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1.
设R名△ABC的勾,股,弦分别为。,b口,那么关系式a+b)c,。,+石2=。,,a’+b3<。3,启发我们,有如下定理. 定理函数l(劝=护+b‘一c‘当。咬:<2时为正,!(2)=O,当:>2片为负.证明f‘·,二二「(誉)’·(粤)’〕.由:(劲’·(劲2一‘,=夙n。,则互=。。。。,o<。<叮 Cla一c一命考虑甲(x)二/a\劣Ib\忿t—I十t—I\C/\ClSin公a+eos思a。 (下转35页)(上接38页)命x=2+了,则 势(劣)=甲(2+劣,) =sin“十之产a+eosZ十二,a =sin Za,sin,,a+eosZa.eos,,a。 当0<:<2时,:产<0,5 in,,a>z, eos,产a>J, 尹(x)>sin“a+eosZa=J,e’>O,故了(幻>叭 当x二2时,x,二o, … 相似文献
2.
一一B一CP一Q定理:在△ABC和△刃尸cl中,若二。+二一,80o,则器一毙瓷轰。BNsin乙1NCsin之2sin匕lsin匕2’②证:在△ABC中,由⑧②得器 尸B一配.AB BC而亡=薪石万;在△A,B‘C,中,A,B‘B,C‘赢万=妥石万’①②”且sinC二sinC‘。~_~~AB岁’~’耳吞A,B,推论:在△ABC和C(二产 国1BCsinA,B,C‘sinA.’△A,B‘C‘中,/C+ 2.证明线段相子 例2在△ABC中,AB>AC,AD为艺BAC的平分线,M为刀C的中点,过衬点作AD的平行线交AB及C通的延长线于P、Q,求证:PB=QC。 证如图, J~.___‘,,.,二,AB BC匕C‘=1800,匕A=艺A,,则弓带若;=.… 相似文献
3.
汤晓燕 《数学大世界(高中辅导)》2006,(3)
一、应用正弦定理判定【例1】已知在△ABC中,sin2A+sin2B=sin2C,求证△ABC是直角三角形.证明:由正弦定理sinA=2aR,sinB=2bR,sinC=2cR,代入sin2A+sin2B=sin2C中,得4aR22+4bR22=4cR22,∴a2+b2=c2,故△ABC是直角三角形.二、应用余弦定理判定【例2】在△ABC中,A、B、C所对的边分别为a、b、c,a≠b,且a·cosA=b·cosB.判定△ABC的形状.解:α·cosA=b·cosB,由余弦定理得α·b2+2cb2c-a2=b·a2+2ca2c-b2,化简整理得(a2-b2)(c2-a2-b2)=0,∵a≠b,∴a2+b2=c2,故△ABC是直角三角形.三、应用根的判别式判定【例3】若a、b、c为△ABC的… 相似文献
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《中学生数理化》2003,(35)
1。CZ。A3。C4。DS。B6一3 7.670 8.(2x+y一l)(x+3少+5)9.略10.2、11.延长BC到F,使C石七刀E,联结A厂在Rt△AC户、和Rt△召百刀中, AC=BE,C声’== DE, △AC声,哭△BED,A石’= BD,乙双刁C二乙B.又乙B十乙召月C=900,故乙声刀C+乙召八C二900,△刀月F为直角三角形.因为刀e+。君=2刀刀.故刀c+c作劲只即A凡工召厂 212.乙B=300. 。、b、c是△ABC的三边长,且a一bl+口6 b一e十、…万一 1咔.OC+二上卫 1十c。=0 a、b、e均为正数,且(a--b)(l+be)(l+ea)+(b一e)(l+ab)(l+ea)+(e一a)(1+ab)(l+be)=0. 而(a一b)(l+be)(l+ea)=a一b+aZc一bZ… 相似文献
5.
引理1对任意乙A,乙B,有恒等式 B)、、产尸B一2 s*n,cOS(普士S、·:一(A (51·鲁不S‘·号)·(一甲士S;·普S、·粤)· 引理2在△ABC中, (a 乙 c),则、,.1飞已夕=.万. 石in兰=‘Z匡三亘正三)‘ ZY乙e定理在不等边△ABC中,乙A,匕B的外角平分线相等的充要条件是:罕为之二夕 P一b邵,。卜扬一由偌,一了一目U卜‘{夕lJ’一尸刊德. U 证明必要性.设乙A,乙B的外角平分线分别为AD夕B刀,则D,E位置有四种可能:(i)了月,匕C为锐角,匕B为钝角,则B位于DC之间,C位于且E之间(如图);(2)乙A,乙五为说角,乙C为钝角,C位于BD间,同时户性于A刀间… 相似文献
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7.
