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1.
周志明 《数学大世界(高中辅导)》2005,(10)
求反函数是高中数学的一个难点,在求解有关反函数的题时,只要灵活应用互反函数的性质,我们则可以对反函数“避而不求”,下面具体介绍不求反函数巧解题的方法:一、求函数值【例1】若函数f(x)=x x2,则f-1(13)=.分析:利用反函数的定义域是原函数的值域,即有f-1(a)=b f(b)=a.解:由x x2=13,解得x=1,所以f-1(13)=1.二、求解析式【例2】已知f(x)=4x 5,求函数f-1(2x 3)的反函数的解析式.分析:利用互反函数的性质:y=f(x)的定义域为A,值域为B,则有f-1[f(x)]=x,x∈A,f[f-1(x)]=x,x∈B则可不求反函数快速解题.解:设y=f-1(2x 3),则f(y)=f[f-1(2x 3)]=2x… 相似文献
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一、观察法通过对函数解析式的简单变形,利用熟知的基本函数的值域,或利用函数图像的“最高点”和“最低点”,观察求得函数的值域.例1求函数y=2+1x2的值域.解由上式可知,定义域为R.当x缀R时,2+x2≥2,所以0<12+x2≤12.故函数的值域为｛y｜0相似文献
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反函数是中学数学教材中的难点之一,在教学中我们常会遇到对反函数定义理解不深不透、解题思路不清、解答步骤不全等错误,严重影响学生对这部分知识的掌握.下面本人将以函数中常见的几种典型错误进行剖析,与同行磋商.误区一:忽视函数存在反函数的条件案例1函数y=x2(x∈R)是否存在反函数,若存在,求反函数;若不存在,说明理由.错解函数存在反函数.当x≥0时,由y=x2得x=y,所以x≥0时,反函数为y=x(x≥0);当x<0时,由y=x2得x=-y,所以x<0时,反函数为y=-x(x>0).剖析忽视函数存在反函数的条件,从而盲目地进行分类讨论求反函数.正解∵y=x2(x∈R)不是一一对应函数,∴y=x2不存在反函数.解后反思只有从定义域到值域上的一一映射所确定的函数才有反函数.误区二:错解反函数的解析式案例2求函数y=3x2-1(x≤0)的反函数的表达式.错解由y=3x2-1,得x2=(y+1)3,∴x=(y+1)3或x=-(y+1)3,∴反函数的表达式为y=(x+1)3或y=-(x+1)3.剖析在求解过程中没有考虑原函数中x≤0这个条件导致出现两个答案的错误.正解由y=3x2-1,得x2=(y+1)3,∵x≤0,∴x... 相似文献
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一、试题呈现设函数f(x)=x2+2ax+a,若函数f(x)与函数f[f(x)]的值域相同,则实数a的取值范围为.第一步:分析f(x)的单调性与最值,易知f(x)在(-∞,-a)上递减,在(-a,+∞)上递增,f(x)min=f(-a)=a-a2,∴f(x)的值域是[a-a2,+∞).第二步:换元分析两函数.设t=f(x),则f[f(x)]=f(t),函数f(t)在t∈(-∞,-a)上递减,在t∈(-a,+∞)上递增,则y=f(t)(t≥a-a2)的值域也是[a-a2,+∞). 相似文献
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例 1 已知x >0 ,求函数 y =2x2 +3x的值域 .错解 ∵y=2x2 +3x=2x2 +1x +2x≥ 33 2x2 ·1x· 3x=3 3 6.故所求函数的值域为 [3 3 6,+∞ ) .剖析 由于方程 2x2 =1x =2x 无解 ,即等号不能成立 ,故求解错误 .正解 y=2x2 +3x=2x2 +32x+32x≥ 33 2x2 · 32x· 32x=323 3 6.故所求函数值域为 323 3 6,+∞ .例 2 已知 1≤a+b≤ 5 ,-1≤a-b≤ 3 ,求 3a -2b的取值范围 .错解 ∵ 1≤a+b≤ 5 ,①-1≤a-b≤ 3 ,②∴ 0 ≤ (a +b) +(a-b)≤ 8,∴ 0≤a≤ 4,③∴ 0 ≤ 3a≤ 12 ,又∵ 1≤a+b≤ 5 , -3≤-a +b≤ 1,∴ -2 ≤ (a +b) +( -a+b)≤ 6,∴ -… 相似文献
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李素红 《数理化学习(高中版)》2006,(17)
一、配方法如给定函数解析式为二次三项式常用此法.例1求函数y=x2-ax(a为常数),x∈[-1,1]的值域.解:因为y=x2-ax=(x-2a)2-a42.(1)当2a≤-1,即a≤-2时,f(-1)≤f(x)≤f(1),函数的值域为[1 a,1-a];(2)当-1<2a≤0,即-2≤a≤0时,f(2a)≤f(x)≤f(1),函数的值域为[-a42,1-a];(3)当0相似文献
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抽象函数、反函数求值、讨论函数奇偶性、对称性等函数问题是现今高考经常考查的问题,综合性的考题更是常见。对于此类问题,许多学生都觉得很难把握,要么束手无策,常做常错,要么做得很繁为此,有必要让学生学会并掌握好“相关点”的方法,化难为易,化繁为简以下就几类问题,介绍此法一、求函数值例1设f(x)=23xx--32,又y=g(x-1)与y=f-1(x+1)的图象关于直线x+y=0对称,则g(2)的值为解一∵f(x)=32xx--23,∴f-1(x)=23xx--23,∴y=f-1(x+1)=32xx+-11∵y=g(x-1)与y=f-1(x+1)的图象关于直线x+y=0对称,∴g(x-1)=21x-+x3(用(-y,-x)代替f-1(x+1)中的(x,y),… 相似文献
8.
