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著名数学家、教育家G·波利亚写过《数学与猜想》,他强调“要成为一个好的数学家,你必须首先是一个好的猜想家.”伟大的牛顿也说过:“没有大胆的猜想,就做不出伟大的发现.”学习数学令人最感困惑的也是最引人入胜的环节之一,就是如何发现定理及怎样证明定理,波利亚把“从最简单的做起”当作座右铭,提倡所谓“合情推理”,而猜想又是合情推理的最普遍、最重要的一种,本文对“计算———猜想———证明”模式作初步的介绍.例1计算:S1=11·2=12;S2=11·2+12·3=23;S3=11·2+12·3+13·4=34;……猜想:Sn=11·2+12·3+13·4+…+1n(n+1)=nn+1.①… 相似文献
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《中学数学教学》最近连载蔡上鹤先生就高中数学新教材的教学方法 ,回答高中教师的问题 ,说得简单明了全面且多有妙语珠词。今仅就其中第 5 1、5 4两个问题 (编者注 :见本刊 2 0 0 1年第 2期 )作些补充。1 只给出数列头几项 (其余用省略号 )而求数列通项 (实际上就是求数列本身 )。这是一个不确定问题 ,它早已被大数学家拉格朗日彻底解决 ,他给出了万能插值法。就从蔡先生的例题说起 :给数列ａ1=2 ,ａ2 =-32 ,ａ3 =43,ａ4 =-54 ,ａ5=65 ,ａ6=-76 ,……其通项可以写成 :ａｎ=( -1 ) ｎ - 1·ｎ 1ｎ =( -1 ) ｎ 1·ｎ 1ｎ =( -1 ) ｎ … 相似文献
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方程思想是数学解题中常用的基本思想方法之一.注意到方程思想在数列问题中的应用.常可以简洁处理一些其他思想方法难以解决的数列问题.本文就此举例如下:例1 设数列{a_n}中,a_1 3a_2 5a_3 … (2n-1)a_n=(2n—3)2~(n 1),求 a_n及分析:本题的一般思路是通过已知条件,取特殊值 n=1,2,3,4…求出 a_1,a_2,a_3,a_4…进而再由归纳猜想最后用数学归纳法证明从而获解, 相似文献
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数学方法是研究物理问题的一种基本方法。杰出的物理学家劳厄说 :“数学是物理学家的思想工具。”因此 ,在物理教学中必须注意培养学生应用数学知识解决物理问题的能力。下面谈谈我在教学过程中应用数学知识解决物理问题的一些实例。一、数列知识在物理学中的应用有关数列知识 :等差数列 :ａｎ=ａ1+(ｎ - 1)ｄｓｎ=ｎ(ａ1+ａｎ) / 2等比数列 :ａｎ=ａ1ｑｎ -1Ｓｎ=ａ1[1- (ｑ) ｎ]/ (1- ｑ)无穷递缩等比数列 :ａｎ=ａ1ｑｎ -1;|ｑ|<1;Ｓｎ=ａ1/ (1-ｑ)例 1:有一组电阻 ,阻值依次为 1Ω、3Ω、5Ω……(2ｎ - 1)Ω ,串在一起接入电路 ,电源电… 相似文献
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归纳思想是从特殊到一般的思维方法,即通过对有关数据和资料的分析,建立数学模型,探索并发现数学问题中蕴含的规律.因此归纳思想是一种重要的数学思想,不少数学方面的新发现就是通过归纳猜想而获得的.它不仅在数学的探索中得到充分体现,而且在数学教学中占有重要的地位.“国家课程标准”对归纳思想已予以充分肯定,归纳已成为考核的重要内容.下面是利用归纳思想求解的几个例题.例1郾〔2003年高考(22)题〕Ⅰ)设｛an｝是集合｛2t 2s｜0≤s相似文献
