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众所周知 ,费马 (Ｆｅｒｍａｔ)点是三角形内的点到三角形各顶点的距离之和取最小值的点 .该点与三顶点相连 ,每两条连线所夹的角为 12 0° .那么 ,三角形内的点到三角形各顶点的距离和有没有最大值点呢 ?我们的回答是否定的 .这可由后面一不等式看出来 ,但我们可以给出三角形内的点到三角形各顶点的距离和的最佳上界 .顺便 ,根据其独特的方法 ,我们还获得了Ｋｌａｍｋｉｎ不等式的一个另证及一个加强不等式 . 图 1定理 1 △ＡＢＣ中 ,ＡＢ≥ＢＣ ≥ＣＡ ,Ｐ是△ＡＢＣ内任一点 ,则ＰＡ ＰＢ ＰＣ <ＡＢ ＢＣ .证明 如图 ,Ｐ是△… 相似文献
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在文 [1 ]中 ,已证明了如下命题 :定理 △ＡＢＣ各角顶点与对边三等分点的连线中 ,相邻两条分别交于Ｐ、Ｑ、Ｒ ,则△ＰＱＲ∽△ＡＢＣ且相似比为 1∶5。我们都知道优美的莫莱定理 :三角形相邻的三等角分线的交点是正三角形的三个顶点。如果说莫莱定理是从三角形角的角度出发的 ,那么上述命题是从三角形边的角度出发的 ,因此 ,这一命题极具特色。本文给出这个命题的推广 ,即如下定理 :推广定理 △ＡＢＣ各角顶点与对边ｎ等分点的连线中 ,相邻两条等分线分别交于Ｐ、Ｑ、Ｒ三点 ,则△ＰＱＲ∽△ＡＢＣ ,且相似比为 (ｎ -2 )∶( 2ｎ -1 ) (… 相似文献
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液体表面张力的作用效果 ,使液体的表面积收缩最小 .用正方体铁丝架拉出的肥皂膜并不是正立方六面体 ,而是如图 1所示的肥皂膜形状 ,怎样从表面张力使表面积最小的结论 ,去解释这个现象呢 ?先介绍预备定理 .①定理 1 :在三角形内一点与三个顶点的连线 ,若两两夹角为 1 2 0°,那么该点与三个顶点所连线段之和最短 .该点称为费马点 .图 1 图 2设Ｐ为△ＡＢＣ内一点 ,若∠ＡＰＢ =∠ＢＰＣ =∠ＣＰＡ =1 2 0° ,那么ＡＰ +ＢＰ +ＣＰ最小 .分析 :连接ＰＡ、ＢＰ、ＣＰ ,将△ＡＣＰ绕Ａ点逆时针旋转 60°到△ＡＣ′Ｐ′处如… 相似文献
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冯利荣 《中学课程辅导(初三版)》2006,(11):13-13
本文所说的格点三角形是指在正方形的网格中,以方格的顶点为三角形的顶点的三角形.近年来,不少地区就以格点三角形为背景设计格点相似三角形问题.为说明问题,现举例说明.一、判断三角形的相似例1(枣庄市)如图1,小正方形的边长均为l,则在如图2中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是()简析因为小正方形的边长均为l,所以△ABC的三边分别是’10、2、’2,且∠ACB=135°,由此我们可以发现只有B图中有一个角是135°,且三边分别是’2、’5、1,所以选B.说明判断正方形网格中的两个三角形相似,通常设小正方形的边长为1,求出三角形的三边,再利用三… 相似文献
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沈文选 《中学数学教学参考》2002,(6):47-50
