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例 1 已知一组数据ｘ1、ｘ2 、ｘ3 的方差为Ｓ21=3,求另一组数据 2ｘ1、2ｘ2 、2ｘ3 的方差Ｓ22 。解 ∵ ｘ =13(ｘ1 ｘ2 ｘ3) ,Ｓ21=13 ∑3ｉ=1(ｘｉ-ｘ) 2 =3,∴ Ｘ′ =13( 2ｘ1 2ｘ2 2ｘ3)=2× 13(ｘ1 ｘ2 ｘ3) =2ｘ ,∴ Ｓ22 =13∑3ｉ=1( 2ｘｉ-2ｘ) 2 =13 ∑3ｉ=14(ｘｉ-ｘ) 2=4× [13∑3ｉ=1(ｘｉ-ｘ) 2 ]=4Ｓ21=4× 3=1 2。由此进行推广 ,易得下面的定理 :定理 1 如果一组数据ｘ1,ｘ2 ,…ｘｎ 的方差Ｓ21=ａ ,那么另组数据ｍｘ1,ｍｘ2 ,…ｍｘｎ 的方差Ｓ22 =ｍ2 ａ。证明 ∵ｘ =1ｎ ∑ｎｉ=1ｘｉ,Ｓ21=1ｎ ∑ｎｉ=1(ｘｉ-… 相似文献
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第 3 0届ＩＭＯ训练题中有一道试题 :对满足ｘ2 +ｙ2 +ｚ2 =1的正数ｘ、ｙ、ｚ,求ｘ1 -ｘ2 +ｙ1 -ｙ2 +ｚ1 -ｚ2 的最小值 .安振平先生将其推广为[1] :已知ａｉ ∈Ｒ+(ｉ =1 ,2 ,… ,ｎ ,ｎ≥ 3 ) ,∑ｎｉ=1ａｎ - 1ｉ =1 .则 ∑ｎｉ=1ａｎ - 2ｉ1 -ａｎ- 1ｉ≥ ｎｎ -1ｎ - 1ｎ .受其启发 ,笔者发现可将其进一步推广为 :已知ａｉ∈Ｒ+(ｉ=1 ,2 ,… ,ｎ ,ｎ≥ 3 ) ,α1、α2 、ｋ∈Ｎ ,ｃ>ａｋα2ｉ ,且∑ｎｉ=1ａα1+α2ｉ =ｎ ｃｋ +1α1+α2ｋα2 .则∑ｎｉ=1ａα1ｉｃ-ａｋα2ｉ≥ ｎｋｃｋ +1α1-ｋα2ｋα2 .证明 :令ｘｉ=ａα2ｉ(ｃ … 相似文献
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设ｎ个数据ｘ1,ｘ2 ,… ,ｘｎ 的平均数为ｘ ,则其方差为ｓ2 =1ｎ[(ｘ1-ｘ) 2 +(ｘ2 -ｘ) 2 +… +(ｘｎ-ｘ) 2 ]=1ｎ[(ｘ21+ｘ22 +… +ｘ2 ｎ) -1ｎ(ｘ1+ｘ2 +… +ｘｎ) 2 ]显然ｓ2 ≥ 0 (当且仅当ｘ1=ｘ2 =… =ｘｎ=ｘ时取等号 )。应用这一公式 ,可简捷、巧妙地解决一些竞赛试题中的最值问题 ,例说如下 :1 求函数的最值例 1 求函数 ｙ=3ｘ+1 -3ｘ的最大值。(1 984年上海市中学生数学竞赛试题 )解 ∵ 3ｘ、 1 -3ｘ的方差是ｓ2 =12 [(3ｘ) 2 +(1 -3ｘ) 2 -12 (3ｘ +1 -3ｘ) 2 ]=12 (1 -12 ｙ2 )≥ 0 ,∴ ｙ2 ≤ 2 ,故ｙｍａｘ=2。例 2 求… 相似文献
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运用分母代换法证明不等式举例 总被引：1，自引：1，他引：1
