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数学中的“恒成立”问题,涉及到一次函数、二次函数的图像、性质,渗透着换元、化归、数形结合等思想方法.教师灵活运用“恒成立”问题进行教学,有利于考查学生的综合解题能力,在培养思维的灵活性、创造性等方面能起到积极作用.解决“恒成立”问题,一般先建立函数解析式,然后在其定义域内充分挖掘函数的性质进行解决.现列举解决此类问题常见的几种方法.1.利用集合的概念求解例1若不等式x x a-a1>0对x∈(1,2]恒成立,求实数a的取值范围.分析不等式的解集为｛x｜x>1-a或x<-a｝,要任何x∈(1,2]恒成立,只要(1,2]是原不等式的解集｛x｜x>1-a或x<-a… 相似文献
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一道美国数学月刊征解题的简解 总被引：1，自引：1，他引：0
题目设x,y,z∈(0,+∞),且x2+y2+z2=1,求函数f=x+y+z-xyz的值域.这是一道美国数学月刊征解题,文[1]、[2]、[3]、[4]分别给出了一个解答,都很巧妙,本文给 相似文献
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正题目设x,y,z∈(0,+∞),且x2+y2+z2=1,求函数f=x+y+z-xyz的值域.文[1]、文[2]、文[3]站在不同的角度对这道题展开了研究,给出了多种不同解法,本文笔者再给出一种解法,并在此解法的基础上展开推广. 相似文献
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田华 《第二课堂(小学)》2007,(1)
一、分离参数法例1设不等式mx2-x 1>0在区间(1,3)上对一切x恒成立,求实数m的取值范围.解析不等式mx2-x 1>0在(1,3)上恒成立,即m>xx-21当x∈(1,3)时恒成立.设g(x)=xx-21=-(1x-12)2 41,x∈(1,3),∴当1x=12,即x=2时,g(x)max=14,∴m>41.例2已知函数y=1 2x m·4x"的定义域是(-∞,1), 相似文献
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“恒成立”问题是数学高考中的常见题型,这类问题综合性强,常涉及换元、化归、数形结合等数学思想方法,该类型问题也常在函数、方程、不等式等知识交汇处命题,而且题中常出现字母参数,对字母参数的处理即是此类问题的难点,也是关键点.下面举例介绍恒成立问题中几种常用的解题思路.例1.设f(x)=1g1+2x+4xga3(a∈R),如果x∈(-∞,1)时,f(x)有意义,求a的取值范围.解一、(方程思想)由已知得:要使x∈(-∞,1]时,f(x)有意义,即1+2x+4xga3>0对一切的x∈(-∞,1)恒成立.设2x=t,由x∈(-∞,1)知,00对一切的t∈(0,2)都成立当a=0时,有1>0,满… 相似文献
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问题:设x,,z∈(0,∞),x2+y2+z2=1,函数f=x+y+z-xyz的值域.
文[1]、[2]、[3]分别就此问题进行了深入的研究,出了不同的解法,文[1]、[2]、[3]的解答可以看出这是一个极富挑战性的初等数学问题. 相似文献
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原问题x,y,z∈(0,+∞)且x2+y2+z2=1,求x+y+z-xyz的值域.解读文[1]～[6]给出的各种初等解法,可谓"各显神通".原问题的条件:x,y,z∈(0,+∞)且x2+y2+z2=1,即点(x,y,z)在第一卦限的三维单位球面上,问题为求目标函数:f(x,y,z)=x+y+z-xyz的值域. 相似文献
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党效文 《中学数学教学参考》2006,(17)
一、选择题1.若 x∈(-∞,-1],不等式(m-m~2)4~x+2~x+1>0恒成立,则实数 m 的取值范围为().A.(-∞,1/4] B.(-∞,-6]C.(-∞,1/2)∪(1/2,+∞) D.(-2,3)2.若θ是钝角,则满足等式 log_2(x~2-x+2)=sin θ-3~(1/2)cosθ的实数 x 的取值范围为().A.(-1,2) B.(-1,0)∪(1,2)C.[0,1] D.[-1,0]∪(1,2]3.若关于 x 的不等式 x~2<2-|x-a|至少有一 相似文献
