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为探索二元甬数z=f(x,y)方向导数的几何特征,使用代数分析和矢量分析的方法研究函数z=f(x,y)的方向导数.对于由方程z=f(x,y)给出的曲面S上的曲线C:z=f(x,y)且y=y0+tanα·(x-x0),设L是过曲面S上(x0,y0,f(x0,y0))点曲线C的切线,θ是有向直线L与矢量→/AB的夹角.那么二元函数z=f(x,y)在(x0,Y0,f(x0,y0))点沿方向AB的方向导数就是tanθ. 相似文献
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充分条件、必要条件、充要条件是研究命题条件和结论的相互关系时常用的数学术语,下面在微分中说明这些条件的应用。一、充分条件假言判断“若A则B”为真,则称条件A是B的充分条件。简言之,“有此则必然,无此未必不然”。例1若函数y=f(x)在点x0有极值,且f(x0)存在,则函数y=f(x)在点x0的导数为零,即f’(x0)=0。分析很明显,当函数y=f(x)在点x0有极值且导数存在时,根据导数的几何意义,函数所表示的曲线在该点的切线平行于x轴,即有f’(x0)=0。但倒过来说,“若函数y=f(x)在点x0的导数为零,则函数y=f(x)在点x0有极值”就不一定成立了。因为使y=f(… 相似文献
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导数是新课标下的新增内容.导数的工具性拓展了导数的学习与研究空间,除了应用导数解决函数的单调性、最值外,在求函数的值域、证明不等式、距离等方面都有广泛的应用,在高考复习时要重视.一、应用导数的定义求函数的极限【例1】已知f(x)=lnx,求极限limx→1f(x)-f(1)x-1的值.解:∵f(x)=lnx,f′(x)=1x,∴limx→1f(x)-1x-1=f′(1)=1.点评:导数定义的等价形式为f′(x0)=limΔx→0f(x0+Δx)-f(x0)Δx=limx→x0f(x)-f(x0)x-x0.二、应用导数的工具性求函数的单调区间、最值及值域【例2】求函数f(x)=xcosx-sinx(x≥0)的单调递增区间.解:f′(x)=-xsi… 相似文献
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张筱蘅 《西安文理学院学报》1999,(3)
一、问题的提出1．若函数f（X,y）在点（x0,y0）沿X轴正向和负向的方向导数存在且相等,那么f（X,y）在点（x0,y0）关于X的偏导数f'x（x0,y0）是否一定存在？2．如果把条件加强为f（x,y）在点（x0,y0）治任意方向的方向导数都存在,这时能否断定f（x,y）在该点有关于X的偏导数f'x（x0,y0）？二、讨论由方向导数的定义：f（X,y）在点（X。,y。）沿方向l的方向导数为：放沿X轴正向了一（1,0）的方向导数为：沿X轴负向三’一（－1,0）的方向导数为：又由函数在一点偏导数存在的充分必要条件：在该点左、右偏导数存在且相等,… 相似文献
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滕金平 《中学数学研究(江西师大)》2021,(3)
高考导数压轴题由于其思维难度大,对数学运算、数学建模、数学抽象、逻辑推理等核心素养的能力要求高,一直以来许多学生都难以突破,本文以与三角函数交汇的一类导数压轴题为例来对其解法进行探究.1.利用三角函数的有界性,即sin x≤1和cos x≤1,作为解题的突破口例1(2019全国卷20题)已知函数f(x)=sin x-ln(1+x),f′(x)为f(x)的导数.证明:(1)f′(x)在区间(-1,π2)存在唯一极大值点;(2)f(x)有且仅有2个零点. 相似文献
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张钟谊 《数学大世界(高中辅导)》2005,(10)
纵观6年来数学新增内容(向量、导数、概率统计)高考命题走向是:函数与导数的整合,平面向量与解析几何的整合,空间向量与立体几何的整合,排列组合与概率的整合,形成了以向量、导数、概率为纽带的新的知识网络交汇点,且在试卷中所占分值有逐年递增之势,起点越来越高,难度越来越加大.本文以两年高考新课程卷试题做一例示.【例1】(2004年全国卷Ⅱ理科)已知a∈R,求函数f(x)=x2eax的单调区间.解析:函数f(x)的导数:f′(x)=2xeax ax2eax=(2x ax2)eax(Ⅰ)当a=0时,若x<0,则f′(x)<0,若x>0,则f′(x)>0所以当a=0时,函数f(x)在区间(-∞,0)内为减函数,在… 相似文献
