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一类二元函数的条件最值,如能进行适当的齐次代换转化为分式函数,利用判别式法易于简捷巧妙地获解。例1 已知|3x-y|≥4,求S=2x~2-xy y~2的最小值,并求S取最小值时的x、y值。解:显然x,y不全为零,不妨设x≠0,令t=y/x。 u=S/(3x-y)~2=(2x~2-xy y~2)/(9x~2-6xy y~2)=(2-t t~2)/(9-6t t~2)化为(1-u)t~2 (6u-1)t (2-9u)=0其△=(6u-1)~2-4(1-u)(2-9u)=32u-7≥0,解得u≥7/32。 相似文献
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本文将用初等数学的方法研究函数y=(c bsinx)/(d acosx)的极值问题:一、在什么条件下,函数y有极值;二、若函数有极值。那么怎样求极值。我们首先通过具体例题来研究如果函数有极值的情况下,怎样求极值例1 求函数y=(1-3sinx)/(5 2cosx)的极值。解法一:去分母整理得: 3sinx 2ycosx=1—5y, ■(9 4y~2)~(1/2)sin(x φ)=1-5y,φ=arctg(2y)/3, ■sin(x φ)=(1-5y)/(9 4y~2)~(1/2) 相似文献
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王化栋 《周口师范学院学报》1997,(4)
求函数f(x,y)=x~2 y~2在条件x y=1下的最小值,通常有如下几种解法: 解法一 应用一元函数的配方法 由条件x十y=1,得y=1—x,将其代入f(x,y)=x~2 y~2,得到一元函数 f(x)=x~2 (1—x)~2=2x~2-2x 1=2(x-1/2)~2 1/2(1)因为(x-1/2)~2≥0,故由(1)式知,当x=1/2时,函数f(x)取最小值。将x=1/2代入y-1—x,得y=1/2。因此,当x=1/2,y=1/2时,函数f(x,y)-x~2 y~2在条件x y=1下取最小值(1/2)~2 相似文献
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这些习题译自苏联《中学数学》杂志,原来是给9到10年级的师生选用的。我们选编其中一部分,供读者参考。①解不等式:(x~(4/x)-1)/(x~(2/x)-2)>0 (x>0)。解:令x~(1/x)=y,(y>0),则原不等式可写成: ((y-1)(y+1)(y~2+1))/(y-2~(1/2)(y+2~(1/2)>0。 相似文献
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把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程,如果化法不当就会化错,例如江苏教育学院,无锡市教学研究室编的高中、数学第二册教学参考书中(以下简称参考书)有两处就发生了错误第一处是习题二十三9题(1),把ρ=5tgθ化为直角坐标方程,参考书中的答案是x(x~2+y~2)~(1/2)=5y。根据答案可知题目的作法是以ρ=(x~2+y~2)~(1/2),tgθ=y/x代到ρ=5tgθ中 相似文献
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一、注重"双基"的考查例1 (2008年江苏卷)设x,y,z为正实数,满足x-2y+3z=0,则(y~2)/(xz)的最小值是____.解析由已知有(y~2)/(xz)=(((x+3z)/2)/(xz))~2=(x~2+9z~2+6xz)/(4xz)≥(6xz+6xz)/(4xz)=3,当且仅当x=3z时等号成立.故答案 相似文献
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算术——几何平均值的应用非常广泛,这是大家所熟知的。本文的目的是说明它除了用来证明不等式和求函数的极值外,还能解决一些特殊方程的问题。兹仅举二例略述一二,供参考。例1.求方程x(2-y~2)~(1/2) y(2-x~2)~(1/2)=2的正整数解解:∵ x,y为正数, ∴ x(2-y~2)~(1/2)≤(x~2 (2-y~2)/2 (1) (等号仅在x~2=2-y~2成立) y(2-x~2)~(1/2)≤(y~2 (2-x~2)/2 (2) (等号仅在y~2=2-x~2成立) (1) (2)得:x(2-y~2)~(1/2) y(2-x~2)~(1/2)≤2 但由方程x(2-y~2)~(1/2) y(2-x~2)~(1/2)=2 显然等号在x~2=2-y~2和y~2=2-x~2时取得故 x~2=2-y~2即x~2 y~2=2 ∵ x,y为正整数,∴ x=1,y=1 相似文献
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在求旋转曲面方程时,一般有两种方法,我们认为均有疏漏之处。一种是把曲线 f(y,z)=0中的 y 改成±(x~2+y~2)~(1/2),这种方法虽然没有多大问题,但最好有点说明。如樊映川编《高等数学讲义》(58年版上册)中,就采用了加注的方法,即:如果 L 上的点的坐标 y 总是 y≥0,则旋转曲面的方程应为 f((x~2+y~2)~(1/2),z)=0;如果 L 上的点的坐标总是 y≤0,则旋转曲面的方程应为 f(-(x~2+y~2)~(1/2),z)=0;如果 L 上的点的坐标 y 可正可负,则旋转曲面的方程应y 为 f(±(x~2+y~2)~(1/2),z)=0。加上这个说明,这个方法就完整了,否则容易造成误解。 相似文献
