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结论1 设OA、OB不共线，点P在过A、B两点的直线上的充要条件是OP=αOA＋βOB，其中α，β∈R，且α＋β=1．在结论1中，若α=1/1＋λ,β=λ/1＋λ（λ∈R,县λ≠-1），则有： 相似文献
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杨文光 《河北理科教学研究》2011,(1):45-46
结论1 设^→OA,^→OB不共线,点P在过A,B两点的直线上的充要条件是^→OP=α^→OA＋β^→OB,其中,α,β∈R,且α＋β=1. 相似文献
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众所周知,由平面向量基本定理可以得到如下结论:"已知向量OA、OB不共线,且OP=αOA+βOB(α,β∈R),则A、B、P三点共线的充要条件是α+β=1".笔者发现以这个结论为基础通过简单的拓展,可以直观、快捷地解决一类和向量有关的最值问题. 相似文献
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高一(下)第109页例5:已知OA,OB不共线,AP=t AB,(t∈R),用OA,OB表示OP.[答案:OP=(1-t)OA t OB]图11结构特征如图1:①(1-t) t=1;②当P在线段AB上时,t,1-t与OA,OB“交叉”相乘.2等价变换若A、B、P3点共线,则OP=λOA μOB,其中λ μ=1.证明设AP=t AB,则AO OP=t(AO OB),所以OP=(1-t) 相似文献
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由平面向量基本定理可以得到如下结论:已知向量OA,OB不共线,且OP=αOA+βOB(α,β∈R),则A,B,P三点共线的充要条件是α+β=1.以这个结论为基础,通过简单的拓展,可以直观、快捷地解决一类与向量有关的最值问题.一、对两个基本问题的思考 相似文献
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由平面向量基本定理可以得到如下结论：已知向量→OA,→OB不共线,且→OP=→αOA＋→βOB（α,β∈R）,则A,B,P三点共线的充要条件是α＋β=1．以这个结论为基础,通过简单的拓展,可以直观、快捷地解决一类与向量有关的最值问题． 相似文献
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《中学生数理化(高中版)》2008,(4)
人教版高一数学下册第109页,有这样一道例题:如图1,OA、OB不共线,AP=t AB(t∈R),用OA、OB表示OP.图1解:∵AP=t AB,∴OP-OA=t(OB-OA),即OP=(1-t)OA t OB.认真观察本题条件和结论不难发现:①A、B、P三点共线,②(1-t) t=1,③若t变化,则OA(或OB)的系数也随之变化,且t>1时点P在线段A 相似文献
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新版高一数学 (下册 )第五章第三节《实数与向量的积》中 ,介绍了平面两个向量共线定理 :向量 b与非零向量 a共线的充要条件是有且只有一个实数λ,使得b =λa.由此 ,可以得到下列推论 :推论 1 OA、OB是平面内两不共线向量 ,向量OP满足 :OP =a OA +b OB( a,b∈ R) ,则 A、P、B三点共线的充要条件是 a +b =1.证明 :( 1)若 a +b=1,则 A P =OP - OA =( a -1) OA +b OB =b( OB - OA ) =b AB,故 AP与 A B共线 ,从而 A、P、B三点共线 ;( 2 )若 A、P、B三点共线 ,则存在唯一实数λ,使得AP =λAB,即 OP - OA =λ( OB - OA … 相似文献
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1 定理定理 1 若A、B、C三点共线 (如图 1) ,且AC=λCB ,O为任意一点 ,则有OC =OA+λOB1+λ .证明 ∵OC =OA +AC =OA +λCB=OA+λ(OB- OC) , 图 1∴OC =OA+λOB1+λ .变式 若A、B、C三点共线 ,且AC=mn CB ,O为任意一点 ,则有OC =nOA +mOBn+m .定理 2 若OC =λOA +μOB (λ ,μ∈R) ,则A、B、C三点共线的充要条件是λ +μ =1.证明 (必要性 )如果A、B、C在一直线上 ,则存在一个实数m ,使得AC =mCB ,由定理 1得OC =OA +mOB1+m =11+m OA+m1+m OB .令λ=11+m,μ =m1+m,所以λ+μ =1.(充分性 )如… 相似文献
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《中学数学月刊》2005,(10)
正余弦和差化积公式的向量证明吴爱龙余建国(江西省丰城中学331100)曾兵(江西省丰城市第一中学331100)文[1]利用面积相等关系给出了正弦和差化积公式的一种构造证法,本文再给出正余弦和差化积公式的向量证法,供参考.图1证明如图1,设OA=(cosα,sinα),OB=(cosβ,sinβ)(0<β<α<π),则OA+OB=(cosα+cosβ,sinα+sinβ);OA-OB=(cosα-cosβ,sinα-sinβ).又以OA,OB为邻边作OACB,因为OA=OB=1,所以四边形OACB为菱形,作OE=BA,设AB与OC相交于D,则BA⊥OC,∠COB=α-2β,∠COx=α+2β,∠EOx=π2+∠COx=π2+α+2β;OC=2·OD=2co… 相似文献