1 基础知识三角形三边上的高的交点称为三角形的垂心 .三角形垂心有下列有趣的性质 :设△ＡＢＣ的三条高为ＡＤ、ＢＥ、ＣＦ ,其中Ｄ、Ｅ、Ｆ为垂足 ,垂心为Ｈ .性质 1 垂心Ｈ关于三边的对称点 ,均在△ＡＢＣ的外接圆上 .性质 2 △ＡＢＣ中 ,有六组四点共圆 ,有三组 (每组四个 )相似的直角三角形 ,且ＡＨ·ＨＤ =ＢＨ·ＨＥ =ＣＨ·ＨＦ .性质 3 Ｈ、Ａ、Ｂ、Ｃ四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心 (并称这样的四点为一垂心组 ) .性质 4 △ＡＢＣ ,△ＡＢＨ ,△ＢＣＨ ,△ＡＣＨ的外接圆是等圆 .性质 5 在非直角三角形中 ,过… 相似文献
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题目 (第一届数学奥林匹克国家集训班选拨 图 1考试题暨第四届“祖冲之杯”初中数学邀请赛题 )正方形ＡＢＣＤ边长为 1,ＡＢ、ＡＤ上各有一点Ｐ、Ｑ ,如果△ＡＰＱ的周长为 2 ,求∠ＰＣＱ的度数 .将△ＣＤＱ顺时针旋转 90° ,使ＣＤ与ＣＢ重合 ,则Ｑ点落在ＡＢ的延长线上 .利用三角形全等及题设条件可得∠ＰＣＱ =4 5° .(证明略 )注意到△ＡＰＱ的周长恰为正方形边长的 2倍 ,很容易证得下面几个结论 .命题 1 在正方形ＡＢＣＤ中 ,若Ｐ、Ｑ分别在ＡＢ、ＡＤ上 ,△ＡＰＱ的周长是正方形边长的 2倍 ,则∠ＰＣＱ =4 5° ,反之亦真 … 相似文献
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近几年来 ,全国初中数学竞赛题中有几道几何题 ,似乎与圆无关 ,但借助辅助圆求解 ,却能事半功倍 ,本文特举例说明 ,供参考 .例 1 如图 1,在△ＡＢＣ中 ,∠ＡＢＣ =60° ,点Ｐ是△ＡＢＣ内的一点 ,使得∠ＡＰＢ=∠ＢＰＣ =∠ＣＰＡ ,且ＰＡ =8,ＰＣ =6则ＰＢ = .(2 0 0 2年全国初中数学竞赛题 )图 1分析 从这道题的题型看 ,可作旋转来解决 ,但无论怎样旋转都不能使已知条件和未知条件产生联系 ,于是感到无从着手 .任何一个三角形都有外接圆 ,可试想构造三角形的外接圆求解 .解 作△ＡＢＣ的外接圆 ,并延长ＡＰ交外接圆于Ｄ点 ,连结ＤＣ ,… 相似文献
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三角形中的一个不等式 总被引：1，自引：0，他引：1
若三角形一边上的一点和这边所对的顶点将三角形的周长二等分 ,则称这一点为三角形的周界中点 ,并将以三个周界中点为顶点的三角形称为周界中点三角形 .本文将给出与周界三角形有关的一个有趣的不等式 .图 1命题 如图 1 ,设Ｄ、Ｅ、Ｆ分别为△ＡＢＣ的边ＢＣ、ＣＡ、ＡＢ的周界中点 ,且ＢＣ =ａ ,ＣＡ=ｂ ,ＡＢ =ｃ,ｓ =12(ａ +ｂ +ｃ) ,△ＡＥＦ、△ＢＤＦ、△ＣＤＥ的面积分别记为△ Ａ、△ Ｂ、△Ｃ.则(ｓ-ｂ) (ｓ-ｃ)△ Ａ+(ｓ-ｃ) (ｓ-ａ)△ Ｂ+(ｓ-ａ) (ｓ-ｂ)△ Ｃ≥ 43 .证明 :由三角形周界中点的定义 ,知ｓ=ＡＢ +ＡＥ =ｃ+ＡＥ ,… 相似文献
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湖州市2013年中考数学试卷中有下面一道选择题：
题目如图1,在10×10的网格中,每个小方格都是边长为1的小正方形,每个小正方形的顶点称为格点.若抛物线经过图中的三个格点,则以这三个格点为顶点的三角形称为抛物线的＂内接格点三角形＂. 相似文献
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唐录义 《中学数学教学参考》2001,(9)
