF为△ABC的两中线,∴E、F是AC、AB的中点,∴FE∥BC.∵BE=CF,∴四边形FBCE是等腰梯形.∴FB=EC,即1/2AB=1/2AC.∴AB=AC.∴△ABC是等腰三角形.∴△ABC是等腰三角形.(本题还有其他证法,请读者探索.)例8 瓜果基地市场部为指导该基地某种蔬菜的生产和销售,在对历年市场行情和生产情况进行了调查的基础上,对今年这种蔬菜上市后的市场售价和生产成本进行了预测,提供了两个方面的信息,如图甲、乙.注:甲、乙两图中的每个实心黑点所对应的纵坐标分别指相应月份的售价和成本,生产成本6月份最低;甲图的图象是线段,乙图的图象是抛物线段.请你根据图象提供的信息说明:(1)在3月份出售这种蔬菜,每千克的收益是多少元?(收益=售价-成本)(2)哪个月出售这种蔬菜,每千克的收益最大?说明理由.(浙江省金0布、衢州市)错解:(1)3月份每千克收益为5-4=1(元);(2)从图乙看出,生产成本6月份最低,因此6月份收益最大,6月份蔬菜售价是每千克3元,成本是每千克1元,因此6月份收益是每千克2元.分析:以上第(1)题正确,第(2)小题的解被表面现象所迷惑.应当先求出收益与月份之间的函数关系式再定.正解:(2)设图甲的函数关系为y1=kx b,图乙的函数关系为y2=a(x m)2 n,每千克的收益为y(元).将图甲的已知点(3,5),(6,3)代入y1.可得y1=-2/3x 7;将图乙的顶点(6,1)和点(3,4)代入y2,可得y2=1/3(x-6)2 1.∴y=y1-y2=-(2/3)x 7-(1/3)(x-6)2-1=-(1/3)(x-5)2=(7/3),可知当x=5时,y值最大,即5月份出售这种蔬菜时,每千克的收益最大. 相似文献
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刘申强 《中学课程辅导(初二版)》2005,(11):21-21
一、巧用图形证明公式例1如图1,你能否用下面的图形(可重复用)验证(a b)2=a2 2ab b2公式,若能,请画出图形并证明;若不能,请说明理由.解:能.拼图方案如右图2,由于大正方形面积为 相似文献
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我们知道,因式分解可以用矩形纸片拼成的图形面积来解释.例如,ma mb mc=m(a b c),它可以由三个小矩形拼成的一个大矩形来形象地解释又(如如图,公1)式.a2-b2=(a b)(a-b),可以由边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形的图形,剪拼成一个长为a b,宽为a-b这的种矩矩形形来拼解 相似文献
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宋文平 《数理天地(初中版)》2003,(6)
本文介绍一次不定方程(组)整数解的判定和求法. 1.如何判定整系数方程ax+by=c有无整数解定理1 整系数方程ax+by=c如果有整数解,则必有(a,b)|c;反之,如果(a,b)|c,则该方程有整数解.((a,b)表示a、b的最大公约数;(a,b)|c表示(a,b)整除c). 相似文献
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1999年 1 2月第十四届江苏省初中数学竞赛中有一道试题 ,该题内容新颖 ,构思巧妙 ,解法多样 ,思路宽广 ,富有启发性 ,很受参赛者和辅导老师的欢迎 .该题是 :已知 :a,b,c,d是四个不同的有理数 ,且 (a c)(a d) =1 ,(b c) (b d) =1 ,那么 (a c) (b c)的值是 .本文先介绍该题的五种不同解法 ,再从解法中得到新的启示 ,剖析该题的进一步的性质 .解法 1 因 (a c) (a d) =1 ,1(b c) (b d) =1 . 2由 1 - 2可得(a2 - b2 ) (a- b) (c d) =0 ,又因 a≠b,可得 a b c d=0 ,即 a c=- (b d) .0于是(a c) (b c) =- (b d) (b c) =- 1 .解法 2 因是填空题 ,… 相似文献
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如图1:T是锐角三角形,矩形R、S的一部分内接于T,设A(x)表示图形x的面积,求:A(R)+A(S)/A(T)的最大值。这是1987年上海市中学数学竞赛第二试第一题。本文将给出这个题目的解法及结论的推广。解:如图1,作锐角三角形T的高BD,设T的底边为a,矩形R、S的长、宽分别为b、x,c、y,顶端三角形的高为z。根据三角形相似得:b/a=(y+z)/(x+y+z),c/a=z(x+y+z)于是b=(y+z)/(x+y+z)a,c=z/(x+y+z)a故(A(R)+A(S))/A(T)=2(bx+cy)/a(x+y+z) 相似文献
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严勤华 《数学大世界(高中辅导)》2005,(6):28-28
在数学中,运用联想类比的方法能够获得意外的收获,这有助于提高我们对数学学习的兴趣,同时还可以激发我们的思维.下面是我在一次做题过程中的发现:题:已知向量a,b,c,满足｜a｜=r1,｜b｜=r2,｜c｜=r3,且a b c=0试求,a·b a·c b·c解析:注意用到a·a=｜a｜2∵(a b c)2=｜a｜2 ｜b｜2 ｜c｜2 2(a·b b·c a·c)=r12 r22 r32 2(a·b b·c a·c)又∵a b c=0,∴(a b c)2=0∴a·b a·c b·c=-12(r12 r22 r32)图1由此题条件a b c=0我们联想到三角形,如图1,并且a·b=｜a｜·｜b｜cos… 相似文献
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第一试 一、选择题(满分42分,每小题7分)1 .已知abc≠0 ,且a b c=0 ,则代数式a2bc b2ca c2ab的值是( ) .A .3 B .2 C .1 D .0标准答案:原式=-(b c)·abc -(c a)·bca -(a b)·cab =…=3 ,选A .别解1 :∵a3 b3 c3-3abc =…=(a b c)(a2 b2 c2 -ab-bc-ca) =0 ,∴a3 b3 c3=3abc.∴原式=a3 b3 c3abc =3 .别解2 :取a =b=1 ,c=-2 .下略.2 .已知p、q均为质数,且满足5 p2 3 q =5 9,则以p 3 ,1 -p q ,2 p q -4为边长的三角形是( ) .A .锐角三角形 B .直角三角形C .钝角三角形 D .等腰三角形标准答案1 :… 相似文献
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众所周知,二元一次不定方程ax by=c(ab≠0)有整数解的充要条件是(a,b)|c。故,当(a,b)|c时,这个方程有解;当(a,b)(?)c时,方程无解。解这种方程通常的步骤是: (1)求(a,b),判断方程是否有解; (2)用辗转相除法求出特解(x_0,y_0); (3)用公式写出通解。其中步骤(2)要在辗转相除后,将最后的余数逐 相似文献
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本文结合例题介绍特征分析思想的应用.1关系式特征数学竞赛题中,常会给出一些关系式,有的时候可恰当地转化关系式的形式,使之与我们学过的某些知识建立起联系,从而找到解题的切入点.例1已知a、b、c为△ABC的三边长,且满足a2=b2 bc.求证:∠A=2∠B.分析:考虑到已知条件给出的关系式的特征a2=b2 bc=b(b c),a.a=b.b b.c.比较这两种特征,我们可以联想到相似三角形中的比例关系,同时可以构造图形来解此题.图1证明:如图1,延长CA到D,使得AD=AB=c,则CB2=CA.CD.所以,CB为△ABD的外接圆过点B的切线.注意到∠ABC=∠ADB=∠ABD,故即∠A=2∠B… 相似文献