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二次曲线蝴蝶定理的推论：任意四边形ABCD的一组对边BA与CD交于M,过M作割线交另一组对边所在直线于H、L,交对角线所在直线于E、F, 相似文献
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一道几何难题的两种简证 总被引：1，自引：0，他引：1
正二次曲线蝴蝶定理的推论:任意四边形ABCD的一组对边BA与CD交于M,过M作割线交另一组对边所在直线于H、L,交对角线所在直线于H′、 相似文献
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命题1 在四边形ABCD中，P是对角线AC，BD的交点．过P作一条直线分别交AB，CD于E、F，BF交AC于T，DE交AC于R，BR交AD于M，DT交BC于N，则M，P，N三点共线． 相似文献
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贺万一 《中学数学教学参考》2022,(34):72-73
<正>2022年波兰数学奥林匹克竞赛中的平面几何题为:给定圆内接四边形ABCD,其外接圆圆心在四边形ABCD的内部,对角线AC与BD交于点S,边AD,BC的中点分别为P,Q,过点P作与AC垂直的直线lP,过点Q作与BD垂直的直线lQ,过点S作与CD垂直的直线ls,求证:lP,lQ,lS三线共点。证法1:如图1,设lP与AC,AB分别交于点E,G,lQ与BD交于点F,lP与lQ交于点M。联结EF,联结MS并延长交CD于点N。 相似文献
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李康海 《中学数学教学参考》1998,(6)
本文给出一组与完全四边形密切相关的平面几何问题,题1设四边形ABCD的边AB、DC的延长线交于点P,AD和BC的延长线交于点Q,AC和BD交于点R,直线PR分别交AQ、BQ于点M、N,则证明：如图1,直线BQ与△PAD三边都相交,由梅涅劳斯定理,有题2过O外一点Q作O的两条切线,E、F为切点,作一条割线QDA,EF和AD交于点M（图2）．则证明：连结ED、EA、FD、FA．题3四边形ABCD内接于圆,边AB和DC的延长线交于点P,边AD和BC的延长线交于点Q,AC和BD交于点R,过Q作该圆的两条切线,切点分别为E、F,则P、F、R、E四点共线,证… 相似文献
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1990年中国数学竞赛,出现了筝形蝴蝶定理的命题．
【命题1】如图1,在筝形ABCD中,AB=AD,BC=DC,过AC、BD的交点O引直线EF、GH分别交AB、CD于E、F及交DA、BC于G、H．EH、GF分别交BD于P、Q,则OP=0Q． 相似文献
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题目如图1,存凸四边形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,过点O任作两条直线分别交边AD、BC、AB、CD于点E、F、G、H,直线GF、EH分别交BD于点I、J. 相似文献
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题目如图1,AB、CD是⊙O中长度不相等的两条弦,AB与CD交于点E,⊙I内切⊙O于点F,且分别与弦AB、CD切于点G、H过点O的直线l分别与AB、CD交于点P、Q,使得EP=EQ,直线EF与直线l交于点胍证明：过点M且与AB平行的直线是⊙O的切线． 相似文献
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文[1]给出了两个定理,如下：定理1如图1,点P是△ABC内任意一点,连接AP并延长交BC于点Q,过点P作直线EF与AB、AC两边分别交于E、 相似文献
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文[1]给出了四边形中的坎迪定理: 过四边形对角线的交点O的任意三直线MN、Ef、GH分别与四边形的边或顶点交于M、N、E、F、G、H,直线GF、EH分别交MN于点I、J,且I、M在O点的同旁,则 1/IO-1/JO=1/MO-1/NO (1) 本文把以上定理推广到四面角中去,其 相似文献
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蝴蝶定理自问世以来,研究者络绎不绝,笔者课余时对它深感兴趣,并推广了它,现整理成此文,供读者参考。蝴蝶定理如图1的两种情况:一圆和一直线在同一个平面上,W是圆心在直线上的射影,AB,CD是过W的两直线,分别交圆于A,B,C,D,连AD交直线于P,BC交直线于Q,那么QW=PW, 我曾想,如果把W点看作两动点的重合,又会有什么情况呢?后来,经过深思,想法逐渐成熟,继而把它推广如下: 定理:如图2的两种情况,一圆和一直线在同一平面上,W是圆心在直线上的射影,M,N在直线上,分居W两侧,且MW=NW,AB是过M的直线,交圆于A,B;CD是过N的直线,分别交圆于C,D,DA交直线于P,BC交直线于Q,那么QM=PN。 相似文献
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一、中点技巧 【例1】如图1，在四边形ABCD中，E、F分别是其对角线AC、BD的中点，过EF的直线交AB、CD分别于M、N．若AB=CD，证明：∠1=∠2 相似文献
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第一天
一、AB是⊙O的一条弦，它的中点为M，过点M作一条非直径的弦CD，过点C和D作⊙0的两条切线，分别与直线AB相交于P、Q两点．求证：PA=QB． 相似文献
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定理 若M为∠POQ内一点 ,过M作直线分别交OP、OQ于A、B两点 .则当M为AB的中点时 ,△AOB的面积最小 . 图 1证明 如图 1 ,设过M的任意直线分别交OP、OQ于A′、B′两点 ,且M不是A′B′的中点 .不妨设MA′ >MB′.在MA′上取MN=MB′ ,则有S△MAN =S△MBB′,∴S△MAA′ >S△MB′B,于是S△A′OB′ >S△AOB.例 1 直线l过点M (2 ,1 )且分别与x轴、y轴的正半轴交于A、B .O是坐标原点 ,当△AOB的面积最小时 ,求直线l的方程 .解 设A(x ,0 )、B(0 ,y) .由定理知 ,当M为AB的中点时 ,△AOB的面积最小 .由中点… 相似文献
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《中学数学教学参考》2007,(5)
有这样一个命题:椭圆 x~2/a~2 y~2/b~2=1(a>b>0)短轴为 AB,M 为椭圆上非 A、B 的点,MA、MB 与 x 轴交于点 E、F,则 OE·OF=a~2.此命题看似平凡,却"来头"不小,值得研究.推广1:把短轴 AB,长轴 CD 换成一般的共轭直径,得到如下性质:定理1 AB、CD 是椭圆 x~2/a~2 y~2/b~2=1(a>b>0)的共轭直径,M 为椭圆上非 A、B 的点,直线 MA、MB 分别交 CD 所在直线于点 E、F,则 E、F 在点 O 的同侧,且 OE·OF=OD~2(图1).证明:设 A(acos α,bsin α),则 B(-acos α,-bsin α),M(acos β,bsin β).由 AB、CD 共轭,知 k_(AB)·k_(CD)=-(b~2/a~2),又 k_(AB)=bsin α/acos α, 相似文献