本刊 2 0 0 1年第 1～ 2合期刊登了吴家驷先生“十五点共圆”一文 ,证明了有 1 2个特殊点在三角形外接圆上 .事实上还有 6个点 ,合为 2 1点共圆 .定理 不等边三角形的每个顶点的内外角平分线与对边中垂线的两个交点 ,在其外接圆上 .证明 : 如图 ,ＰＱ为△ＡＢＣ的边ＡＣ的中垂线 ,ＢＰ平分∠ＤＢＣ ,ＢＱ平分∠ＡＢＣ ,作ＰＭ⊥ＢＤ ,垂足为Ｍ ,ＰＮ⊥ＢＣ ,垂足为Ｎ ,ＱＥ⊥ＢＡ ,垂足为Ｅ ,ＱＦ⊥ＢＣ ,垂足为Ｆ ,易知ＱＡ =ＱＣ ,ＱＥ =ＱＦ ,Ｒｔ△ＱＥＡ≌Ｒｔ△ＱＦＣ ,∠ＥＡＱ =∠ＱＣＦ ,Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｑ共圆 ,即Ｑ在△ＡＢＣ的外… 相似文献
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证明比例式或等积式的一般途径是证明比例式或等积式中的四条线段所在的两个三角形相似。而当所证的比例式或等积式中的四条线段不在两个相似三角形中时 ,则需一中间量作媒介 ,进行等量代换 ,举例说明如下 :1 借助相等线段代换例 1 如图 1,在△ＡＢＣ中 ,ＡＢ =ＡＣ ,ＡＤ为中线 ,Ｐ为ＡＤ上一点 ,过点Ｃ作ＣＦ∥ＡＢ ,延长ＢＰ交ＡＣ于Ｅ ,求证ＢＰ2 =ＰＥ·ＰＦ。[分析 ] 由于ＰＢ ,ＰＥ ,ＰＦ在同一直线上 ,不能组成两个相似三角形 ,故应考虑等量代换。连结ＣＰ ,易证△ＡＢＰ≌△ＡＣＰ ,所以ＣＰ =ＢＰ。故可用ＣＰ代替等积式中的Ｂ… 相似文献
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若三角形一边上的一点和这边所对的顶点将三角形的周长二等分 ,则称这一点为三角形的周界中点 ,并将以三个周界中点为顶点的三角形称为周界中点三角形如图 1,设Ｄ、Ｅ、Ｆ分别为△ＡＢＣ的边ＢＣ、ＣＡ、ＡＢ的周界中点 ,且ＢＣ =ａ ,ＣＡ =ｂ ,ＡＢ =ｃ ,ｓ =12 (ａ +ｂ +ｃ) ,△ＡＥＦ、△ＢＤＦ、△ＣＤＥ、△ＤＥＦ、 图 1△ＡＢＣ的面积分别记为△ Ａ、△Ｂ、△ Ｃ、△ Ｏ、△ ,Ｒ、ｒ分别记为△ＡＢＣ的外接圆半径和内切圆半径 .文 [1]中丁遵标先生给出了不等式(ｓ-ｂ) (ｓ-ｃ)△ Ａ +(ｓ -ｃ) (ｓ-ａ)△ Ｂ+ (ｓ -ａ) (ｓ-… 相似文献
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刘代荣 《中小学数学(初中教师版)》2015,(4):35-36
在正方形网格中,最小正方形顶点称为格点,顶点都是格点的三角形我们称为格点三角形.近几年来的中考中,格点三角形的相似问题因其具有很强的可操作性,又能考查学生知识的综合运用,已逐步成为中考试卷中的一个亮点.其中,在正方形的网格中画出与已知格点三角形相似的面积最大的格点三角形的问题,它把讨论三角形相似与探讨最值问题有机地结合在一起,考查了学生观察、猜想和灵活运用知识 相似文献
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李耀文 《中学数学教学参考》2000,(7):51-52
如图 1 ,自△ＡＢＣ的顶点Ａ作一直线ＡＤ ,交ＢＣ边于Ｄ ,使得△ＡＢＤ与△ＡＣＤ有相等的内切圆 ,那么称做满足上述条件的线段ＡＤ为△ＡＢＣ的等圆线 (因ＡＤ把△ＡＢＣ分成的两个△ＡＢＤ、△ＡＣＤ的内切圆的半径相等 ,故取此名称 ) .关于从三角形的某个顶点引它的“等圆线”是否存在且惟一 ,文 [1 ]作出了肯定回答 .由此可见 ,任何三角形都有三条等圆线 .本文将介绍三角形等圆线的一个性质 ,并从其应用中可以看出 ,用它解决一些问题是很简捷的 .定理 1 自△ＡＢＣ的顶点Ａ引等圆线ＡＤ ,交对边ＢＣ于Ｄ ,设△ＡＢＣ的边ＢＣ =ａ ,Ｃ… 相似文献
