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在初中《几何》课本第二册116页有这样一道习题: 在△ABC中,E是内心,∠A的平分线和△ABC的外接圆相交于点D.求证:DE=DB=DC. 这道题看似平常,但它揭示了三角形内心的一条重要性质,许多数学竞赛题都是由它发展、演变而成的.因此,熟练地掌握这 相似文献
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文[1]、[2]、[3]等给出了外角平分线构成的三角形几个有趣的性质,本文得到定理如图,△DEF是△ABC三条外角平分线构成的三角形,设BC=a,CA=b,AB=c,2s=a+b+c,I为△ABC的内心,且DI=x,EI=y,FI=z,△ABC的外接圆和内切圆半径分别为R、r,则4sin2sin2sin2x A=y B=z C=R(1)首先给出一个引理.引理设I为△ABC的内心,则AD、BE、CF交于I点,且I为△DEF的垂心.略证∵?DEF是△ABC三条外角平分线构成的三角形,∴D、E、F为△ABC的旁心[4],显然AD、BE、CF为∠A、∠B、∠C的平分线,则它们交于I点;又∵2∠D AC=A,222∠E AC=B+C=π?… 相似文献
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曾莉 《初中生学习(中考新概念)》2009,(Z1)
三角形的角平分线、中线和高线是三角形中三条重要的线段理解"三线"的概念对证明线段和角之间的关系起着重要的作用,因此地位尤为突出.一、三角形角平分线的用法用法1直接应用角平分线的性质例1如图1,点I是ΔABC的内心,AI交ΔABC的外接圆于点E,交边BC于点D,连接BE.求证:EB=EI. 相似文献
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1 .已知△ABC为锐角三角形 ,AB≠AC ,以BC为直径的圆分别交边AB、AC于点M、N ,记BC的中点为O ,∠BAC的平分线和∠MON的平分线交于点R .求证 :△BMR的外接圆和△CNR的外接圆有一个交点在边BC上 .图 1证明 :(根据彭闽昱的解答改写 )如图 1,首先 ,证明A、M、R、N四点共圆 .因为△ABC为锐角三角形 ,故点M、N分别在线段AB、AC内 .在射线AR上取一点R1,使A、M、R1、N四点共圆 .因为AR1平分∠BAC ,故R1M =R1N .由OM =ON ,R1M =R1N知点R1在∠MON的平分线上 .而AB≠AC ,则∠MON的平分线与∠BAC的平分线不重合、不平… 相似文献
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我们将有关角平分线的如下一个性质称为“对称比定理”：
若I、1分别为△ABC的内心、∠A内的旁心,角平分线AI交BC于点D、交△ABC的外接圆于点A1,则 相似文献
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题目:;△ABC中,∠ABC的平分线与边BC和外接圆分别相交于点D和E.求证:△ABC∽△AEC.这是人教社编义务教育初中几何课本第三册习题7.1中A组第10题或原几何课本第二册95页上的16题.不少中考试题是以此题为原型演变结论编制而成的.本文汇集有关结论供同学们练习.一、 相似文献
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1989年全国高中数学联赛(第二试)中的第一题: 已知在△ABC中,AB>AC、∠A的一个外角平分线交△ABC的外接圆于点E,过E作EF⊥AB,垂足为F。求证:2AF=AB-AC(见图1) (IMO-28-2): 已知锐角三角形ABC的顶角A的平分线交BC于L, 相似文献
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2007年第48届IMO第4题是: 在△ABC中,∠ABC的平分张与△ABC的外接圆交于点R,与边BC的垂直平分线交于点P,与边AC的垂直平分线交于点Q. 相似文献
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王庆金 《中学数学研究(江西师大)》2014,(1):F0004-F0004
正原赛题如图1,△ABC为锐角三角形,AB≠AC.以BC为直径的圆分别交边AB和AC于点N和M.记BC的中点为O,∠BAC和∠MON的角平分线交于R.求证:△BNR的外接圆和△CMR的外接圆有一个公共点在BC边上.证明:如图1,连结MN、BM、CN,则∠BMC=∠CNB=90°.记BM与CN的交点为H(△ABC的垂心),即知A、M、H、N四点共圆(记为⊙O_3).设∠BAC的角平分线交BC于点W,则AW经过 相似文献
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众所周知,锐角三角形外心到三边的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和.由此可以证明:定理锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的二倍.设 O 为△ABC 垂心,过 A,B,C 作其 相似文献