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一、导数概念及其经济意义 导数的定义:设y=f(x)在x_0点的某领域内有定义,极限(若存在)表示函数y=f(x)在x_0点的导数,记为f(x_0)。 又由极限性质可知:(→0时)所以,即x·△x比△x是高阶无穷小,于是可以用f(x_0)△x近似代替△y, 记△y≈f(x_0)△x 当△x=l时,△y≈f(x_0) 意即f(x_0)近似地表示在x_0的基础上自变量改变一个单位时,△y的改变量。 相似文献
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摘要：判定函数f（x）在x0处是否取得极值有两个充分条件判定定理．本文讨论了函数f（x）在x0处存在三阶导数,并且x0处的一阶导数和二阶导数都为零时,如何利用x0处的三阶导数来判定f（x）在x0处没有极值． 相似文献
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由于导数为解决一些实际问题和初等数学的传统问题,提供了有效且一般性的方法,故导数将是数学高考的重要内容之一(近几年来,高考中导数知识的试题分值一般为12～19分).题型会涉及选择题、填空题和解答题.复习时应注意以下几个重点、热点问题.一、与导数的定义有关的问题例1设函数f(x)在点x0处可导,则f(x0+2Δx)-f(x0-Δx)Δx=()A.f'(x0)B.2f'(x0)C.3f'(x0)D.0解析f(x0+2Δx)-f(x0-Δx)Δx=2f(x0+2Δx)-f(x0)2Δx+f眼x0+(-Δx)演-f(x0)-Δx=2f'(x0)+f'(x0)=3f'(x0).选C.点评导数定义中的增量Δx有多种形式,可以是正也可以是负.例如,f'(x0)=… 相似文献
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导数的应用非常广泛,导数与函数的单调性的综合运用问题是高考命题的热点。有些貌似与导数无关的问题,若巧用导数去解决,常有"山重水复疑无路,柳暗花明又一村"的效果。下面举例说明。一、判断方程的根的个数由函数的图像性质特征可知,若f(x)在区间[a,b]上单调,且f(a)f(b)<0,则f(x)=0在[a,b]上有唯一的实根,若f(a)f(b)与零的大小无法确定,则f(x)=0在区间[a,b]上至多有一个实根。例1若-1相似文献
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郑惠莲 《数学大世界(高中辅导)》2003,(10):19-20
设y=f(x)为可导函数。①在某个区间内,如果f(x)>0,则f(x)为增函数;如果f′(x)<0,则f(x)为减函数,反之亦然。②函数f(x)在某点取得极值的充要条件是该点的导数为零且该点两侧的导数异号。③函数f(x)在点x_0处的导数f′(x_0)是曲线y=f(x)在点(x_0,f(x_0))处切线的斜率。运用上述性质可解决下面几类问题。 相似文献
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黄永 《商情·科学教育家》2007,(11)
在高等数学的很多问题,特别是中值命题中,常通过构造辅助函数的方法达到解决问题的目的,而辅助函数往往与题设中的已知函数密切相关,也就是说,辅助函数的构造离不开已知函数,如拉格朗日定理证明中的辅助函数φ(x)=f(α)f(b)b--fα(α)(x-α)与柯西定理中的辅助函数F(x)=-f(α)-gf((bb))--fg((αα))[b(x)-g(α)]均由题设中函数f(x)或g(x)及其端点的函数值构成。在中值命题中,还有较广泛一类零点问题需用已知函数的导数f‘(x)、ex等特殊函数去构造辅助函数,使命题的假设与结论之间搭建更为便捷的桥梁,从而达到化难为易的目的。本文就几个常用特殊函数对辅助函数的构造予举例说明。1用已知函数f(x)的导数f‘(x)构造辅助函数例1若函数f(x)在区间[α,b]上具有二阶导数,f(x)与f‘‘(x)同号,且f(x)在任何小区间上不恒为零,则f(x)或f‘(x)在[α,b]上至多有一个零点。分析:由结论,可考虑构造辅助函数F(x)=f(x)f‘(x),对其求导,便有f‘2(x)+f‘‘(x)f(x)。由已知条件知,f(x)在[α,b]可导,且x∈[α,b],F‘(x)=f‘2(x)+... 相似文献
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该文对导数的应用中的两个问题提出了不同的观点,利用导数判断函数f(x)的单调性时,若在其定义区间上仅在不连续点处有f′(x)=0,这并不影响函数f(x)的单调性；“在曲线上某点处的切线”与“过这点的切线”是同一条直线,并且在曲线某点处的切线有且只有一务。 相似文献
14.
