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判定直线是圆的切线 ,是《圆》这一章学习的一个重点 ,迅速、快捷地选择切线的判定方法 ,是正确判定切线的关键 .图 1 例 1 如图 1,ＡＢ是半圆 (圆心为Ｏ)的直径 ,ＯＤ是半径 ,ＢＭ切半圆于Ｂ ,ＯＣ与弦ＡＤ平行且交ＢＭ于Ｃ .(1)求证 :ＣＤ是半圆的切线 .(2 )若ＡＢ的长为 4 ,点Ｄ在半圆上运动 ,设ＡＤ的长为ｘ ,点Ａ到直线ＣＤ的距离为ｙ ,试求出ｙ与ｘ之间的函数关系式 ,并写出自变量ｘ的取值范围 .(2 0 0 1年福建省泉州市中考题 )分析 (1)因为ＯＤ是半径 ,所以欲证ＣＤ是半圆的切线 ,只需证ＯＤ⊥ＣＤ .证明 ∵ ＯＣ∥ＡＤ ,∴… 相似文献
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一、填空题 １．ＡＢ是Ｏ的直径，弦ＣＤ⊥ＡＢ，垂足为Ｐ．若ＡＰ：ＰＢ＝３：１，，则ＣＤ等于 ２．如图１，ＣＤ是Ｏ的直径，ＡＢ是弦，ＡＢ⊥ＣＤ，垂足为Ｅ，如果ＣＥ＝２，ＡＢ＝８，那么ＥＤ＝＿，Ｏ的半径ｒ＝＿．（江苏省徐州市） ３．如果Ｏ的半径为５ｃｍ，一条弦长为８ ｃｍ，那么这条弦的弦心距为 ｃｍ（安徽省） ４．在圆内接四边形ＡＢＣＤ中，如果∠Ａ：∠Ｂ：∠Ｃ＝２：３：４，那么∠Ｄ＝ （吉林省） ５．如图 ２，ＢＡ是半圆Ｏ的直径，点Ｃ在Ｏ上．若∠ＡＢＣ＝５０°，则∠Ａ＝ （吉林省） ６．如图３，ＡＢ是Ｏ的直径… 相似文献
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叶星厚 《中学数学教学参考》2006,(19)
人教版普通高中教材《数学》(试验修订本·必修)第一册(下)第四章“三角函数”的引言中有这样一个问题:如图1,有一块以点 O 为圆心的半圆形空地,要在这块空地上划出一个内接矩形 ABCD 辟为绿地,使其一边 AD 落在半圆的直径上,另两点 B、C 落在半圆的圆周上.已知半圆的半径长为 a,如何选择关于点 O 对称的点 A、D的位置,可以使矩形 ABCD 的面积最大?其中的解法2是这样的: 相似文献
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在初中数学中有关圆的定理和性质很多 ,作为一线的教师都会发现还有一类问题的解决要费一番周折 ,本人发现解决此类问题可以用一个结论 ,这样基础不好的同学也会很好的得到正确的答案 .下面列举的就是该结论及相关的运用 .图 1 图 2如图 1,在圆Ｏ内 ,Ａ ,Ｂ ,Ｃ是圆上的三点 ,连接ＡＢ并延长 ,Ｄ是延长线上的一点 ,则有结论是 :∠Ａ+∠Ｃ =∠ＡＢＣ或∠Ａ +∠Ｃ +∠ＣＢＤ =180° ,∠ＡＯＣ =2∠ＣＢＤ .如图 2 ,在圆上找一点Ｅ使与Ｂ在线段ＡＣ的异侧证明 因为∠ＡＥＣ =∠ＣＢＤ ,∠ＡＯＣ =2∠ＡＥＣ ,所以∠ＡＯＣ =2∠Ｃ… 相似文献
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我们在解题时 ,常会遇到一些已知图形是半圆的几何题 .如果仅局限在半圆中思考求解 ,有时会陷入困境 .这时 ,若把半圆补成整圆 ,则可以运用圆的有关性质 ,在整圆中发现某些隐含的条件 ,从而使解题化难为易 .例 1 如图 1 ,点Ｄ、Ｃ在半圆上 ,Ｍ、Ｎ在半圆的直径ＡＢ上 ,ＣＭ⊥ＡＢ ,∠ＡＮＤ =∠ＢＮＣ .若∠ＡＤＮ =5 8°,则∠ＡＣＭ =.分析 要想求出∠ＡＣＭ的度数 ,在半圆中很难沟通未知角与已知角的联系 ,故考虑把半圆补成整圆 .延长ＤＮ交圆于Ｃ′,则∠ＢＮＣ′=∠ＡＮＤ =∠ＢＮＣ .根据圆的对称性 ,可知Ｃ、Ｃ′关于直线ＡＢ对称 .… 相似文献