(时间:60分钟;满分:100分)一、选择题(每小题5分，共25分) 1.在△ABC中，若乙A=乙C一乙B，则△ABC一定为A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形2.在△A BC中，a、b、。分别为其三边的长，若a:b:。=12:35:37，则△ABC的形状一定为() A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不能确定3.若a、b、。为三角形的三边长，则下列各组情况中，不能组成直角三角形的是() A a=8，b=15，e=17 n__3:5 0。谧不二—.U=—，C=1 44 C .a=14，b=48，c=4 9 D.‘9，b=40，c二41 4.在△A BC中，a、b、。分别为乙A、乙B、乙C的对边的长.下列说法中错… 相似文献
8.
本文先给出含双圆半径的几何性质: 定理1:设△ABC的外接圆半径为R,内切圆半径为r,顶点A、B、C到内心的距离分别为a0,b0,c0,则4Rr2=a0b0c0. 证明:因为r=(a0sin)A/2.=(b0sin)B/2=(c0sin)C/2. 所以r3=(a0b0c0sin)A/2(sin)B/2(sin)C/2因为△=1r/2(a+b+c)=Rr(sinA+sinB+sinC)=2R2sinAsinBsinC所以r/2R=sinA·sinB·sinC/sin+sinB+sinC又因为易证sinA+sinB+sinC= 相似文献
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我们知道,在△ABC中,如b今。乙A的外角平分线t。二2 bc_:_A!万二万““‘丁,则(*)因此有 定理△ABC为等腰(非等边)三角形的充要条件是其唯一的最大(或最小)边相邻的两角的外角平分线相等. 证明设BC二a为最大(或最小)边, 则a今b,a寺c.由(关)有,刀一2 n CJel2’ n 2口C‘a一‘} Zab}a一bl如西=e,则,b=tc;反之,女[rz,,=/,应月}半角公式及余弦定理夕得 b(Za乡一aZ一bZ e“) (a一b)“ _c(Zae一aZ一eZ b“) 一(a一弄介日lj(b一e)(夕一b一c)(a3一a,b一aZe 3abc一b Zc一bcZ)=0.无论a>b,a>:或a相似文献
10.
《数学教学》1984,(4)
又设AD=劣,B刀二夕,DC=a一夕,则1984年第3期问题解答n。,,,~二,1,口,L,,=J’l,=丈‘L,+刀l’,百L劣+,一。,+音‘二+a一,一“) 41.已知函数f(幻=a公十b,且加,十6醉=3,证明:对于任意:任〔一1,1],!f(:)}镇粼百. 1,。=甲二~(之汤+a一O一C) 艺、证明:~:·6b2一3,...(得)’·(、。)z=‘·代入前式得三竺互互=三(勘+a一b一c),化简为丫哥一i·一滤· 犷,rl二—Lp一劣) 肠①,(p表示△ABC的半周)召万乙=eo,夕,in夕,b=COS夕 另一方面,2(S。,,。+S。,。,)=犷:(c+工+夕)+犷2(b+劣+a一今)=,,(a+乙+e+器)=价i〔p+劣)…②,2S“eo=Zp犷…于是,(·。=… 相似文献
11.
}一、自勺. 1.在直角△ABC中，乙C=9()o，a，b，。分别是乙滩，乙召，乙C的对边，a=12，e= 13，则下列各式成立的是(). A，inA二旦B.sinA=立c.c耐二旦D.co幼=立12 13 13 13 2.△ABc的三边分别是△刀EF的三边的3倍，那么它们的最小锐角的正弦值). A.前者是后者的3倍C.相等B.后者是前者的3倍D.无法判断3.在Rt△ABc中，乙C二oo。，。，‘，。分别是乙A，乙B，乙c的对边，下列关系式中错误的是(). A.a二c·cosA B.b=a.tallB C.a=c·511讲D.b=c·sinB 4.在等腰三角形ABC中，底边BC=2，且吻C=2，则△ABC的周长为(). A.2+2、/了B.… 相似文献
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由正弦定理 a/(sin A)=b/(sin B)=c/(sin C)=2R(R为外接圆半径)很容易得出以下几个推论: 推论1:如果两个三角形有一个角相等或互补,那么它们外接圆半径的比等于这两个等角或补角的对边比。即在△ABC和△A′B′C′中,若A=A′或A A′=180°则R/R′=a/a′。 相似文献
13.
