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一些和三角形外心相关的几何题,添上该三角形的外接圆,就把要解的题目转化成与圆相关的题目,从而可以运用圆的有关知识来解.下面举两个例子. 例1 求证:等边三角形的外心、内心、重心和垂心重合. 如图1,已知△ABC为等边三角形.求证:△ABC的外心、内心、重心和垂心重合. 相似文献
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武心录 《连云港师范高等专科学校学报》1995,(4)
三角形的“外心”、“垂心”、“重心”共线,该直线称为欧拉线。欧拉线反映了三心之间的一种内在联系。三角形的“外心”、“垂心”、“重心”之间还有许多有趣的性质。 一、若△ABC的外心为O、重心为G、垂心为H,容易证明这三心之间的距离具有度量关系GH=2OG 二、若锐角△ABC的三边中点分别为D、E、F,△DEF的高线足分别为D′、E′、F′,容易证明△ABC的外心O是△DEF的垂心,又是△D′E′F′的内心;若△ABC是钝角三角形,则△ABC的外心O是△DEF的垂心,又是△D′E′F′的一个傍心。 相似文献
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众所周知,锐角三角形外心到三边的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和.由此可以证明:定理锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的二倍.设 O 为△ABC 垂心,过 A,B,C 作其 相似文献
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<正>三角形外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点,叫做三角形的外心.有一类题目,使用三角形的外心可以简便求解.本文先介绍外心的有关知识,再举例说明外心在解题中的用法.一、外心的性质与判定1.外心的性质性质1三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等.性质2设O是△ABC的外心.(1)若点O、C在直线AB的同侧,则∠ACB 相似文献
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文[1]给出了ΔABC 特殊点(外心、内心、重心)与三角形三个顶点 A、B、C 所构成的三个小三角形的外接圆半径与ΔABC 外接圆半径之间的若干不等式,本文补充给出三角形的勃罗卡点、费马点的几个类似不等式,供参考.命题1 设 F 为ΔABC(最大内角小于120°)的费马点,ΔBFC、△CFA、△AFB 及ΔABC 的外接圆半径分别为 R_1、R_2、R_3、R,则 相似文献
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如图1，在△ABC中，设AB〉AC，过A作△ABC的外接圆的切线l．又以A为圆心、AC为半径作圆分别交线段AB于D．交直线l于E，F．证明：直线DE，DF分别通过△ABC的内心与一个旁心． 相似文献
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本刊1991年第5期刊登了第一届浙江省高师院校数学联赛试题及解答,其中的第五大题是:已知AD′、BE′、CF′、为非钝角三角形ABC的三条中线,它们分别交△ABC的外接圆于D、E、F 点,G为△ABC的重心,R为外接圆半径。求证:GD CE GF≥8/3R。下面是刊登的解答的后半部分: 如△ABC为非钝角三角形,则外心O位于它的内部或一边之上。不妨设点O位于△ABG的内部或边上,如图。这时2R=AO BO≤AG BG 相似文献
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众所周知,关于三角形有如下命题: 定理1 设△ABC三条边BC、CA、AB 的中点分别为D、E、F,则△ABC的外心是△DEF的垂心．本文拟应用向量方法,将这个定理推广到一般圆内接闭折线中．为了叙述简便起见,本文约定:符号A(n)表示任意一条平面闭折线 相似文献
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第一题 如图1，在△ABC中，设AB〉AC，过点A作△ABC的外接圆的切线l，又以点A为圆心、AC为半径作圆分别交线段AB于点D，交直线l于点E、F．证明：直线DE、DF分别通过△ABC的内心与一个旁心． 相似文献
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一道IMO预选题的推广 总被引：1，自引：0，他引：1
题目 设△ABC是锐角三角形，外接圆圆心为D，半径为R，AO交△BOC所在的圆于另一点A’，BO交△COA所在的圆于另一点B’，CO交△AOB所在的圆于另一点C’．证明： 相似文献
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关于三角形垂心的探讨 总被引：1，自引：0，他引：1
三角形的重心、外心、内心的性质 ,大家都比较熟悉 ,但对于三角形垂心的性质未见介绍过 ,本人在教学中偶有发现 ,在此介绍并证明如下 ,供同行参考并指正。命题 三角形的重心到各顶点的距离与对应顶点内角余弦值的绝对值的比都相等 ,都等于三角形外接圆的直径。设△ABC的垂心为H ,外接圆的半径为R ,设A、图 1B、C为△ABC的三个内角 ,则HA|cosA|=HB|cosB|=HC|cosC|=2R。下面分三种情况证明 :( 1 )设△ABC为锐角三角形 (如图 1 ) ,作直径BD ,连结AD、DC ,则∠BDC =∠BAC①在Rt△BDC中 ,cos∠BDC =DCBD=DC2R ②又DA⊥AB(… 相似文献
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罗增儒 《中学数学教学参考》2006,(1):28-31
1案例的呈现
2005年高中数学联赛加试第一题是：
题目 如图1，△ABC中，设AB〉AC，过A作△ABC的外接圆的切线l，又以A为圆心，AC为半径作圆分别交线段AB于D，交直线l于E、F。
证明；直线DE、DF分别通过△ABC的内心和一个旁心． 相似文献
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定理 △ABC中,O为外心,OA_1⊥BC于A_1,OB_1⊥AC于B_1,OC_1⊥AB于C_1,R为外接圆半径,则(R-OA_1)(R-OB_1)(R-OC_1)≤1/8·R~3。 证明 分三种情况: (1)△ABC为锐角三角形。 相似文献
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1989年全国高中数学联赛(第二试)中的第一题: 已知在△ABC中,AB>AC、∠A的一个外角平分线交△ABC的外接圆于点E,过E作EF⊥AB,垂足为F。求证:2AF=AB-AC(见图1) (IMO-28-2): 已知锐角三角形ABC的顶角A的平分线交BC于L, 相似文献
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本文介绍一种特殊圆，它与三角形的两边的延长线相切，并与三角形的外接圆相外切，姑且称之为半外切圆．笔者经过认真地探究，发现这种圆有一系列有趣的性质．因此，特撰拙文，与同仁共飨．为了简便，用a、b、c表示△ABC三顶点A、B、C所对的边，R表示△ABC的外接圆半径，I_1、r_1分别表示切AB、AC延长线的半外切圆圆心和半径，切AB、AC延长线的旁切圆半径为r在研究半外切圆性质之前，先讨论三角形旁切圆的一个性质．性质1与△ABC的边AB、AC的延长线相切，并与边BC相切的旁切圆半径等于证明如图由正弦定理同理可以求出另外两个旁… 相似文献
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一道IMO预选题的再探索 总被引：1，自引：1，他引：0
第37届IMO预选题第16题为：
问题 设△ABC是锐角三角形,外接圆圆心为O,半径为R,AO交△BOC所在圆于另一点A’,BO交ACDA所在圆于另一点B’,CO交△AOB所在圆于另一点C’．证明： 相似文献
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刘先明 《中学数学研究(江西师大)》2023,(1):28-29
<正>定义与三角形两边延长线及其外接圆相切的圆,叫三角形的远切圆(即外半切圆)．其半径分别用Ra,Rb,Rc表示(Ra表示与AB、AC延长线及外接圆相切的圆半径等)．设△ABC的三边长、外接圆半径、内切圆半径、半周长、面积、旁切圆半径与远切圆半径分别为a,b,c,R,r,s,△,ra,rb,rc,Ra,Rb,Rc,用∑表示循环求和． 相似文献