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蔡永祥 《中学数学教学参考》2000,(7):46-47
在一次复习辅导课上 ,笔者编制了一道平面几何题用于课堂教学的教改尝试 .此时构思是以某已知条件为背景 ,把凡涉及与已知条件相关的多题结论有机的结合在一起 ,使题目展现出一题多解 ,一图多用 ,一题多变 ,步步深入的解题新格局 .例 如图 1 ,Ｒｔ△ＡＢＣ中 ,∠Ｂ =90°,点Ｏ在ＡＢ上 ,以Ｏ为圆心 ,ＯＢ为半径的圆与ＡＣ相切于点Ｄ ,交ＡＢ于Ｅ .1 .求证 :ＤＥ∥ＯＣ .2 .求证 :ＣＢＢＯ=ＡＤＡＥ.3.若ＡＥ =1 ,ｃｏｓＡ =45 ,求⊙Ｏ的面积 .4.若ＡＤ =2 ,ＡＥ =1 ,(1 )求⊙Ｏ的直径、ＣＢ长及ｓｉｎ ∠ＡＣＢ2 的值 ;(2 )求证 :Ｓ△ＡＣ… 相似文献
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在处理有关两圆相交、相切等问题时 ,常常要添加适当的辅助线 ,将较为分散的条件和图形相对集中 ,从而使问题能简捷获解 .这时 ,公切线或公共弦是重要的辅助线 ,它可以使弦切角与圆周角、圆内接四边形的内角与外角等得以沟通 .一、当两圆相交时 ,通常需要作出公共弦例 1 如图 1,⊙Ｏ1 和⊙Ｏ2 相交于Ａ、Ｂ两点 ,过Ｂ点作⊙Ｏ1 的切线交⊙Ｏ2 于Ｄ点 ,连结ＤＡ并延长 ,与⊙Ｏ1 相交于Ｃ点 ,连结ＢＣ ,过Ａ点作ＡＥ∥ＢＣ ,与⊙Ｏ2 相交于Ｅ点 ,与ＢＤ相交于Ｆ点 .(1)求证 :ＥＦ·ＢＣ =ＤＥ·ＡＣ .(2 )若ＡＤ =3 ,ＡＣ =1,ＡＦ =3 ,求ＥＦ… 相似文献
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圆与圆的位置关系这一单元 ,两圆相交和相切是重点 在这一单元中有几道证明两线平行的题目 ,通过这几道题目的变式训练 ,可以把两圆相交和相切中辅助线的作法 ,证明命题的方法让学生掌握清楚 已知 :如图 1,⊙Ｏ1 与⊙Ｏ2 相交与Ａ ,Ｂ两点 ,分别过Ａ ,Ｂ两点作直线交⊙Ｏ1 于Ｃ ,Ｅ两点 ,交⊙Ｏ2 于Ｄ ,Ｆ两点 .求证 :ＣＥ ∥ＤＦ .图 1 图 2证明 连结ＡＢ ,因为四边形ＡＢＥＣ内接于⊙Ｏ1 ,所以∠ＡＢＦ =∠Ｃ (圆内接四边形的性质 ) 因为四边形ＡＢＦＤ内接于⊙Ｏ2 ,所以∠ＡＢＦ +∠Ｄ =180° (圆内接四边形的性质 ) … 相似文献
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近年来 ,各地中考试题中经常出现一类矩形折叠问题 .由于折叠后重合的两部分关于折痕对称 ,因此 ,对于此类问题 ,需注意轴对称的性质的应用 ,同时结合勾股定理、相似三角形的性质及方程思想来求解 .一、折叠后求线段的长例 1 如图 1 ,在矩形ＡＢＣＤ中 ,ＡＢ =8,ＢＣ =6,将矩形沿ＡＣ折叠后 ,点Ｄ落在点Ｅ处 ,且ＣＥ与ＡＢ交于点Ｆ ,那么ＡＦ的长是.( 2 0 0 0年新疆维吾尔自治区中考题 )解 由题意可得∠ 1 =∠ 2 ,ＣＥ =ＣＤ =ＡＢ=8,ＡＥ =ＡＤ =ＢＣ =6,ＡＣ =ＡＢ2 +ＢＣ2 =1 0 .由ＡＢ∥ＣＤ ,得∠ 1 =∠ 3 .∴ ∠ 2 =∠ 3 .∴ ＡＦ… 相似文献
