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1.
应用 1:利用导数的几何意义解题函数 ｙ =ｆ(ｘ)在ｘ0 处的导数的几何意义 ,就是曲线 ｙ =ｆ(ｘ)在点Ｐ(ｘ0 ,ｆ(ｘ0 ) )处的切线的斜率 .例 1 若抛物线ｙ =4ｘ2 上的点Ｐ到直线ｙ =4ｘ - 5的距离最短 ,则点Ｐ的坐标为 . 解 :在抛物线 ｙ =4ｘ2 上求一点Ｐ到直线ｙ =4ｘ - 5的距离为最短 ,即找一点Ｐ使过该点的切线与直线 ｙ =4ｘ - 5平行 .对函数ｙ =4ｘ2 求导 ,得 ｙ′ =8ｘ ,所以曲线上任一点的切线斜率ｋ =8ｘ .令 8ｘ =4 ,求出ｘ=12 ,代入抛物线方程得ｙ=1.故Ｐ 12 ,1.应用 2 :利用导数求函数的单调区间一般地 ,设函数ｙ =ｆ(ｘ)在… 相似文献
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《中学数学杂志》2 0 0 1年第 6期《曲线的运动与变换》一文中有一个结论是 :“函数ｙ =ｆ(ｘ)定义在Ｒ上 ,则函数 ｙ =ｆ(ωｘ Ａ)与ｙ=ｆ(Ｂ-ωｘ)的图象关于直线ｘ =Ｂ-Ａ2 对称” .我认为 ,函数 ｙ= ｆ(ωｘ Ａ)与 ｙ =ｆ(Ｂ -ωｘ)的图象关于直线ｘ= Ｂ-Ａ2ω 对称 .事实上 ,若点Ｍ(ｘ0 ,ｙ0 )是函数 ｙ =ｆ(ωｘ Ａ)图象上任意一点 ,则 ｙ0 =ｆ(ωｘ0 Ａ) .设点Ｍ关于直线ｘ =Ｂ-Ａ2ω 的对称点为Ｎ(ｘ′,ｙ′) ,则有ｘ0 ｘ′2 =Ｂ-Ａ2ωｙ0 =ｙ′ ｘ′=Ｂ -Ａω -ｘ0 ,ｙ′=ｙ0因为 ｆ(Ｂ -ωｘ′) =ｆ[Ｂ-ω(Ｂ-Ａω -ｘ0 ) ] =… 相似文献
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求函数值域的方法很多 ,也没有一种固定的方法 .只能依据函数解析式的结构特征来选择相应的解法 .常用的方法有 :一、配方法形如 ｆ(ｘ) =ａｇ2 (ｘ) +ｂｇ(ｘ) +ｃ的函数的值域问题 ,都可使用配方法 .例 1 求函数 ｙ =-ｘ2 +2ｘ+3 的值域 .解 令ｕ=-ｘ2 +2ｘ +3=-(ｘ2 -2ｘ+1 ) +4=-(ｘ-1 ) 2 +4,显然有 0 ≤ｕ ≤ 4.由 ｙ =ｕ ,得 0≤ ｙ≤ 2 .因此 ,函数的值域为 [0 ,2 ].例 2 求函数 ｙ =ｓｉｎ2 ｘ -2ｓｉｎｘ +2 -π4<ｘ≤π 的值域 .解 令ｕ =ｓｉｎｘ -π4<ｘ≤π ,则-22 <ｕ≤ 1 ,函数 ｙ=ｕ2 -2ｕ+2=(ｕ-1 ) 2 +1 .… 相似文献
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在遇到含有绝对值的式子时 ,同学们常常颇感为难 .解决绝对值问题的一个非常有力的武器是 :分类讨论 .怎样恰当地运用分类讨论的方法来解决这种问题呢 ?下面例谈如何突破难关 ,揭开绝对值的面纱 .例 1 求方程｜ｘ｜+ ｜ｙ-1｜=2的图象所围成图形的面积 .分析 这个方程含有两个绝对值符号 ,为去掉绝对值的符号 ,应分四种情况讨论 :(1 )当ｘ≥ 0 ,ｙ≥ 1时 ,方程化为ｘ+ ｙ=3 ;(2 )当ｘ≤ 0 ,ｙ≥ 1时 ,方程化为-ｘ + ｙ=3 ;(3 )当ｘ≤ 0 ,ｙ≤ 1时 ,方程化为-ｘ -ｙ=1 ;(4)当ｘ≥ 0 ,ｙ≤ 1时 ,方程化为ｘ -ｙ=1 .如图 1 ,图象是中心在Ｏ′… 相似文献