潘冬林 《数理天地(高中版)》2002,(3)
由反函数定义与性质可得两个正确命题: 1.函数y=f(x)的定义域、值域分别是它的反函数y=f-1(x)的值域、定义域. 2.函数y=f(x)的图象和它的反函数y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称. 但对如下问题同学们总是有疑问: 相似文献
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一、选择题(每小题6分,共36分)1.函数y=f(x)与y=g(x)的定义域和值域都是R,且都有反函数.则函数y=f-1(g-1(f(x)))的反函数是().(A)y=f(g(f-1(x)))(B)y=f(g-1(f-1(x)))(C)y=f-1(g(f(x)))(D)y=f-1(g-1(f(x)))2.集合M由满足如下条件的函数f(x)组成:当x1、x2∈[-1,1]时,有|f(x1)-f(x2)|≤4|x1-x2|.对于两个函数f1(x)=x2-2x+5,f2(x)=|x|,以下关系中成立的是().(A)f1∈M,f2∈M(B)f1∈M,f2∈M(C)f1∈M,f2∈M(D)f1∈M,f2∈M3.抛物线y=2x2上两点A(x1,y1)、B(x2,y2)关于直线y=x+m对称.若2x1x2=-1,则2m的值是().(A)3(B)4(C)5(D)64.在△ABC中,… 相似文献
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<正> 反函数与其图象之间的关系是中学数学中的一个难点问题,学生在学习中常常存在许多模糊认识.本文就此谈谈几种应该澄清的关系. 一、y=f(x)、x=f-1(y)与y=f-1(x)之间的关系不妨举例说明.设y=f(x)=3x-2,x∈[0,2],不难求得y∈[-2,4],其对应法则是,对于[0,2]上任一个x,在[-2,4]上有唯一的y=3x-2与之对应,图象见图1. 相似文献
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在数学解题中,学生往往会出现各种解题错误。因此,在教学中重视对学生解题错误的分析,采取措施避免,对提高学生的解题能力是大有帮助的。下面是本人根据学生的一些解题错误,进行归纳和分析,供同行借鉴。1、概念模糊对基本概念的理解不深不透,对相近的概念混淆不清,导致解答错误。例1:已知函数f(x)=1-ax2+25√(-5≤x≤0),点p(-2,-4)在它的反函数图像上,求f-1(x)。误解:点p(-1,-4)在已知函数的反函数图像上,∴点p'(-4,-2)在f(x)的图像上。因此得:1-a·(-4)2+25√=-2,∴a=-1。从而f(x)=1--x2+25√(-5≤x≤0),解得x=25-(1-y2)√,故f-1(x)=25-(1-… 相似文献
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大家知道 ,一个函数是否具有反函数 ,关键在于判断确定此函数的映射是否为从定义域A到值域B上的一一映射 .一一映射必须满足两点 :A中不同的元素在B中都有不同的象 ,即x1 ≠x2 y1 ≠ y2 ;B中每一个元素 (一个不漏地 )在A中都有原象 ,即 y∈B , x∈A ,使 y=f(x) .只有满足这两点的映射才是一一映射 ,从而由此映射所确定的函数才具有反函数 .一、分段函数具有反函数的判定分段函数也是函数 ,因此它是否具有反函数 ,必须看确定分段函数的映射是否是一一映射 .例 1 判断函数f(x) =x2 -3 (x≥ 0 ) ,3x(x <0 )是否具有反函数 .解 分段函数… 相似文献
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※求值问题※例1:已知函数f(x)=x2(x>0),1(x=0)0(x<0)".,求f｛f[f(-3)]｝的值.分析:明确自变量在函数的哪一个段上,是解此类题的关键.解:∵-3<0,∴f(-3)=0,∴f[f(-3)]=1,∴f｛f[f(-3)]｝=f(1)=12=1.※求解析式问题※例2:已知f(x)=x,g(x)=-x+1,!(x)=-12x+2.设f(x),g(x),!(x)的最大值为F(x),求F(x)的解析式.分析:本题的关键是画出图象,求出交点,从而正确地分段,再在各段上写出符合要求的解析式,最后写出分段函数的解析式.解:如图,画出f(x),g(x),!(x)的图象,下面再求交点坐标.!由y=-x+1,y=-21x+2".得yx==3-2,".由y=x,y=-12x+2".得y=34%%%%$%%%… 相似文献