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新教材高一下册第四章“三角函数”中有图 1如下一道问题 :如图 1,有一块以点 O为圆心的半圆形空地 ,要在这块空地上划出一个内接矩形 ABCD辟为绿地 ,使其一边 AB落在半圆的直径上 ,另外两点 C,D落在半圆的圆周上 .已知半圆的半径为 r,如何选择关于点 O对称的点 A,B的位置 ,可以使矩形ABCD的面积最大 ?分析 令∠ AOD=θ,则 AD=rsinθ,ΟΑ= rcosθ,所以矩形 ABCD的面积 S=rsinθ· 2 rcosθ=r2 sin2 θ≤r2 ,其中等号成立的条件是 sin 2θ=1,即θ=π4 ,不难看出 ,A,B两点与 O点的距离都是 22 r时 ,矩形 ABCD的面积最大 ,最大… 相似文献
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例 求证顺次连结菱形对角线交点到各边的垂线的垂足所围成的四边形是矩形 .已知 :如图菱形ＡＢＣＤ的对角线ＡＣ、ＢＤ交于点Ｏ ,ＯＥ ⊥ＡＢ ,ＯＦ⊥ＢＣ、ＯＧ⊥ＣＤ、ＯＨ ⊥ＡＤ ,垂足分别为Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈ .求证 :四边形ＥＦＧＨ是矩形 .说明 在解此题时大多数学生都是利用菱形的对角线平分每一组对角 ,对角线的交点到相邻两边的距离相等 ,从而得到对角线相等且互相平分的四边形是矩形 .这里没有证明对角线交点到对边的两条垂线段在一条直线上而默认 ,显然是错误的 .下面介绍两种证法 .途径一 避开证明三点共线 .证明 因为四边形Ａ… 相似文献
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题目 :如图 1 ,ＡＢ是⊙Ｏ的直径 ,Ｃ是ＡＢ延长线上一点 ,ＣＤ是⊙Ｏ的切线 ,Ｄ为切点 ,过点Ｂ作⊙Ｏ的切线交ＣＤ于点Ｅ .若ＡＢ =ＣＤ =2 ,求ＣＥ的长 .( 2 0 0 2 ,天津市中考题 )本题旨在考查学生对圆幂定理、切线性质、切线长定理、直角三角形的相关知识的运用能力 .题目解法较多 .现介绍几种方法 ,以剖析“圆”中计算题的解题意识、突破点 ,以及“圆”中有关线段的数量关系的确立方法 .分析一 :题中给出了⊙Ｏ的两条切线 ,必用到切线性质及与切线有关的定理 .于是 ,连结ＯＤ ,易得与Ｒｔ△ＣＢＥ有公共角的Ｒｔ△ＣＯＤ ,线段间的数量… 相似文献
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题 (2 0 0 2年全国初中数学竞赛试题一 ,3 ) 点Ｅ、Ｆ分别是矩形ＡＢＣＤ的边ＡＢ、ＢＣ的中点 ,连ＡＦ、ＣＥ ,设ＡＦ、ＣＥ交于点Ｇ ,则 Ｓ四边形ＡＧＣＤＳ矩形ＡＢＣＤ等于 ( )。(Ａ) 56 (Ｂ) 45 (Ｃ) 34 (Ｄ) 23本文给出该试题的两个推广。定理 1 点Ｅ、Ｆ分别是矩形ＡＢＣＤ的边ＡＢ、ＢＣ上的内点 ,且 ＡＥＥＢ=ＣＦＦＢ=ｋ(ｋ >0且ｋ∈Ｒ) ,连ＡＦ、ＣＥ相交于点Ｇ ,则Ｓ四边形ＡＧＣＤＳ矩形ＡＢＣＤ=ｋ 1ｋ 2 。证明 设ＡＢ =ａ ,ＢＣ =ｂ ,连结ＡＣ、ＥＦ ,如下图。∵ ＡＥＥＢ=ＣＦＦＢ=ｋ ,∴ＥＦ∥ＡＣ ,Ａ… 相似文献
