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Schur不等式设x，y，z为非负实数，则x(x-y)(x-z) y(y-x)(y-z) z(z-x)(z-y)≥0，仅当x=y=z时等号成立。 相似文献
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若x,y,z为非负实数,则对于任意的r>0都有x~r(x-y)(x-z)+y~r(y-z)(y-x)+z~r(z-x)(z-y)≥0(*),当且仅当x=y=z时,或者x,y,z中有两个相等而第三个为0时等号成立.不等式(*)是I.Schur大约在1934年得 相似文献
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定理若x,y,z是正数,λ是非负实数,那末: x~λ(x-y)(x-z) y~λ(y-x)(y-z) z~λ(z-x)(z-u)≥0式中等号当且仅当x=y=z时成立。证明当x,y,z中若有两个量相等,定理显然成立。若x,y,z两两不等,假设0相似文献
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《中学生数理化(高中版)》2016,(12)
<正>函数是高中数学的重要内容之一,也是高考中的核心考点。运用函数与方程思想解题可以大大简化问题,提高综合解题能力。一、解数列问题例1若(z-x)2-4(x-y)(y-z)=0,求证:x、y、z成等差数列。解析:观察题目条件,容易发现题设与判别式b2-4ac=0形式相似,联想到构造一元二次方程来证明。分两种情况进行讨论,当x=y时,(z-x)2=0,得到z=x,此时x=y=z,x、y、z成等差数列;当x≠y时,引入参 相似文献
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秦亚丽 《数理化学习(初中版)》2006,(6)
一、配方法例1分解因式:2x3-x2z-4x2y+2xyz+2xy2-y2z解:原式=(2x3-4x2y+2xy2)-(x2z-2xyz+y2z)=2x(x2-2xy+y2)-z(x2-2xy+y2)=(x2-2xy+y2)(2x-z)=(x-y)2(2x-z)·二、拆项法例2分解因式:x3-3x+2·解:原式=x3-3x-1+3=(x3-1)-(3x-3)=(x-1)(x2+x+1)-3(x-1)=(x-1)(x2+x-2)·注:本题是通过拆常数项分解的,还可通过拆一次项或拆三次项分解,读者不妨一试·三、添项法例3分解因式:x5+x+1·解:原式=(x5-x2)+x2+x+1=x2(x3-1)+(x2+x+1)=x2(x-1)(x2+x+1)+(x2+x+1)=(x2+x+1)(x3-x2+1)·四、主元法例4分解因式:2a2-b2-ab+bc+2ac·解:以a为主元,将原式整理成关… 相似文献
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陈桂宏 《数理天地(初中版)》2002,(4)
分子为1,分母是大于1的自然数的分数叫做单位分数.如1/6、1/12、1/13.单位分数有一个性质:若x、y、z都为自然数,且1/x+1/y=1/z,则k1·k2=z2(其中k1=x-z,k2=y-z).证明因为x-z=k1,y-z=k2,所以x=k1+z,y=k2+z, 相似文献
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判别式除了可以用来判定方程根的情况之外,它在解题中有着技巧性很强的应用,现举例如下,供参考。1 当题目中含有△=b~2-4ac≥0条件或结论 时,可以返回去构造方程ax~2 bx c=0 (a≠0),再用方程知识求解 例1 若(z-x)~2-4(x-y)(y-z)=0,求证x z=2y。 分析:观察条件式的结构特征,形似于判别 相似文献