题:锐角△ABC的外接圆过B、C的切线相交于N,M是BC的中点,求证:艺B摊M二乙CAN。(第26届IMO候选试题中一题的第(i)间) 为方便,设AN交△且BC外接圆于r).匕BAM二日,匕CAM二a。 当锐角△月BC的AB二AC时,八AB刃丝△且CN,从而知AM与AN重合,显然a二。p。以下均假定AB.寺AC。 证法一连结 匕CAM=乙DAB,:.a二日。 证法三作BF土AC于F,连结MF、对N,如图。则 NM_1_BC, /万C五f二厂理.’. Rt△ABF 。〕Rt△CNM 刁B_AF 万凡一乙兀了又B对=C刀 =MF,乙MFC二匕A CB,I曲﹀N\\、N︷NAB 一一BD、CD,如’到。 由托勒米定’里… 相似文献
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赵卫国 《中学生数理化(高中版)》2005,(10)
刀即 1.构造三角形巧证不等式 嘟郭设。,b,。为正实数,求证:石下了丽下了 了c,+ae+。,,万(。+b+e). 分析:通过观察,我们发现不等式左边每个根号下 的多项式具有余弦定理的结构形式.该不等式具有轮 换对称性.这提示我们只需研究其中一个就行了. 证明:因为丫a,+a‘+‘,二了a,+。,一2砧。051加。,如 +丫6,+石e+e,+ 户书狄 图1所示,在△ABC中乙ACB的角平分线为CD,令乙ADC二O,则 AD 5 in60o BD bb sins’51 旦旦 fl6o sin(180。一8)sin口 所。,。二鼎,。。=彝 由此可得,AB=AD+DB= 譬‘a+6’ sin口 .因为0相似文献
15.
正弦定理和余弦定理是解三角形的两个重要定理 ,也是竞赛中重点考查的内容之一 .本文浅谈由这两个定理联袂推出的结论及在竞赛中的应用 .在△ABC中 ,若 a,b,c分别是角 A,B,C的对边 ,由正弦定理可得 a=2 Rsin A,b=2 Rsin B,c=2 Rsin C(R为△ ABC的外接圆半径 ) ,代入余弦定理中 ,可得到它们的联袂结论 :sin2 A=sin2 B sin2 C- 2 sin Bsin Ccos A;sin2 B=sin2 A sin2 C- 2 sin Asin Ccos B;sin2 C=sin2 A sin2 B- 2 sin Asin Bcos C.同时还可以证明当 A B C=kπ(k为奇数 ) ,以上结论也成立 .1 给角求值例 1 求 cos2 73… 相似文献
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1981年,’重庆市第二十三中学数学教师高灵提出并证明了如下的不等式“’: 定理设三角形ABC及A产B尹C产分别有边长。、b、。及。‘、b,、c,,分别有面积△及△尹,则a,(b+c一a)+b‘(e+a一b)+e,(a+b一c)》4亿3△△‘(1)式中等号当且只当月BC及A声B尹C尹均为正三角形时成立. 1982年,中国科技大学教授彭家贵、常 10庚哲又给出了高灵的不等式(1)的一种巧妙证法〔么’.下面,笔者再给出(通)的一种更为简捷的证明方法,供参考. 证明由于熟知的费恩斯列尔—哈德维格尔不等式为a念+b笼+eZ》4了了△+(a一b)艺+(b一e)之+(e一a)么(2)令今4杯万△+2(aZ… 相似文献
17.
《数学教学》2001,(3)
531.在△ABC中,乙ABC二400,乙ACB二300,尸为乙ABC平分线上一点,使乙尸CB二10“,B尸交AC于M,C尸交AB于N,求证:尸M二AN. 证:如图1,在BA延长线上取一点D,使BD=BC.连D只DC,A尸. 丫B尸平分乙ABC, :.B尸为CD的中垂线,尸C=尸D. 又匕尸CB=100,匕ABC=400, 故乙PCD=700一100=600,AC △尸CD为正三角形.户/"口咦E 图1在△ACD中,乙ADC=700二CD.故AC二尸C.二乙DAC夕一详口数学教学2001年第3期 _、/1 1 11、二(a b c d)l一 丁十一 气!一4 ‘\a 0 cd/ 4 一、、12/在△尸CA中,艺尸CA二200:.乙尸AC二匕APC=80“.1 过M作A尸… 相似文献
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设a、b、c是不都相等的实数,则有下列公式:a b c二0 令乡a3 b, c’二3abc, 因为:a, b’ e,一3abc=(a b e)(a: 乙2 c:一a6一石c一ea)=于(a b c)〔(a一乙)2 (丢一c)2 (a一c).〕当a、西、e不都相等时,(a一乙)2 (b一c)2 (a一e)2特0(>0),所以a 右 c二o牵今a, b3 c3一3a乙e二0,即 a b 相似文献
19.
王俊磊 《中学生数理化(高中版)》2013,(6)
一、利用正弦、余弦定理结合面积公式求三角形的面积
例1(2012年高考江西理18)在△ABC中,角A,B,C的对应边分别为a,b,c.已知A=π/4,并且bsin(π/4+C)-csin(π/4+B)=a.
(1)求证:B-C=π/2;
(2)若a=√2,求△ABC的面积.
解析:(1)已知由bsin(π/4+C)-csin(π/4+B)=a,应用正弦定理得:
sin Bsin(π/4+C)-sin Csin(π/4+B)=sin A. 相似文献
20.
《数学教学》1988,(1)
(90分钟)本卷共10题,1987一8一29每题10分,共100分:、若“命的首数为c,尾数为“‘。,则lgM的首数与尾数之积为—.2、已知了(x)为奇函数式是且当二>o时,f(x)=二(i一x),则当二相似文献