陈新伟 《河北理科教学研究》2014,(5):50-53
正导数的几何意义就是曲线在该点处的切线斜率,下面笔者结合近几年高考例析导数的几何意义的多维应用.维度1抓住切点究两线题1(2013·天津文19选摘)已知函数f(x)=4x3+3x2-6x,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程. 相似文献
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研究函数单调性和极值等,利用导数比使用不等式和方程等其它代数工具方便。一般地,在求出函数y=f(x)的导数f'(x)之后,可化为f'(x)=P·h(x)·(x-x1)P1(x-x2)P2·…(x-xn)Pn(其中P为常数,在f(x)的定义域内p·h(x)恒大于0或恒小于0,P1,P2…Pn均为整数的形式即可用数轴标根法(根序法),构造只含x轴、省略原点和y轴的简易直角坐标平面,借助表示导数f'(x)符号的蛇型曲线,简便求出函数f(x)的单调区间以及极值点。下面分别举例说明。设f'(x)=P·h(x)(x-x1)P1(x-x2)P2·…(x-xn)Pn类型Ⅰ:当ph(x)>0恒成立,P1,P2…Pn均为奇数时例1求函数f(x)=(x2-… 相似文献
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函数 y=f(x)在 x=x_0处有极值,则它的导数 f′(x)在这点的函数值为零,即 f′(x_0)=0,反过来,函数 y=f(x)的导数在某点的函数值为零时,这点却不一定是函数的极值点.因此,我们必须具体问题具体分析.例1 已知 b>-1,c>0,函数 f(x)=x b 的图象与函数 g(x)=x~2 bx c 的图像相切.(1)求 b 与 c 的关系(用 c 表示 b)(2)设函数 F(x)=f(x)g(x)在(-∞, ∞)内有极值点,求 c 的取值范围.分析:(1)(略);(2)函数 F(x)=f(x)·g(x)在(-∞, ∞)内有极值点,即存在 x_0使F′(x_0)=0,亦即一元二次方程 F′(x)=0有实 相似文献
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数学新教材新增加了导数,把导数作为解决数学问题的一个新的重要工具,不仅有 利于学生加深对导数概念的理解,而且有比 传统更加简捷的方法. 1 讨论函数的单调性 过去讨论函数的单调性时,主要根据增、 减函数的定义来讨论,而现在学习导数后可 以利用函数的一阶导数的符号来讨论. 例 1 证明函数 y = 在(?∞,0)、(0, ∞) 1 x上是减函数. 证法一 (定义法) 设 x1 > 0,x2 > 0且 x1 < x2 则 f (x1) = , f (x2) = 1 1 , … 相似文献
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一、与函数、导数和方程的交汇
例1已知函数f（x）=1/3x^3＋1/2ax^2＋bx,a,b∈R,f（x）是函数f（x）的导数。若-1≤a≤1,-1≤6≤1,求函数f（x）在R上有零点的概率。 相似文献
19.
邓嘉俊 《无锡教育学院学报》1995,(2)
一阶隐微分方程的一般形式为:F(X,y,y’)=0 (1)如果能从此方程中解出导数y’,即有y’=f(x,y),则可依f(x.y)的具体形状选择某种方法求出方程的解.但如果难以从方程(1)解出导数y’,或即使解出y’而其表达式相当复杂的情况下,可采用引进参数的方法使之变为导数已解出的方程类型.最基本的方程如①y=f(X,y’).②X=f(y,y’)可令y’=p,则分别变换为③P=(?)f/(?)x (?)f/p·dp/dx,④1/p=(?)f/(?)y (?)f/(?)p·dp/dx,这是导数可解出的方程. 相似文献