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已知有向线段P1P2^→，如果P使P1P^→=λPP2^→（λ∈R，λ≠-1）成立，则称点P按定比λ分有向线段P1P2。若P1（x1,y1),P2(x2,y2)，则P(x，y）=（(x1 λx2)/(1 λ),(y1 λy2)/(1 λ)，本文浅谈它的一些特殊应用． 相似文献
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高中数学新教材的向量内容中有一个很重要的定理 ,其应用面也比较大 ,对向量知识的进一步理解和掌握也具有积极的意义 .一、定理的叙述与证明定理 :如果不共线向量 a,b,c有公共起点 ,满足 c=λa +μb.那么三个向量的终点在同一直线上的充要条件是λ +μ =1(这里λ,μ∈ R) .证明 :如图 ,设向量 a =OA,b = OB,c =OC.必要性 :如果点 C在直线BC上 ,设 BC =λCA (λ∈ R) ,则BC = λ1+λBA所以 c=b+BC= b +λ1+λBA =b+λ1+λ( a- b) =11+λa +λ1+λb,因此 11+λ+λ1+λ=1.充分性 :如果λ+μ =1,则λ=1-μ,所以 c=( 1-μ) a +μb =a … 相似文献
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张俊英 《中学数学研究(江西师大)》2008,(5):43-44
线段的定比分点坐标公式x=(x_1 λx_2)/(1 λ),y:(y_1 λy_2)/(1 λ),λ=(x-x_1)/(x_2-x)反映了线段的起点P(x_1,y_1)、终点P_2(x_2,y_2)、分点P(x,y)与定 相似文献
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人教版高中数学第一册(下)第109页例5给出了三点共线的向量表示形式,即若O、A、B三点不共线,则P、A、B三点共线的充要条件为OP=tOA+(1-t)OB(t∈R).这一结论正因为隐藏于普通例题之中,似乎“养在深闺人未识”.事实上,它在一些几何问题上,常有一些妙用,本文就此列举例几1例.在平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知两点A(3,1)、B(-1,3),若点C满足OC=αOA+βOB,其中α、β∈R,且α+β=1,则点C的轨迹方程为().A.3x+2y-11=0B.(x-1)2+(y-2)2=5C.2x-y=0D.x+2y-5=0解例析2:由上述结论知A、B、C三点共线,故点C的轨迹为直线AB,选D.已知点O… 相似文献
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彭长亮 《中学生数理化(高中版)》2004,(11):5-6
今有一道题: 已知平面上一定点C(-1,0)和一定直线l:x=-4,P为该平面上一动点,作PQ⊥l,垂足为Q,(PQ 2PC)·(PQ-2PC)=0. (Ⅰ)问:点P在什么曲线上?求出该曲线的方程. (Ⅱ)点O是坐标原点,A、B两点在P的轨迹上,若OA λOB=(1 λ)OC,且λ＞0,求λ的取值范围. 相似文献
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设P_1（x_1,y_1),P_2（x_2,y_2）是坐标平面上的两点,直线L的方程为f(x,y) =ax by C=0,二次曲线G的方程为 F（x,y）=Ax~2 Bxy Cy~2 Dx十Ey十F=0.1 若记直线P_1P_2与直线L的交点为P（x,y）,并且P点分所成的比为λ（λ≠-1).则 x=(x_1 λx_2)/(1 λ),y=(y_1 λy_2)/(1 λ).代入方 程f（x,y）=0得:a（x_1 λx_2） b（y_1 λy_2） c（1 λ）=0,即ax_1 by_1 c λ(ax_2 by_2 c)=0. 相似文献
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吴文兵 《数学大世界(高中辅导)》2006,(Z2)
人教版新教材高一下册第109页有这样一道例题:如图(1),已知OA、OB不共线,AP=tAB,用OA、OB表示OP.图1解:∵AP=tAB∴OP=OA AP=OA tAB=OA t(OB-OA)=(1-t)OA tOB细察本例条件和结论可以发现:(1)A、B、P三点共线(2)(1-t) t=1(3)若t变化,则OA(或OB)的系数也随之变化.可以证明,下列推广成立.推广(一):不同三点A、B、P共线的充要条件是:存在λ(λ≠0,λ≠1),使OP=λOA (1-λ)OB,(亦可写为OP=λOA μOB,λ μ=1)其中O为平面内任一点,并且满足:1°λ>1时,点P在AB线段的反向延长线上2°0<λ<1时,点P在AB线段上3°λ<0时,点… 相似文献
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李太敏 《数学爱好者(高二版)》2006,(3)
定理:已知直线AB上一点P,(AP|→)=λ(PB|→),O为平面上任一点,求证(OP|→)=((OA|→) λ(OB|→))/1 λ．证明:由(AP|→)=λ(PB|→)得(OP|→)-(OA|→)=λ((OB|→) (OP|→)),化简即得(OP|→)=((OA|→) λ(OB|→))/1 λ．该定理就是定比分点的向量式表示,在数学解题中,有时比定比分点的坐标式更简捷方便,本文试举例加以说明． 相似文献
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郑文龙 《数理天地(高中版)》2011,(6):20-21
性质 设^→OA,^→OB不共线,若A、P、B三点共线,则^→OP＝λ^→OA＋μ^→OB＝1（λ,μ∈R）.
证明 因为A、P、B三点共线,所以 相似文献