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函数 ｙ =Ａｓｉｎ(ωｘ+ φ)是三角部分的重点内容之一 ,也是高考的热点之一 .它的综合性很强 ,学生在解题过程中常常出错 .下面笔者精选三类典型且易出错的题目加以剖析 ,旨在引导学生共同研究题目的特点 ,掌握解题方法 .一、函数单调性问题例 1 求函数ｙ=2ｓｉｎ π3 -2ｘ的递增区间 .错解 由 2ｋπ -π2 ≤ π3 -2ｘ≤ 2ｋπ +π2 (ｋ∈Ｚ) ,得-ｋπ-π12 ≤ｘ≤ -ｋπ+ 5π12 (ｋ∈Ｚ) .所以函数 ｙ=2ｓｉｎ π3 -2ｘ 的递增区间为 -ｋπ-π12 ,-ｋπ+ 5π12 (ｋ∈Ｚ) .剖析 令ｕ =π3 -2ｘ ,函数 ｙ =2ｓｉｎ π3 -2ｘ是由 ｙ =2ｓ… 相似文献
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解函数综合题 ,需熟练掌握正比例函数、一次函数、二次函数、反比例函数的定义、图象和性质 ,并加以综合运用 . 例 1 已知反比例函数ｙ =ｍｘ 与一次函数ｙ =ｋｘ +ｂ的图象都经过点 (-2 ,-1 ) ,且当ｘ=3时 ,这两个函数值相等 .求这两个函数的解析式 . (2 0 0 1年山东省菏泽市中考题 ) 解 由反比例函数ｙ =ｍｘ 的图象经过点(-2 ,-1 ) ,可得ｍ =2 .故其解析式为ｙ =2ｘ.将ｘ =3代入 ,得ｙ =23 .将点 (-2 ,-1 )、3 ,23 分别代入ｙ =ｋｘ +ｂ,可得-2ｋ+ｂ =-1 ,3ｋ +ｂ=23 .解之 ,得ｋ=13 ,ｂ =-13 .故一次函数的解析式为ｙ=13 ｘ-13 .… 相似文献
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函数的定义域是函数的要素 ,若对其概念理解不透 ,在解题中很容易造成错解 .下面列举几例加以剖析 .例 1 设函数ｙ =ｆ(ｘ)的定义域是 [2 ,3],求函数ｙ=ｆ(ｘ2 )的定义域 .错解 :∵ 2 ≤ｘ≤ 3,∴ 4≤ｘ2 ≤ 9.∴函数ｙ=ｆ(ｘ2 )的定义域是 [4,9].错因 :∵函数ｙ =ｆ(ｘ)的定义域是 [2 ,3],∴函数ｙ =ｆ(ｘ2 )中的变量ｘ2 应属于集合 [2 ,3].显然上面的错解是由于对函数定义域的概念理解不深造成的 .正解 :由 2≤ｘ2 ≤ 3,得 2≤｜ｘ｜≤ 3,即-3≤ｘ≤-2 ,或 2≤ｘ≤ 3.∴函数定义域是 [-3,-2 ]∪ [2 ,3].评注 :求复合函数Ｆ(ｘ) =ｆ[ｇ(ｘ… 相似文献
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对于函数 ｙ=ｆ(ｘ) ,要将它的图象进行平移 ,解析式就会出现相应的变化 .变化的一般形式为 ｙ=ｆ(ｘ+ａ) +ｂ.若ａ>0 ,则图象左移ａ个单位 ,ａ <0 ,则图象右移｜ａ｜个单位 ;若ｂ>0 ,则图象上移ｂ个单位 ,ｂ<0 ,图象下移｜ｂ｜个单位 .在学习过程中 ,有些方程利用现有的知识无法求解 ,但结合函数的图象 ,我们可以确定解的个数或范围 .反之 ,若给出解的某些特征 ,也可以确定方程中参数的取值范围 .现举几例 ,仅供参考 .一、幂函数图象的平移例 1 若函数 ｙ=ｘ-ａ的图象与其反函数的图象有交点 ,求ａ的取值范围 .解 首先确定交点的位置 .假… 相似文献