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初级中学课本《几何》第二册第85页上有这样一道例题: 命题1 如图1,AD是△ABC的高,AE是△ABC的外接圆直径。求证:AB·AC=AE·AD。本题的证明是极为简单的,只须连结BE,由△ABE∽△ADC即得结论。将命题1的条件稍加改变,则有: 命题2 △ABC中,∠A的平分线交BC于D,交外接圆于E(图2)。则AB·AC=AD·AE。以上两个命题告诉我们:三角形中凡关于高。外接圆直径,内角平分线与两边发生联系的某些命题,均可用它们来解决。例1 如图3,△ABC内接于直径为d的圆。设BC=a,AC=b,那么△ABC的高CD等于多少? 相似文献
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刘顿 《中学课程辅导(初一版)》2006,(Z1)
我们知道,线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等,反之,到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上,线段垂直平分线的这两个特征在处理有关线段或角的问题时运用十分广泛,现举例说明.例1如图1,等腰△ABC中,AB=AC,AB BC=13,AB边的垂直平分线MN交AC于点D,求△BCD的周长.分析:要求△BCD的周长,只需求BC CD BD,而由MN是垂直平分线,可知DA=DB,于是△BCD的周长=BC CD BD=BC AC,于是问题获解.解:因为MN是垂直平分线,点D在MN上,所以DA=BD.于是△BCD的周长=BC CD BD=BC AC=13.说明:这里通过线段的垂直平分线… 相似文献
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初中《几何》第二册p96第22题为: 如图1,AD是△ABC外角∠EAC的平分线,与三角形的外接圆交于D。求证:DB=DC。证明:∵ A、B、C、D四点共圆,且AD为∠EAC的平分线, ∴∠DBC=∠DAC=∠DAE=∠DCB。∴ DB=DC。 相似文献
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李芸 《现代中学生(初中版)》2023,(20):13-14
<正>初中阶段同学们对于圆的构建,往往是知道△ABC,然后作三条边的垂直平分线,交于一点E,点E就是△ABC的外心,也就是△ABC外接圆的圆心,然后连接三角形的外心与任意一个顶点就可以构建出隐形圆．实际做题时,除了作三角形的外接圆,还有其他的方法作隐形圆,下面我们分析几道例题,思考如何构建隐形圆来解答问题,并构建数学模型． 相似文献
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《中学生数理化(高中版)》2015,(6)
<正>我们知道任意一个三角形都有外接圆,如何求三角形的外接圆的半径呢?其主要方法是构造直角三角形,利用相似三角形、勾股定理等知识求解.一、特殊三角形1.直角三角形例1已知:如图1,在△ABC中,AB=13,BC=12,AC=5,求△ABC的外接圆的半径r.分析:通过判定三角形为直角三角形,易求得直角三角形外接圆的直径等于斜边.解:因为AB=13,BC=12, 相似文献
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三角形的角平分线除了具有"到角的两边的距离相等"这一性质以外,还有一条与三角形紧密联系的重要的性质:三角形的角平分线分对边所成的两条线段与这个角的两条夹边对应成比例.下面就让我们一起来探讨一下这个性质的证明方法.首先,我们将这个命题转化为几何语言:已知:如图1,AD是△ABC的角平分线.求证:BD/CD=AB/AC.分析:从结论入手,因为所要证明的是一个比例式,自然 相似文献
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1765年,瑞士数学家欧拉(Euler)发现了如下定理:定理1(欧拉定理) 设△ABC的外接回、内切圆的半径分别为R、r,其外心到内心的距离为d,则d~2=R~2-2Rr这个优美对称的结果,激发我们去寻求三角形中其它特殊点如重心、垂心、内心、外心之间的距离的计算公式.对此,我们有如下的定理2(心距定理) 设△ABC的三边为a、b、c,外接圆、内切圆半径分别为R、r,其外心、内心、垂心到重心的距离分别为e、f、g,外心到垂心的距离为k,则 相似文献
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侯明辉 《数理天地(初中版)》2003,(8)
命题1 已知:如图1,点I为△ABC的内心,延长AI交△ABC的外接圆于点D. 求证:DB=DI=CD. (《几何》第三册P199T12) 证明连结BI.由I为△ABC的内心,得 相似文献