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<正>易错点1端点值处最易出错的三种情形1.一元二次不等式恒成立类问题例如:设(fx)=x2-2ax+2ax+2(a∈R),若当x∈R时,不等试f(x)≥a恒成立,求a的取值范围.分析:当x∈R时,f(x)≥a恒成立,即当x∈R时,x2-2ax+2-a≥0恒成立。∴△=4a2-4(2-a)≤0(易错为)△<0),所以-2≤a≤1。2.使用最值原理时的端点值问题例如:若k>13x3-4x当x∈(2,3)恒成立,求k的取值范围。分析:由导数分析可知,当x∈(2,3)时f(x)=13x3-4x单调递增,故k应大于f(x)的最大值,而由于 相似文献
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《中学生数理化(高中版)》2010,(3)
已知不等式xy≤ax~2+2y~2对于x∈[1,2]、y∈[2,3]恒成立,求a的取值范围.解:由于x>0,y>0,故不等式两边同除以xy,可得1≤(ax)/y+(2y)/x. 相似文献
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李建潮 《中学数学研究(江西师大)》2002,(12):29-30
文[1]问题1326: 设a＞0,b＞0,x∈(0,π/2),求证: a cscx+bsecx≥(a2/3+b2/3)3/2 (*) 而文[2]的研究对象其本质就是以上不等式.本文应用大家熟知的均值不等式: 相似文献
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我们都知道函数y=xk(k≠0)的值域为{y｜y≠0},函数y=x+xk(k>0)的值域为y∈(-∞,-2k]∪[2k,+∞),借这两种函数原型,可用“分子常数化”来解决分式函数的值域问题.以下举例说明它的用法:例1已知f(x)=54xx+-31(x∈R,x≠35),求f(x)的值域.解因为f(x)=54xx-+31=45(5x-3)+1575x-3=45+5x157-3,又因为51×5x17-3≠0,所以f(x)≠54,所以f(x)∈(-∞,54)∪(54,+∞).点评这是直接应用反比例函数的值域求解.例2已知f(x)=(xx+-11)2(x≥1),求f(x)的值域.解因为xx-+11=(xx++1)1-2=1-2x+1,又因为x≥1,所以x+1≥2,则0<1x+1≤21,所以0-2x+1≥-1,… 相似文献
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李勇军 《河北理科教学研究》2007,(1):44-45
弗里得曼——应当学会这样一种对待习题的态度,即把习题看作是精密研究对象,而把解答习题看作是设计和发明的目标.1利用知识模块发散思维题目:若1相似文献
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文[1]提出一个有趣的“猜想”问题：对于怎样的实数α，当x、y∈R^＋，且x≠y时，恒有如下不等式｜1/1＋x^α-1/1＋y^α｜〈｜x-y｜成立？文[2]发现：当｜α｜≥4及α=1/2时，该不等式不成立；从而猜想：除了α=0，±1，±2，±3外，对于其它α的值不等式不成立． 相似文献
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潘神龙 《中学数学研究(江西师大)》2021,(3)
1问题的提出《数学通报》文[1]中作者提出了构造函数法;笔者发现,在具体操作中,该方法需要补充和完善.现摘抄文[1]如下:例1(2016年新课标Ⅱ文科)已知函数f(x)=(x+1)ln x-a(x-1).(Ⅰ)略;(Ⅱ)若当x∈(1,+∞)时,有f(x)>0,求a的取值范围. 相似文献
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不等式成立问题内容丰富、综合性强、难度大、与各部分知识联系紧密,是历年高考考察的重要内容.不等式成立问题概括起来有恒成立、能成立、恰成立三类问题.我们看下面的例子:例1(2000年上海卷)(1)已知f(x)=x2 2x ax,对任意x∈[1, ∞),f(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围;(2)已知f(x)=x2 2xx a,对任意x∈[1, ∞),f(x)的值域是[0, ∞),求实数a的取值范围.分析本题第(1)问是一个恒成立问题,由于x≥1,f(x)=x2 2xx a≥0恒成立,则此问题等价于φ(x)=x2 2x a≥0(x≥1)恒成立,又等价于x≥1时φ(x)的最小值大于0恒成立.由于φ(x)=(x 1)2 a-1在x≥1时为… 相似文献