对于分母是多项式的分式不等式 ,采用将分母进行整体代换后 ,便于应用基本不等式或常见的“( ｎｉ=1ａｉ) ( ｎｉ=11ａｉ)≥ｎ2 (ａｉ >0 )”结论来证明 .下面分类举例 .1 分子为常数型例 1 若ｘ、ｙ、ｚ∈ (0 ,1) ,求证 :11-ｘ+ ｙ+ 11- ｙ+ｚ+ 11-ｚ+ｘ ≥ 3.证明 设 1-ｘ + ｙ=ａ ,1- ｙ+ｚ=ｂ ,1-ｚ+ｘ=ｃ,则ａ >0 ,ｂ>0 ,ｃ>0 ,且ａ +ｂ+ｃ =3.∵ (ａ+ｂ +ｃ) (1ａ + 1ｂ + 1ｃ) ≥ 9,∴ 1ａ + 1ｂ + 1ｃ ≥ 3.故 11-ｘ+ ｙ+ 11- ｙ+ｚ+ 11-ｚ+ｘ ≥ 3.例 2 (第 19届莫斯科奥林匹克竞赛题 )设任意的实数ｘ、ｙ满足 ｜ｘ｜ <1,｜… 相似文献
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第 6章 数据处理1 填空题1 )设有一组数据ｘ1 ,ｘ2 ,Λ ,ｘｎ,其均值记为 ｘ ,则 ｎｉ=1(ｘｉ- ｘ) = .2 )设ｘ1 ,ｘ2 ,Λ ,ｘｎ 是一组数据 ,则其标准差是 .2 单项选择题1 )设一组数据ｘ1 =0 ,ｘ2 =1 ,ｘ3=2 ,它们的权数分别为ｐ1 =0 .1 ,ｐ2 =0 .6 ,ｐ3=0 .3 ,则这组数据的加权平均数是( ) . Ａ 1 .2 Ｂ 1 Ｃ 0 .4 Ｄ 0 .62 )分别为 2 3 ,2 5 ,2 2 ,35 ,2 0 ,2 4的一组数据 ,那么这组数据的中位数是 ( ) . Ａ 2 2 Ｂ 2 3 Ｃ 2 3 .5Ｄ 2 43 参考答案3 1 填空题1 ) 0 2 ) 1ｎ ｎｉ=1(ｘｉ-… 相似文献
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一、数论部分1.设ｋ和ｎ是正整数 ,且ｎ >2 .证明 :方程ｘｎ -ｙｎ=2 ｋ无正整数解 .(第 5 3届罗马尼亚数学奥林匹克决赛 )证明 :反证法 .设ｎ0 >2是满足ｘｎ0 -ｙｎ0 =2 ｍ(ｍ >0 )中最小的一个 .若ｎ0 是偶数 ,设ｎ0 =2ｌ,ｌ∈Ｎ ,则ｘ2ｌ-ｙ2ｌ =(ｘｌ-ｙｌ) (ｘｌ+ｙｌ) ,于是ｘｌ-ｙｌ 是 2的整数次幂 ,与ｎ0 的最小性矛盾 .若ｎ0 是奇数 ,定义集合Ａ ={ｐ|ｘｎ0 -ｙｎ0 =2 ｐ,ｐ、ｘ、ｙ均为正整数 } .设ｐ0 是Ａ中最小的一个元素 ,则ｘｎ0 -ｙｎ0 =2 ｐ0 ,所以ｘ、ｙ的奇偶性相同 .又因为(ｘ -ｙ) (ｘｎ0 -1+ｘｎ0 -2 ｙ +… +ｘｙｎ… 相似文献
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裘良 《中学数学教学参考》2001,(8)
定理 两个ｎ(ｎ≥ 2 )次方程ａｉｘｎ ｂｉｘ ｃｉ=0○i(ｉ=1 ,2 )有公共根的充要条件是(ａ2 ｃ1-ａ1ｃ2 ) ｎ =(ａ1ｂ2 -ａ2 ｂ1) ｎ - 1(ｂ1ｃ2 -ｂ2 ｃ1) .③证明 :设①、②有公根ｘ0 ,记 ｙ =ｘ0 ｎ,ｚ =ｘ0 ,则关于 ｙ、ｚ的方程组ａ1ｙ ｂ1ｚ ｃ1=0 ,ａ2 ｙ ｂ2 ｚ ｃ2 =0 ④有解 ( ｙ ,ｚ) .当ａ1ｂ2 -ａ2 ｂ1≠ 0时 ,④的解是ｙ =ｂ1ｃ2 -ｂ2 ｃ1ａ1ｂ2 -ａ2 ｂ1,ｚ =ａ2 ｃ1-ａ1ｃ2ａ1ｂ2 -ａ2 ｂ1.⑤因 ｙ=ｘ0 ｎ=ｚｎ,由⑤可验证③成立 .当ａ1ｂ2 -ａ2 ｂ1=0时 ,因④有解 ,只有ａ2 ｃ1-ａ1ｃ2 =ｂ1ｃ2 -ｂ2 ｃ1=0 ,即③成… 相似文献