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《中学数学》2007年1月给出的征解题是:设x、y、z为非负实数,且x y z=32,求式子x3y y3z z3x的最大值.笔者经探讨,获得以下一般性结论:定理设x、y、z为非负实数,且x y z=k(k>0),记P=x3y y3z z3x,则P≤22576k4①当且仅当x=0,y=3z=43k或y=0,z=3x=43k或z=0,x=3y=43k时,①式取等号.为方便①式的证明,先给出如下引理:引理设x、y、z为非负实数,则当x≥y≥z或y≥z≥x或z≥x≥y时,x3y y3z z3x≥xy3 yz3 zx3②当x≤y≤z或y≤z≤x或z≤x≤y时,②式反向成立.证明②式等价于:[y (x-y)]3y y3[y-(y-z)] [y-(y-z)]3[y (x-y)]≥[y (x-y)]y3 y[y-(y-z)]3 [y-(… 相似文献
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十年级 1.求方程组{xy z=94,x yz=95}的整数解.解 x=95,y=0,z=94或x=31,y=2,z=32. 第二个方程减第一方程,得 (x-z)(1-y)=1。依题意,x,y,z应为整数,故仅有两种情形: 1)x-y=1,1-y=1,于是y=0,代入方程组得x=94,x=95。 相似文献
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常见这样的问题:已知(z-x)2-4(x-y)(y-z)=0,求证x-y=y-z.文[1]中介绍了该题的多种解法,读后颇受启发.本短文即在于介绍这一问题的最简便证法以及由此引发的一系列的思考.其实,证明x-y=y-z是很容易的:∵(z-x)2=[(x-y) (y-z)]2≥4(x-y)(y-z),当且仅当x-y=y-z时取“=”号,∴(z-x)2-4(x-y)(y-z)=0x-y=y-z.作为解题回顾,有以下三点说明(1)纵观证明过程,显然“若x-y=y-z,则(z-x)2-4(x-y)(y-z)=0.”即逆命题是真命题.(2)受变形z-x=-(x-y y-z)的启发,考察[2]、[3]中提到的同一例题:“已知a>c,b>c,c>0,求证(a-c)c (b-c)c≤ab.”便有下面的优良解法:ab… 相似文献
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题目:设x+y+z=xyz,(x>0,y>0,z>0)求证:2(x2+y2+z2)-3(xy+yz+xz)+9≥0文[1]中用三角函数知识来证明,且证明繁琐,文[2]用换元的方法,然后利用第25届IMO试题的结论:若x≥0,y≥0,z≥0,且x+y+z=1,则xy+yz+xz-2xyz≤727来证明也是不简单,实际上利用拙文[3]中提出的证明不等式化齐次的策略可简单地给出证明.证明:因x+y+z=xyz,原不等式等价于2(x2+y2+z2)(x+y+z)-3(x+y+z)(xy+yz+xz)+9xyz≥02(x3+y3+z3)+2x(y2+z2)+2y(x2+z2)+2z(x2+y2)-3x(y2+z2)-3y(x2+z2)-3z(x2+y2)-9xyz+9xyz≥02(x3+y3+z3)-x(y2+z2)-y(x2+z2)-z(x2+y2)≥0(x+y)(x-y)2+(y+z)(y-z… 相似文献
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代数、几何,三角中有一类题目,若利用等比定理来解,则可以使解题过程大大简化,请看下面数例: 例1 若(x(y+z-x))/(log_αx)=(y(z+x-y))/log_αy=(z(x+y-z))/(log_αz)。求证:y~zz~y=z~xx~z=x~yy~x。证明:∵(y+z-x)/((1/x)log_αx)=(z+x-y)/((1/y)log_αy)=(x+y-z)/((1/z)log_αz)。两次运用等比定理得 相似文献
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一、符号变换
例1 分解因式:z2(x-y)-4(x-y)-3z(y-x).