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请先看下面的例子 :例 1 设函数 ｙ =ｆ(ｘ)定义在Ｒ上 ,则函数 ｙ=ｆ( 1 -ｘ)与 ｙ=ｆ( 1 +ｘ)的图象关于 ( )(Ａ)直线 ｙ=0对称(Ｂ)直线ｘ=0对称(Ｃ)直线 ｙ =1对称(Ｄ)直线ｘ=1对称学生往往容易错选Ｄ .什么原因呢 ?显然 ,学生将本题混同于下面的问题 :例 2 设 ｙ=ｆ(ｘ)是定义在Ｒ上的函数 ,若 ｆ( 1 -ｘ) =ｆ( 1 +ｘ) ,则函数 ｙ =ｆ(ｘ)的图象关于直线对称 .在这类问题上产生混淆的现象还很多 ,为此 ,笔者对这类对称问题剖析如下 ,供参考 .探讨函数图象的这类对称问题 ,首先应分清研究对象 ,是讨论某一个函数图象自身的对称问题… 相似文献
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《中学数学教学参考》2001,(3)
一、选择题 :本大题共 12小题 ,每小题 5分 ,共 60分 .在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 .( 1)集合Ｍ ={1,2 ,3 ,4 ,5}的子集个数是 ( ) .Ａ .32 Ｂ .31 Ｃ .16 Ｄ .15( 2 )函数ｆ(ｘ) =ａｘ(ａ >0且ａ≠ 1)对于任意的实数ｘ ,ｙ都有 ( ) .Ａ .ｆ(ｘｙ) =ｆ(ｘ) ｆ( ｙ)Ｂ .ｆ(ｘｙ) =ｆ(ｘ) ｆ( ｙ)Ｃ .ｆ(ｘ ｙ) =ｆ(ｘ) ｆ(ｙ)Ｄ .ｆ(ｘ ｙ) =ｆ(ｘ) ｆ(ｙ)( 3)ｌｉｍｎ→∞Ｃｎ2ｎＣｎ 1 2ｎ 2=( ) .Ａ .0 Ｂ .2 Ｃ .12 Ｄ .14( 4 )函数ｙ =- 1-ｘ (ｘ≤ 1)的反函数是( )… 相似文献
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三道习题的常见错解分析 总被引：1，自引：0，他引：1
宋建挺 《中学数学教学参考》2003,(4):61-62
题 1 设ｘ∈ [0 ,π],方程ｃｏｓ2ｘ +4ａｓｉｎｘ +ａ -2=0有两个不同的解 ,求实数ａ的取值范围 .错解 :原方程可化为 2ｓｉｎ2 ｘ -4ａｓｉｎｘ +1 -ａ =0 .令ｔ=ｓｉｎｘ ,则方程 2ｔ2 -4ａｔ+1 -ａ =0在 [0 ,1 ]上有一个解 .又令 ｆ(ｔ) =2ｔ2 -4ａｔ+1 -ａ ,则有Δ =1 6ａ2 -8( 1 -ａ) =0 ,0≤ａ≤ 1 ,或 ｆ( 0 )ｆ( 1 )≤ 0 .解得ａ =12 或 35 ≤ａ≤ 1 .这是文 [1 ]介绍含参数二次方程求参数取值范围的一道例题 ,其解答过程是错误的 .上述错解在一些数学期刊中流传甚广 ,有必要予以剖析纠正 .分析 :上述解答有两处常见错误 .首先 ,… 相似文献
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函数思想是数学中的重要思想 ,用运动、变化的观点分析、处理变量和变量之间的关系是函数思想的精髓 .在解题中如能运用函数思想合理选择函数关系式 ,就能使解题思路自然流畅 .例 1 关于ｘ的方程 9ｘ+( 4 +ａ) 3 ｘ+4 =0有实数解 ,求实数ａ的取值范围 .解 方程等价变形为4+ａ =-3 ｘ+43 ｘ .令ｆ(ｘ) =-3 ｘ+43 ｘ ,则ｆ(ｘ) ≤ -4 .∴ 4+ａ≤-4 ,ａ≤-8.ａ的取值范围为 ( -∞ ,-8] .例 2 关于ｘ的方程 9ｘ+( 4 +ａ) 3 ｘ+4 =0有两个实数解 ,求实数ａ的取值范围 .解 令ｔ =3 ｘ,则问题等价于方程ｔ2 +( 4 +ａ)ｔ+4 =0在 ( 0 ,+∞ )上有… 相似文献