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杨涤尘 《湖南师范大学教育科学学报》2001,(6)
柯西不等式的推广定理 1 :设ａｉｊ>0 (其中ｊ=1 ,2 ,… ,ｍ ,ｉ=1 ,2 ,… ,ｎ) ,则( ｎｉ=1∏ｍｊ=1ａｉｊ) ｍ ≤ ∏ｍｊ=1 ｎｉ=1ａｍｉｊ) (1 )当ｍ =2时 ,即为柯西不等式 :( ｎｉ=1ａｉｂｉ) 2 ≤ ( ｎｉ=1ａ2 ｉ) ( ｎｉ=1ｂ2 ｉ) (2 ) 一、引理 (权方和不等式 ) 设ｘｉ、ｙｉ∈Ｒ+,(ｉ=1 ,2 ,… ,ｎ) ,ｍ >0 ,则( ｎｉ=1ｘｉ)ｍ +1≤ ( ｎｉ=1ｙｉ)ｍ · ｎｉ=1ｘｍ+1 ｉｙｍｉ(3 )式中等号当且仅当 ｘ1 ｙ1 =ｘ2ｙ2 =… =ｘｎｙｎ时成立。证明可参见[1 ] 。二、定理的证明对ｍ用数学归纳法。当ｍ =2时 ,即为柯西不等式 ,结论… 相似文献
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有些看似与方程组无关的问题 ,若能抓住特征构造方程组可以巧妙求解 ,举例如下 :一、由同类项的定义构造方程组例 1 如果单项式 2ｘ2ｍ -ｎｙ与 - 3ｘ3ｙ2ｍ +ｎ是同类项 ,那么ｍ = ,ｎ = .解 :由同类项定义 ,可得方程组2ｍ -ｎ =3,2ｍ +ｎ =1 . 解之得 ｍ =1 ,ｎ =- 1 .二、由非负数性质构造方程组例 2 若有理数ｘ、ｙ、ｚ满足 | 2ｘ - ｙ| + | ｙ + 2ｚ| + (ｚ- 2 ) 2 =0 ,则ｘ+ ｙ +ｚ= .解 :由非负数性质 ,得方程组 :2ｘ - ｙ =0 ,ｙ + 2ｚ=0 ,ｚ - 2 =0 . 解得ｘ =- 2 ,ｙ =- 4,ｚ=2 .∴ｘ + ｙ +ｚ =- 2 - 4+ 2 =- … 相似文献
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何仁权 《中学数学教学参考》2002,(12)
引理[1] 设整数Ｘ≥ 2的标准分解式为Ｘ =ｘ1ｔ1·…·ｘｎｔｎ,则对ｋ∈Ｎ :(1 )Ｘｋ 互异因数恰有 (ｋｔ1 1 )·…·(ｋｔｎ 1 )个 ;(2 )其中 ,满足Ｘ′|Ｘｋ,且 (Ｘ′,ＸｋＸ′) =1的为 2 ｎ个 ,且Ｘ′ =Ｘｋ1,ＸｋＸ′=Ｘｋ2 (Ｘ1Ｘ2 =Ｘ ,(Ｘ1,Ｘ2 ) =1 ) .定理 1 对奇数Ｘ≥ 3 ,(1 )Ｘｋ 恰有 [12 Πｎｉ=1(ｋｔｉ 1 ) ]([ｘ]表示ｘ的整数部分 )组平方差分拆数 :ｙ =12 | ＸｋＸ′-Ｘ′| ,ｚ =12 (ＸｋＸ′ Ｘ′) ,(Ｘ′|Ｘｋ) ,即Ｘｋ=ｚ2 -ｙ2 ;(2 ) (1 )中满足 (ｘ ,ｙ ,ｚ) =1的 ｙ、ｚ恰有 2 ｎ - 1组 ,且可表示为 ｙ =12 … 相似文献