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如图 1所示的图形在平面几何中比比皆是 ,十分常见 ,在△ＡＢＰ和△ＡＣＰ中 ,利用三角形面积公式 ,可得下述十分简单而有用的结论 .图 1正弦比例定理 点Ｐ为△ＡＢＣ的边ＢＣ所在直线上异于Ｂ、Ｃ的任意点 ,记∠ＢＡＰ =α ,∠ＣＡＰ= β ,则ｓｉｎαｓｉｎβ =ＢＰＰＣ ·ＣＡＡＢ(※ )证明 由三角形的面积公式 ,有Ｓ△ＡＢＰＳ△ＡＰＣ=ＢＰＰＣ =12 ＡＢ·ＡＰｓｉｎα12 ＡＣ·ＡＰｓｉｎβ于是 ,有ｓｉｎαｓｉｎβ=ＢＰＰＣ· ＣＡＡＢ显然 ,当点Ｐ在线段ＢＣ的延长线 (或反向延长线 )上 ,定理结论 (※ )同样成立 ,当ＡＰ为△ＡＢ… 相似文献
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本期问题图 1 初 1 2 3 . 已知点Ｄ1、Ｄ2 在△ＡＢＣ的边ＡＢ上 ,且ＢＤ1=ＡＤ2 ,过点Ｄ1、Ｄ2 分别作ＢＣ的平行线 ,交ＡＣ于点Ｅ1、Ｅ2 ,点Ｐ1、Ｐ2分别为Ｄ1Ｅ1、Ｄ2 Ｅ2上的任意点 ,ＢＰ1交ＡＣ于Ｎ1,ＣＰ1交ＡＢ于Ｍ1,ＢＰ2 交ＡＣ于Ｎ2 ,ＣＰ2 交ＡＢ于Ｍ2 .求证 :ＡＭ1Ｍ1Ｂ+ ＡＮ1Ｎ1ＣＡＭ2Ｍ2 Ｂ+ ＡＮ2Ｎ2 Ｃ =1 .(郭 璋 北京市朝阳区教育研究中心 ,1 0 0 0 2 8)图 2初 1 2 4. 如图 2 ,小正方形ＡＢＣＤ各边所在直线与大正方形Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′分别相交于Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈ、Ｐ、Ｑ、Ｍ、Ｎ .求证 :ＥＦ +ＰＱ =ＧＨ+ＭＮ .… 相似文献
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王家东 《数理化学习(初中版)》2005,(10)
新课程标准华师大版8年级数学课本中出现了“格点三角形”相似的判定与画法,这是新教材新增加的学习内容.对此,我们需先理解掌握“格点三角形”的概念.在方格纸中,每个小方格都是边长为1(指1个单位)的正方形,小正方 相似文献
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初中《几何》第三册第 1 2 9页例 4:如图 1 ,⊙Ｏ1 和⊙Ｏ2 外切于点Ａ ,ＢＣ为⊙Ｏ1 、⊙Ｏ2 的外公切线 ,Ｂ、Ｃ为切点 .求证 :ＡＢ⊥ＡＣ .证明略 .我们把上题中的△ＡＢＣ叫做切点三角形 ,显然 ,切点三角形是直角三角形 .巧用切点三角形的这个性质能妙证许多几何问题 ,下面举例说明 .一、用于证明某条线段是某圆的直径图 1图 2 例 1 如图 2 ,⊙Ｏ1 、⊙Ｏ2 外切于点Ａ ,ＢＣ切⊙Ｏ1 、⊙Ｏ2 于Ｂ、Ｃ ,连结ＣＡ并延长交⊙Ｏ2 于Ｄ .求证 :ＢＤ是⊙Ｏ1 的直径 .分析 连结ＡＢ ,则△ＡＢＣ是切点三角形 ,故∠ＢＡＣ =90°.从而∠ＢＡ… 相似文献
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证明线段比例中项是平面几何中常见的问题 .研究此类题的证法 ,有利于培养学生分析问题和解决问题的能力 ,使学生积累一定的技巧和方法 ,提高解题的速度和质量 .现介绍几种证法供读者参考 .1 直接证三角形相似当所证的比例线段 ,分别是两个三角形的对应边时 ,可通过证三角形相似证明 .例 1 已知两圆内切于点Ｐ ,大圆的弦ＡＢ切小圆于Ｃ ,ＰＡ、ＰＢ交小圆于Ｅ、Ｆ .求证 :ＰＣ2 =ＰＥ·ＰＢ .分析 :ＰＣ、ＰＥ在△ＰＣＥ中 ,ＰＢ、ＰＣ在△ＰＢＣ中 .考虑证△ＰＣＥ∽△ＰＢＣ .图 1证明 :如图 1 ,过点Ｐ作两圆的公切线ＰＤ ,则∠ＰＥＣ =… 相似文献