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1999年全国高中数学竞赛第一试第 (3)小题是 :若 (ｌｏｇ2 3 ) ｘ - (ｌｏｇ53 ) ｘ ≥ (ｌｏｇ2 3 ) -ｙ- (ｌｏｇ53 ) -ｙ,则 ( )(Ａ)ｘ - ｙ≥ 0 (Ｂ)ｘ ｙ≥ 0(Ｃ)ｘ - ｙ≤ 0 (Ｄ)ｘ ｙ≤ 0下面从该题出发 ,谈一些值得思考的问题 .1 思考途径①考察函数 ｙ =ｆ(ｘ) =(ｌｏｇ2 3 ) ｘ- (ｌｏｇ53 ) ｘ.原不等式即为ｆ(ｘ) ≥ ｆ(- ｙ) .易知 ,ｆ(ｘ)在Ｒ上是增函数 ,故推得ｘ≥ - ｙ,因此得ｘ ｙ≥ 0 ,故选(Ｂ)②原不等可化为 :(ｌｏｇ2 3 ) ｘ (ｌｏｇ53 ) -ｙ ≥(ｌｏｇ2 3 ) -ｙ (ｌｏｇ53 ) ｘ (1 ) 由 (1 )立即推… 相似文献
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本文的ｆ(ｘ)是定义在Ａ上的函数 ,对于任何一个ｘ ∈Ａ ,都有ｆ(ωｘ φ) =ｆ(ｘ) (其中ω、φ为常数 ) .众所周知 ,在上式中当ω =1、φ≠ 0时 ,,ｆ(ｘ)是Ｔ=φ的周期函数 ;当ω =- 1时 ,ｆ(ｘ)的图像关于直线ｘ =- φ2 对称 ;当ω =0时 ,ｆ(ｘ)是常值函数ｙ =ｆ(φ) .那么 ,当ω≠± 1、0时 ,ｆ(ｘ)又是如何的函数呢 ?设ｕ=ωｘ φ ,ｘ0 是Ａ上的任意一个自变量值 .1)若｜ω｜ <1,记ｕ1=ωｘ0 φ ,ｕ2 =ωｕ1 φ=ω2 ｘ0 ωφ φ ,… ,ｕｎ=ωｕｎ-1 φ=ωｎｘ0 ωｎ-1φ … ωφ φ=ωｎｘ0 1-ωｎ1-ωφ ,… .当ｎ→ ∞时 ,ｕｎ… 相似文献
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由奇函数、偶函数的图象定理知 :若ｆ( -ｘ) =-ｆ(ｘ) ,则函数ｆ(ｘ)的图象关于原点对称 ;若 ｆ( -ｘ) =ｆ(ｘ) ,则函数 ｆ(ｘ)的图象关于 ｙ轴对称 .下面我们研究此结论的推广情况 .1 若 ｆ(ａ -ｘ) =-ｆ(ａ+ｘ) ,则函数ｆ(ｘ)的图象关于点 (ａ ,0 )对称 ;2 若 ｆ( -ｘ) =2ａ -ｆ(ｘ) ,则函数ｆ(ｘ)的图象关于点 ( 0 ,ａ)对称 ;3 若ｆ(ａ-ｘ) =ｆ(ａ +ｘ) ,则函数ｆ(ｘ)的图象关于直线ｘ =ａ对称证明 1 由 ｆ(ａ-ｘ) =-ｆ(ａ +ｘ)得 ,函数ｆ(ａ+ｘ)是奇函数 ,从而函数 ｆ(ａ+ｘ)的图象关于原点对称 ,由此得函数ｆ(ｘ)的图象关于点 (ａ … 相似文献
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大家都知道 ,过两曲线ｆ1(ｘ ,ｙ) =0 ,ｆ2 (ｘ ,ｙ) =0的支点的曲线系方程为ｆ1(ｘ ,ｙ) λｆ2 (ｘ,ｙ) =0 (λ∈Ｒ) .利用它来处理解几中过两曲线交点的某些问题显得特别方便 ,但是运用曲线系方程时应注意以下两个问题 .1 应判定解的存在性应判定解的存在性 ,是指解题之前首先应判定曲线ｆ1(ｘ,ｙ) =0与ｆ2 (ｘ ,ｙ) =0是否有交点 .如果有交点 ,则可用曲线系方程解之 ;如果无交点 ,说明本题无解 ,否则就可能将无解题求出解来 .例 1 求过两圆ｘ2 ｙ2 - 2ｘ - 3=0和ｘ2 ｙ2- 10ｘ 2ｙ 2 5 =0的两个交点的直线方程 .解 过两圆交点的曲… 相似文献
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王连笑 《中学生数理化(高中版)》2003,(2):32-33