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王淑兰 《中学数学教学参考》1999,(10)
１．ａｎ∶ｂｎ＝ｃ∶ｄ型如果欲证的等式是ａｎ∶ｂｎ＝ｃ∶ｄ形式,一般要考虑证明分别含有ａ、ｂ为对应边的两个三角形相似,然后利用面积关系或射影定理进行证明．图１例１ 从圆外一点Ｐ引圆的切线ＰＡ,割线ＰＣＢ．求证ＡＢ２∶ＡＣ２＝ＰＢ∶ＰＣ．分析：含ＡＢ、ＡＣ、ＰＢ、ＰＣ的三角形是△ＰＡＢ和△ＰＣＡ,而易证△ＰＡＢ∽△ＰＣＡ,∴ＡＢ２ＡＣ２＝Ｓ△ＰＡＢＳ△ＰＣＡ＝１２ＰＢ·ＡＨ１２ＰＣ·ＡＨ＝ＰＢＰＣ．例２ 已知矩形ＣＥＤＦ内接于圆Ｏ,过Ｄ作圆的切线与ＣＥ、ＣＦ的延长线分别交于点Ａ、Ｂ．求证：ＢＣ３Ａ… 相似文献
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分析近年来各地的中考试题 ,可以发现许多题目都是由课本习题改编而成 .因此 ,同学们应对课本的例、习题给以足够的重视 .立足课本 ,认真探究一题多解、一题多变 ,有助于提高分析问题、解决问题的能力 .图 1题目 如图 1 ,已知在△ＡＢＣ中 ,∠Ｂ =90°.Ｏ是ＡＢ上一点 ,以Ｏ为圆心 ,ＯＢ为半径的圆与ＡＢ交于点Ｅ ,与ＡＣ切于点Ｄ ,ＡＤ =2 ,ＡＥ =1 ,求ＣＤ的长 .(初中《几何》第三册 2 1 4页第 8题 )一、多种解法解法 1 设⊙Ｏ的半径是ｒ,连结ＤＯ .∵ ＡＣ切⊙Ｏ于Ｄ ,∴ ＤＯ⊥ＡＣ .在Ｒｔ△ＡＤＯ中 ,由勾股定理 ,得ＡＤ2 +ＤＯ2 … 相似文献
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每一份中考卷中都有几何综合题 .这些几何综合题 ,往往融有关三角形、四边形、相似形与圆的许多性质、定理于一题 ,有计算 ,又有证明 ,以考查同学们分析、推理的能力 .图 1例 1 如图 1 ,⊙Ｏ1与⊙Ｏ2 相交于Ａ、Ｂ两点 ,ＢＯ2切⊙Ｏ1于点Ｂ ,ＢＯ2 的延长线交⊙Ｏ2 于点Ｃ ,ＣＡ的延长线交⊙Ｏ1于点Ｄ .(1 )证明 :ＤＢ⊥ＢＣ ;(2 )如果ＡＣ =3ＡＤ ,求∠Ｃ的度数 ;(3 )在 (2 )的情况下 ,若⊙Ｏ2 的半径为 6,求四边形Ｏ1Ｏ2 ＣＤ的面积 .(2 0 0 0年广西区中考题 )分析 (1 )∵ ＢＯ2 切⊙Ｏ1于点Ｂ ,∴ 要证明ＤＢ⊥ＢＣ ,关键是证ＤＢ是… 相似文献
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初中《几何》第三册第 1 2 9页例 4:如图 1 ,⊙Ｏ1 和⊙Ｏ2 外切于点Ａ ,ＢＣ为⊙Ｏ1 、⊙Ｏ2 的外公切线 ,Ｂ、Ｃ为切点 .求证 :ＡＢ⊥ＡＣ .证明略 .我们把上题中的△ＡＢＣ叫做切点三角形 ,显然 ,切点三角形是直角三角形 .巧用切点三角形的这个性质能妙证许多几何问题 ,下面举例说明 .一、用于证明某条线段是某圆的直径图 1图 2 例 1 如图 2 ,⊙Ｏ1 、⊙Ｏ2 外切于点Ａ ,ＢＣ切⊙Ｏ1 、⊙Ｏ2 于Ｂ、Ｃ ,连结ＣＡ并延长交⊙Ｏ2 于Ｄ .求证 :ＢＤ是⊙Ｏ1 的直径 .分析 连结ＡＢ ,则△ＡＢＣ是切点三角形 ,故∠ＢＡＣ =90°.从而∠ＢＡ… 相似文献