解:以(x-y)为标准,将(y-x)变换为-(x-y),则
原式=z2(x-y)-4(x-y)+3z(x-y)
=(x-y)(z2 +3z-4)
=(x-y)(z-1)(z+4)
二、指数变换
例2 分解因式:2xn+2+ 4xn-6xn2. 相似文献
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不等式的证明题中,常常会在给定条件或待证的不等式中含有“1”或与“1”有关的项.因此,熟知“1”的应用技巧并灵活运用,对学生拓宽解题思路、提高解题能力是十分有益的.下面就证明不等式时“1”的几个常用技巧做一总结.※“1”的等量代换法※当给定条件中有含“1”的等量关系式时,常常将“1”用式子等量代换到要证明的不等式中,对原不等式变形.[例1]已知x+y+z=1,证明x2+y2+z2≥13.证明:原不等式可变形为3(x2+y2+z2)≥1.∵x+y+z=1,∴3(x2+y2+z2)≥(x+y+z)2,左-右=3x2+3y2+3z2-(x+y+z)2=2x2+2y2+2z2-2xy-2yz-2zx=(x-y)2+(y-z)2+(z-x)2≥0∴原… 相似文献
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周有暅 《苏州教育学院学报》1997,(2)
数学教学中,培养和提高学生观察能力,可把数学解题和观察能力的培养有机结合起来,引导学生从各方面去仔细观察题型特点,深入观察和分析欲解(证)问题的每一个已知条件,把握问题的已知和未知、局部和整体、数和形等方面所呈现的特征,发现联系和规律,从而获得简捷、精巧、合理的解法,有效地促进了学生观察想象能力的发展.例1 若(z-y)~2-4(x-y)(y-z)=0,则x、y、z成等差数列.<份析一>观察已知条件所呈现的特点,会发现其形式完全类似于一元二次方程ax~2 bx c=0的判别式b~2-4ac=0的形式,于是可考虑将题中的条件视为关于t的二次方程(x-y)t~2 (z-x)t (y-z)=0有等(?)的情况,观察不难发现,这个关于t的一元二次方程的特征是各项系数之和等于零.因此方程有一个根x=1,从而可知方程有两个等根x_1=x_2=1,又根据韦达定理两根之积x_1x_2=y-z/x-y=1,于是易得x,y,z成等差数列的结论. 相似文献
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一、选择题1.代数式a3b2,-21a2b3,3a4b3的公因式是().(A)a3b2(B)a2b3(C)a3b3(D)a2b22.把6a2(x-y)2-3a(x-y)3分解因式时,应提公因式().(A)3a(x-y)(B)3(x-y)2(C)3a(x-y)2(D)3a(x-y)33.下列变形中,属于因式分解的是().(A)mx+nx-n=(m+n)x-n(B)21x3y2=3x3·7y2(C)4x2-9=(2x+3)(2x-3)(D)(3x+2)(x-1)=3x2-x-24.下列四个式子中,正确的是().(A)x2-81=x+21x-41(B)-(x+y)2=(-x-y)2(C)4b2-4b-1=(2b-1)2(D)(x-y)3=-(y-x)35.如果x2+ax+9是一个完全平方式,那么a的值可能是().(A)3(B)18(C)±3(D)±66.不论x、y为何实数,x2-2xy+y2+100的值总是().(A)… 相似文献
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袁荣贵 《中学数学教学参考》2006,(8)
一、选择题(每题3分,共24分)1.若 x/y=2/3,则下列式子成立的是( ).A.y/(x+y)=5/30 B.(x+y)/x=5/2C.(x+y)/(x-y)=5 D.(x+2)/(y+3)=4/52.若 a:b=3:5,且 b 是 a、c 的比例中项,那么 b:c 的值是( ).A.3:2 B.5:3 C.3:5 D.2:33.下列命题正确的是( ).A.矩形都相似B.等腰直角三角形都相似 相似文献
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孙学光 《数学大世界(高中辅导)》2013,(5):29-32
本文与同学们谈一谈不等式(组)在数学竞赛中的4种常规应用,以开阔同学们的解题视野,提高同学们的解题能力,下面举例加以说明,供同学们学习时参考.一、用于求值例1已知函数x,y,z满足3x+2y-z=4,2x-y+2z=6.x+y+z<7求x+y+z的值解:将已知等式相加得5x+y+z=10,∴10-4x=x+y+z<7,∴x>3/4,∵y,z为正整数,∴5x=10-y-z≤ 相似文献