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现行高中教材《代数》下册 12页 2题 ( 1) :设ｘ ,ｙ都是正数 ,求证 :ｘｙ ｙｘ ≥ 2 .将此不等式变形 ,得ｘｙ - 1≥ 1- ｙｘ ,( )等号当且仅当ｘ =ｙ时成立 .应用 ( )可简便地证明一类分式不等式 .例 1 设ａ1,ａ2 ,… ,ａｎ 均为正数 ,且ａ1 ａ2 … ａｎ=1 (ｎ >1) ,求证 : ｎｉ=1ａ2ｉ 1ａｉ≥ｎ2 1. 证 ｎｉ =1ａ2ｉ 1ａｉ- (ｎ2 1) = ｎｉ=11ａｉ-ｎ=ｎ ｎｉ =11ｎａｉ- 1≥ｎ ｎｉ=1( 1-ｎａｉ) =0 .∴ ｎｉ =1ａ2ｉ 1ａｉ≥ｎ2 1.例 2 设ａｉ∈Ｒ (ｉ =1,2 ,… ,ｎ) ,ｎ≥ 2 ,且 ｎｉ=1ａｉ=1.求证 : ｎｉ=1… 相似文献
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化归法是解条件分式求值问题的一种有效方法 ,现举实例加以说明。例 1 已知ｘ2 - 3ｙ2 =2ｘｙ ,ｘ >0 ,ｙ >0 ,求ｘ - ｙｘ +ｙ的值 .解 :由已知条件 ,得ｘ2 - 2ｘｙ - 3ｙ2 =0 ,∴ (ｘ - 3ｙ)·(ｘ +ｙ) =0∵ｘ >0 ,ｙ >0 ,有ｘ +ｙ >0 ,∴ｘ - 3ｙ =0 ,即ｘ =3ｙ∴ｘ - ｙｘ +ｙ=3ｙ - ｙ3ｙ +ｙ=2 ｙ4 ｙ=12 .例 2 已知 :ｘ +2 ｙ +ｚ =0 ,3ｘ - ｙ - 11ｚ =0 (ｚ≠ 0 ) ,求ｘ2 - ｙ2 +ｚ2ｘｙ +ｙｚ +ｚｘ的值 .解 :由已知条件视ｚ为常数可得方程组ｘ +2 ｙ =-ｚ ,3ｘ - ｙ =11ｚ 解得ｘ =3ｚｙ =- 2ｚ∴原式 =(3ｚ) 2 - (- 2ｚ) 2 +… 相似文献
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在数学竞赛中 ,会碰到一类与两数和与积有关的问题 ,文 [1]给出了这类问题的解 ,笔者通过思考 ,发现对其中的一些问题可以通过构造一元二次方程求解 .例 1 已知ｘ ,ｙ ,ｚ为实数 ,且ｘ + ｙ+ｚ= 5 ,ｘｙ+ｙｚ+ｚｘ =3 ,试求ｚ的最大值与最小值 .(加拿大第 10届数学竞赛题 )解 由题意 ,ｘ+ ｙ =5 -ｚ ,ｘｙ =3 -ｚ(ｘ+ｙ) =3 -ｚ(5 -ｚ) =ｚ2 -5ｚ + 3 ,所以ｘ ,ｙ是关于ｐ的一元二次方程 ｐ2 -(5 -ｚ)ｐ+ (ｚ2 -5ｚ+ 3 ) =0的两个实数根 ,从而Δ =(5 -ｚ) 2 -4 (ｚ2 -5ｚ+ 3 ) =-3ｚ2 +10ｚ + 13 ≥ 0 ,解得 -1≤ｚ ≤ 133 .因此 ,ｚ的最… 相似文献
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余学虎 《中学生数理化(高中版)》2003,(4):20-20