一、选择题 :1.已知函数ｆ(ｘ) =ｘ2 - 2ｍｘ +4 +2ｍ的定义域是Ｒ ,值域是 [1,+∞ ) ,则实数ｍ的集合为 ( ) .Ａ .{ｍ|- 1≤ｍ≤ 3} Ｂ .{ｍ|1- 5<ｍ <5}Ｃ .{- 1,3} Ｄ .{ｍ|ｍ <1或ｍ >3}2 .要使函数 ｆ(ｘ) =ａｘ2 +(ａ - 6 )ｘ +2对一切正整数ｘ都取正值 ,其充要条件是 ( ) .Ａ .ａ =3 Ｂ .2 <ａ <18 Ｃ .ａ >2 Ｄ .以上都不对3.对每一对实数ｘ ,ｙ,函数 ｆ(ｘ)满足 ｆ(ｘ +ｙ) - ｆ(ｘ) -ｆ( ｙ) =ｘｙ +1,且ｆ( 1) =1,那么满足ｆ(ｎ) =ｎ(ｎ≠ 1)的整数ｎ的个数共有 ( )个 .Ａ .0 Ｂ .1 Ｃ .2 … 相似文献
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第 一 试一、选择题 (每小题 6分 ,共 36分 )1.方程 6× (5ａ2 +ｂ2 ) =5ｃ2 满足ｃ≤2 0的正整数解 (ａ ,ｂ,ｃ)的个数是 ( ) .(Ａ) 1 (Ｂ) 3 (Ｃ) 4 (Ｄ) 52 .函数ｙ =ｘ2ｘ - 1(ｘ∈Ｒ ,ｘ≠ 1)的递增区间是( ) .(Ａ)ｘ≥2 (Ｂ)ｘ≤0或ｘ≥2(Ｃ)ｘ≤0 (Ｄ)ｘ≤1- 2 或ｘ≥ 23.过定点Ｐ(2 ,1)作直线ｌ分别交ｘ轴正向和ｙ轴正向于Ａ、Ｂ ,使△ＡＯＢ(Ｏ为原点 )的面积最小 ,则ｌ的方程为 ( ) .(Ａ)ｘ +ｙ - 3=0 (Ｂ)ｘ +3ｙ - 5 =0(Ｃ) 2ｘ +ｙ - 5 =0 (Ｄ)ｘ +2ｙ - 4=04 .若方程ｃｏｓ 2ｘ +3ｓｉｎ 2ｘ =ａ +… 相似文献
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高考对数学基础知识的考查要求全面且突出重点 ,注重学科的内在联系和知识的综合 ,强化在知识网络交汇点设计试题 .纵观近来几年的高考试题 ,对函数ｙ=Ａｓｉｎ(ωｘ + φ)+ｋ从不同角度、不同层次上作了考查 ,既突出了这一知识的重要地位 ,又结合了函数的重要性质 ,体现了常考常新的命题思路 .一、考查函数的最值例 1 ( 1 996年全国高考试题 )当 -π2 ≤ｘ≤ π2 时 ,函数ｆ(ｘ) =ｓｉｎｘ + 3ｃｏｓｘ的( )(Ａ)最大值是 1 ,最小值是 -1(Ｂ)最大值是 1 ,最小值是 -12(Ｃ)最大值是 2 ,最小值是 -2(Ｄ)最大值是 2 ,最小值是 -1解 ｆ(… 相似文献
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性质 1 圆 (ｘ -ｈ) 2 (ｙ-ｋ) 2 =ｒ2 中 ,以Ｐ0 (ｘ0 ,ｙ0 ) (ｘ0 ≠ｈ或ｙ0 ≠ｋ)为中点弦的所在的直线方程为(ｘ0 -ｈ) (ｘ-ｘ0 ) (ｙ0 -ｋ) (ｙ- ｙ0 ) =0 .当ｈ =ｋ=0时方程变为ｘ0 (ｘ -ｘ0 ) ｙ0 (ｙ - ｙ0 ) =0 .证明 设弦所在直线与圆交于Ａ(ｘ1,ｙ1) ,Ｂ(ｘ2 ,ｙ2 ) ,所以有(ｘ1-ｈ) 2 (ｙ1-ｋ) 2 =ｒ2 ,(1)(ｘ2 -ｈ) 2 (ｙ2 -ｋ) 2 =ｒ2 . (2 )(2 ) - (1)得 (ｘ2 -ｘ1) (ｘ1 ｘ2 - 2ｈ) =- (ｙ2 - ｙ1) (ｙ1 ｙ2 - 2ｋ) .当ｘ2 ≠ｘ1时 ,可变为ｘ1 ｘ2 - 2ｈｙ1 ｙ2 - 2ｋ =- ｙ2 - ｙ1ｘ2 -ｘ1.又Ｐ0 (ｘ0 ,ｙ0… 相似文献