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《人民教育》1987,(5)
一函数 1.变量x和y有下述关系,问y是x的函数吗? ①x在[0,+∞)中变化,y~2=x. ②x在[0,+∞)中变化,y=x~(1/2). ③x在(-∞,+∞)中变化,y=3. 2.求下列函数的定义城: ①y=1/(x~2+1) ②y=2x/(x~2-3x+2) ③y=(x+1/x-1)~(1/2) ④f(x)={sinx,x≥0,1/(x+1),-1相似文献
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文献[1]提供了一道奥赛题,这是一个三元对称不等式:题目设正实数 a,b,c 满足 a b c=1.证明:10(a~3 b~3 c~3)-9(a~5 b~5 c~5)≥1.(1)1 不等式的另证引理已知函数 f(x)=x 3x~2-x~3-3x~4,则当1≥x y≥x≥y≥0时,f(x)≥f(y)≥0.(2)证明当1≥x y≥x≥y≥0时,首先f(y)=y 3y~2-y~3-3y~4=y(1 3y)(1-y~2)≥0;其次f(x)-f(y)=(x-y) 3(x~2-y~2)-(x~3-y~3)-3(x~4-y~4)=(x-y){1-(x~2 xy y~2) 3(x y)[1-(x~2 y~2)]}.因为 x-y≥0,又1-(x~2 xy y~2)≥(x y)~2-(x~2 xy y~2)=xy≥0,1-(x~2 y~2)≥(x y)~2-(x~2-y~2)=2xy≥0,所以 f(x)-f(y)≥0,即 f(x)≥f(y)≥0.不等式《1)的证明为方便起见,记f(x)=x 3x~2-x~3-3x~4 相似文献
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构造法是一种重要的数学方法,在初中数学竞赛中有广泛的应用。解题时,抓住问题的结构特征,巧妙地构造出与之密切关联的数学模式(如代数式、方程、函数、图形等),往往能形成条件和结论之间的逻辑通道,从而达到解决问题的目的。本文拟通过举例说明这种方法的具体运用。一、构造对偶式例1 比(6~(1/2)+5~(1/2))~6大的最小整数是( ) (A)10581.(B)10110. (C)10109.(D)10582. (1992年西安交大少年班入学考试题) 解:令x=6~(1/2)+5~(1/2),y=6~(1/2)-5~(1/2),则x+y=2 6~(1/2),xy=1. ∴ x~2+y~2=(x+y)~2-2xy=22. ∴ x~6+y~6 相似文献
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有条件限制的双变元取值问题,涉及领域宽,知识面广,需要善于转化,可以通过消元转化为函数求值域问题,但是当题目具有一定特殊形式对,也可通过另外两种常用方法转化.一、消元变函数例1 已知3x~2+2y~2=6x,求 u=x~2+y~2的取值范围.分析:为了求出 u 的范围,需将变量 x,y 用一个变量 x 表示出 u,此时要注意 x 的范围.解:由3x~2+2y~2=6x,得y~2=(1/2)(6x-3x~2)∵y~2≥0,∴x∈[0,2]u=x~2+y~2=x~2+(1/2)(6x-3x~2)=-(1/2)(x-3)~2+(9/2)结合二次函数的图象可知,u∈[0,4] 相似文献
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早在初中代数课上,就已经知道了两数和的平方公式 (x y)~2=x~2 2xy y~2(1)、这一公式的应用是极其广泛的。在这里,我们介绍它的部分应用。 一、推证公式问题 以下乘法公式 (x-y)~2=x~2-2xy y~2 (x y)(x-y)=x~2-y~2 (x y)~3=x~3 3x~2y 3xy~2 y~3 (x-y)~3=x~3-3x~2y 3xy~2-y~3 (x-y)(x~2 xy y~2)=x~3-y~3 (x y)(x~2-xy y~2)=X~3 y~3等都可运用公式(1)来推导 例1、求证:(x y)(x-y)=x~2=y~2 证:令a=(x y)/2,b=(x-y)/2, 则两数x、y的平方差,x~2-y~2=(a b)~2-(a-b)~2运用公式(1)有x~2-y~2=4ab据假设条件,得x~2-y~2=4(x y)/2·(x-y)/2,即x~2-y~2=(x y)(x-y) 例2、求证:(x-y)~3=x~3-3x~2y 3xy~2-y~3 证:将上式右端进行配方变换即得证 x~3-3x~2y 3xy~2-y~3 =x~3-2x~2y xy~2-x~2y 2xy~2-y~3 =x(x-y)~2-y(x-y)~2 =(x-y)~3 类似地,乘法公式都可用公式(1)来推导,此外,还可推证一些多项因式的乘法 相似文献