大家知道 ,一元二次方程ａｘ2 +ｂｘ +ｃ=0 (ａ≠ 0 )根的判别式Δ =ｂ2 - 4ａｃ有着广泛的应用 .下面就用Δ≤ 0求某些函数最值谈谈它的应用 .例 1 若ｘ、ｙ、ｚ为正实数 ,且ｘ + 3ｙ + 5ｚ =15,求 ｘ + 5ｙ+ 2ｚ的最大值 .解 :设函数ｆ (ｍ ) =(ｘ + 3ｙ + 5ｚ)ｍ2 + 2 (ｘ + 5ｙ + 2ｚ)ｍ +1+ 532 + 252 =( ｘｍ + 1) 2 + 3ｙｍ + 532 + 5ｚｍ + 252≥ 0 ,ｘ + 3ｙ + 5ｚ=15>0 ,所以Δ =4 (ｘ + 5ｙ+ 2ｚ) 2 - 4(ｘ + 3ｙ + 5ｚ) 1+ 53+ 25≤ 0 .即ｘ +5ｙ+ 2ｚ≤ 4 6 .易得等号可以成立 ,故所求式的最大值为 4 6 .例 2 设θ为锐角 ,求… 相似文献
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题 令ｘ、ｙ、ｚ是满足ｘ ｙ ｚ =1的非负实数。证明 :ｘ2 ｙ ｙ2 ｚ ｚ2 ｘ≤ 42 7,并求不等式成立的条件。( 1 999年加拿大数学奥林匹克题 )简证 由于不等式是关于ｘ、ｙ、ｚ轮换对称的 ,故可设ｘ≥ｙ≥ｚ ,从而ｘ2 ｙ ｙ2 ｚ ｚ2 ｘ≤ｘ2 ｙ 2ｘｙｚ=ｘｙ(ｘ 2ｚ) =12 ｘ·2 ｙ·(ｘ 2ｚ)≤ 12 ( ｘ 2 ｙ ｘ 2ｚ3 ) 3 (∵ｘ、ｙ、ｚ非负 )=12 [2 (ｘ ｙ ｚ)3 ]3=42 7,等号在ｘ =2 ｙ =ｘ 2ｚ时成立 ,即ｘ =2 /3,ｙ =1 /3,ｚ =0。推广 若条件不变 ,则结论可推广为 :ｘｎｙｍ ｙｎｚｍ ｚｎｘｍ≤ ｎｎ·ｍｍ(ｎ ｍ) … 相似文献
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一个不等式的推广 总被引：2，自引：0，他引：2
从许多相关杂志上都能见到如下不等式 :若ｘ、ｙ∈Ｒ+,则 (ｘ2 +ｙ2 ) 12 >(ｘ3+ｙ3) 13. ( 1 )下面笔者给出式 ( 1 )的两个推广 :推广 1 :若ｘ、ｙ∈Ｒ+,ｍ、ｎ∈Ｎ且ｎ >ｍ ,则 (ｘｍ+ｙｍ) 1ｍ >(ｘｎ+ｙｎ) 1ｎ . ( 2 )推广 2 :若ａ1,ａ2 ,… ,ａｎ∈Ｒ+,且ｓ>ｔ>0 ,则事实上 ,式 ( 3 )又是式 ( 2 )的推广 ,因此我们只证明式 ( 3 ) .证明 :所证不等式等价于下列不等式∑ｎｉ=1ａｔｉ1ｔ∑ｎｉ=1ａｓｉ1ｓ>1 ,即 ａｓ1∑ａｓｉｔｓ +… +ａｓｎ∑ａｓｉｔｓ1ｔ >1 .( 4)令 ａｓ1∑ａｓｉ1ｓ =ｂ1,… ,ａｓｎ∑ａｓｉ1ｓ =ｂｎ,则ｂｉ… 相似文献
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《中学生理科月刊》2002,(8)
题 1 设实数ｍ、ｎ分别满足ｍ2 +99ｍ +5 =0 ,5ｎ2+99ｎ +1 =0 ,且ｍｎ≠ 1 .求 ｍｎ+1 4ｎ +1ｍ 的值 . 解 (构造一元二次方程 )∵ ｎ≠ 0 ,∴ 1ｎ2 +991ｎ +5 =0 .又ｍ2 +99ｍ +5 =0 ,且ｍｎ≠1 ,∴ 1ｎ,ｍ是一元二次方程ｘ2 +99ｘ+5 =0的两相异实根 .∴ 1ｎ+ｍ =- 99,ｍｎ =5 .∴ ｍｎ+1 =- 99ｎ,ｍ =5ｎ.故 ｍｎ+1 4ｎ +1ｍ =- 99ｎ +1 4ｎ5ｎ =- 1 7.(四川 侯国兴提供 )题 2 已知正整数ｘ、ｙ满足ｘｙ+ｘ+ｙ =71 ,ｘ2 ｙ +ｘｙ2 =880 .求ｘ2 +ｙ2 的值 . 解 由 ｘｙ+ｘ+ｙ=71 ,ｘ2 ｙ +ｘｙ2 =880 ,得ｘｙ+(ｘ+ｙ) =71 … 相似文献