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一、问题的提出与探究已知函数f(x)=(-3x 7)~(1/2)(0≤x≤7/3), 求y=f(x)与它的反函数y=f-1(x)的交点．一般常有这样的思路: 解:y=f(x)与y=f-1(x)相交于y=x上, 所以建立方程 x=(-3x 7)~(1/2)(0≤x≤7/3), (舍去), 相似文献
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从题干的立意中找解题切入点的方法是由题干本身暗示的.以2004年高考选择题为例加以说明.一、排除法【例1】 (全国卷Ⅰ(4))函数y = x -1 1(x≥1)的反函数是( )(A)y = x2 -2x 2 (x <1)(B)y = x2 -2x 2 (x≥1)(C)y = x2 -2x (x <1)(D)y = x2 -2x (x≥1)分析解答:由原函数与其反函数定义域与值域互换的性质, 原函数的值域为[1, ∞),那么反函数的定义域为[1, ∞),所排除A,C,又f(1) =1,据f(a) = b f-1(b)= a,而f-1(1)≠1,排除D.故选B.评点:利用原函数与其反函数性质进行排除.【例 2】 (重庆卷(12) 理) 三棱锥 A -BCD,在面ABC… 相似文献
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反余切,反余弦函数有如下关系式: arc ctg(-x)=π-arc ctgx,x∈(-∞,+∞) arc cos(-x)=π-arc cosx,x∈[-1,1] 本文以第一个公式为例,利用图象的几何直观性,介绍两种证明方法,可在学生复习时用。∵ y=arc ctgx是y=ctgx (x∈(0,π))的反函数,其图象关于直线y=x对称,而y=ctgx(x∈(0,π))的图象关于点(π/2,0)对称,∴y=arc ctgx的图象关于点(0,π/2)对称。 相似文献
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陈鹏 《新课程学习(社会综合)》2011,(1)
(2010年全国高考山东卷(理)22题)已知函数f(x)=lnx-ax+1-a/x-1,a∈R.(Ⅰ)当a≤1/2时,讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)设g(x)=x<'2>-2bx+4,当a=1/4时,若对任意x<,1>∈(0,2),存在x<,2>∈[1,2],使f(x<,1>)≥g(x<,2>),求实数b的取值范围. 相似文献
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问题已知f(x)的值域是(-5,-12],求y=1f(x)的值域.探究因为y=f(1x)在(-∞,0),(0, ∞)上都是单调递减函数,由题意知-5f(1x)≥-2,所以y=f(1x)的值域为[-2,-51).反思升华1若改变f(x)的值域为[12,5),求y=f(1x)的值域.探究因为y=f(1x)在(0, ∞)上是单调递减函数,由21≤f(x)<5,可得2≥f(1x)>51,所以y=1f(x)的值域为(51,2].反思升华2又若改变f(x)的值域为(-5,12],求y=f(1x)的值域.探究1因为f(x)∈(-5,21]不是y=f(1x)的单调区间,所以必须把f(x)的范围分成(-5,0),{0},(0,21].当f(x)=0时,y=f(1x)无意义(舍去);当f(x)∈(-5,0)时,f(… 相似文献
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我们都知道函数y=xk(k≠0)的值域为{y｜y≠0},函数y=x+xk(k>0)的值域为y∈(-∞,-2k]∪[2k,+∞),借这两种函数原型,可用“分子常数化”来解决分式函数的值域问题.以下举例说明它的用法:例1已知f(x)=54xx+-31(x∈R,x≠35),求f(x)的值域.解因为f(x)=54xx-+31=45(5x-3)+1575x-3=45+5x157-3,又因为51×5x17-3≠0,所以f(x)≠54,所以f(x)∈(-∞,54)∪(54,+∞).点评这是直接应用反比例函数的值域求解.例2已知f(x)=(xx+-11)2(x≥1),求f(x)的值域.解因为xx-+11=(xx++1)1-2=1-2x+1,又因为x≥1,所以x+1≥2,则0<1x+1≤21,所以0-2x+1≥-1,… 相似文献