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一、填空题1 .(河南省)计算 :ａ3 ÷ａ·1ａ =.2 .(河南省 )ｍ、ｎ满足｜ｍ 2｜ ｎ - 4 =0 ,分解因式 :(ｘ2 ｙ2 ) - (ｍｘｙ ｎ) =.3 .(河南省 )若ｍ、ｎ是方程ｘ2 2 0 0 2ｘ - 1 =0的两个实数根 ,则ｍ2 ｎ ｍｎ2 -ｍｎ的值是.4.(烟台市 )某件商品 ,把进价提高后 ,标价为2 2 0元 .为了吸引顾客 ,再按 9折出售 (即卖价为标价的 90 % ) ,这件商品仍能盈利 1 0 % .这件商品的进价为 .5 .(连云港 )若ａｂ =1 ,则 11 ａ2 11 ｂ2 的值为 .6 .(安徽省 )在解方程 (ｘ2 - 1 ) 2 - 2ｘ2 - 1 =0时 ,通过换元并整理得方程ｙ2 - 2 ｙ - 3=0 ,则ｙ… 相似文献
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邵长举 《中学数学教学参考》2001,(7)
定理 数列ａ ｄ ,ａ 2ｄ ,… ,ａ ｎｄ的方差为11 2 (ｎ2 -1 )ｄ2 .证明 :1 ,2 ,… ,ｎ的均值为Ｓ =1ｎ(1 2 … ｎ)=1ｎ·ｎ(ｎ 1 )2 =ｎ 12 ,应用方差的简化计算公式 .Ｓ2 =1ｎ[(1 2 2 2 … ｎ2 ) -ｎＳ2 ]=1ｎｎ(ｎ 1 ) (2ｎ 1 )6-ｎ(ｎ 1 ) 24=ｎ2 -11 2 .由于若 {ｘｎ}的方差为Ｓ2 ,则 {ｘｎ ａ}的方差为Ｓ2 ,而 {ｐｘｎ}方差为 ｐ2 Ｓ2 ,于是{ａ ｎｄ}方差 ={ｎｄ}方差 =ｄ2 {ｎ}的方差 =ｄ2 Ｓ2=ｎ2 -11 2 ｄ .等差数列方差的计算公式$江苏沛县郝寨中学@邵长举… 相似文献
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《中学数学教学参考》2001,(3)
一、选择题 :本大题共 12小题 ,每小题 5分 ,共 60分 .在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 .( 1)集合Ｍ ={1,2 ,3 ,4 ,5}的子集个数是 ( ) .Ａ .32 Ｂ .31 Ｃ .16 Ｄ .15( 2 )函数ｆ(ｘ) =ａｘ(ａ >0且ａ≠ 1)对于任意的实数ｘ ,ｙ都有 ( ) .Ａ .ｆ(ｘｙ) =ｆ(ｘ) ｆ( ｙ)Ｂ .ｆ(ｘｙ) =ｆ(ｘ) ｆ( ｙ)Ｃ .ｆ(ｘ ｙ) =ｆ(ｘ) ｆ(ｙ)Ｄ .ｆ(ｘ ｙ) =ｆ(ｘ) ｆ(ｙ)( 3)ｌｉｍｎ→∞Ｃｎ2ｎＣｎ 1 2ｎ 2=( ) .Ａ .0 Ｂ .2 Ｃ .12 Ｄ .14( 4 )函数ｙ =- 1-ｘ (ｘ≤ 1)的反函数是( )… 相似文献