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先看下面的一道题 :等差数列 {ａｎ}中 ,公差ｄ是正整数 ,等比数列{ｂｎ}中 ,ｂ1=ａ1,ｂ2 =ａ2 ,现有选项数据 : 2 ; 3; 4 ; 5。当 {ｂｎ}中所有的项都是数列 {ａｎ}中的项时 ,ｄ可以取。 (填上你认为正确的选项 )。(注 :本文中所提到的数列均指无穷数列 )《中学数学教学参考》2 0 0 1年第 1— 2期上给出这道题的答案是选 , 。其实 ,ｄ可否取某一数据取决于能否找到满足条件的等差数列。对于 ,取等差数列ａｎ=2ｎ -1 ;对于 ,取等差数列ａｎ=3ｎ -2 ;对于 ,取等差数列ａｎ=4ｎ -3;对于 ,取等差数列ａｎ=5ｎ -4。分别利用二项式定理可证 … 相似文献
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《中学数学杂志》2002,(11)
稳定 发展 求实 创新———专家组评高考试题高考专家组 (1 - 1 )…利用观察归纳猜想 借助符号严密演绎———数学高考中数列题的命题和答题任子朝 (5 - 1 )…………………………………高中数学教科书中应用问题初探张劲松 (6- 1 )…新 秀 近 作建构“问题性教学” 培养问题发现能力李昌官 (2 - 1 )…………………………………以学生发展为本构建课堂教学孔小明 (4 - 1 )……学习课程理论 增强课程意识———给一线中学数学教师的一点建议张必华 (4 - 3 )…………………………………观念刷新 :数学新课程改革的支点顾桂斌 葛艳艳 … 相似文献
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数列问题往往是将已知数列转化为两个基本数列而得到解决 .本文通过实例说明 ,对于一类由递推公式ａｎ+ 1=Ａａｎ+Ｂ给出的数列ａｎ ,如何化为基本数列使问题得到解决 .题 已知数列 ａｎ 中 ,ａ1=2 ,ａｎ+ 1=2ａｎ+3(ｎ∈Ｎ ) ,求通项公式ａｎ.解 在ａｎ+ 1=2ａｎ+3两边加 3,得ａｎ+ 1+3=2ａｎ+6 ,即ａｎ+ 1+3=2 (ａｎ+3) ,变形 ,得 ａｎ+ 1+3ａｎ+3=2 .所以 ,新数列 ａｎ+3是以ａ1+3=5为首项 ,2为公比的等比数列 ,从而ａｎ+3=5 · 2 ｎ-1,即所求数列 ａｎ 的通项公式为ａｎ =5 · 2 ｎ-1- 3(ｎ ∈Ｎ ) .有同学要问 ,你是如何想到两边… 相似文献
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李云祥 《数学学习与研究(教研版)》2013,(14):103-106
数字冰雹猜想是:对于任意一个自然数N,如果N是偶数,就把它变成N2;如果N是奇数,就把它变成3N+1.按照这个法则运算下去,最终必然得1.这个有趣的猜想引起了许多数学爱好者的兴趣,并做了大量的研究、验证,都没有找到此猜想的一般规律,至今都是数学领域里悬而未解的难题.这个难题如何解决呢?在研究过的大量数字冰雹数列中都有神奇的数字漩涡124,并由此可以推导出数字漩涡公式:n=3n+12x.由数字漩涡公式引导出的三个证明都可以各自独立地证明:当数字冰雹数列中,只有奇数n1,n2(或者奇数n2就是第1个奇数n1本身)时,只有唯一的数字漩涡124.根据证明三推导出证明四,证明四可以证明:当数字冰雹数列中有奇数n1,n2,n3,…,nv时,这样的数字冰雹数列中不存在别的数字漩涡(除数字漩涡124外).证明五可以证明每一个数字冰雹数列最后都必然得1.因此由证明一、二、三、四、五的充分论证就可以证明数字冰雹猜想是正确的. 相似文献
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魏俊美 《济南职业学院学报》2002,(4):129-130
在解答数学问题时 ,往往需根据已有的知识对未知的问题做出种种猜测性的判断 ,这就是我们常说的猜想。猜想是一种重要的数学思想方法 ,是一种高层次的思维活动 ,是数学发现过程中的一种创造性思维。高斯说 :“没有大胆而放肆的猜想 ,就谈不上科学的发现。”创新意识的激发 ,创新思维的培养是素质教育中最具活力的课题 ,学会猜想对提高分析问题、解决问题的能力具有重要的意义 ,近年的中考创新试题越来越多 ,一些既不超越教学大纲又不拘泥于大纲的好题 ,频频出现在各地的试卷中 ,现举例如下 :例 1 已知 :1+3=4 =2 2 ,1+3+5 =9=32 ,1+3+5 +7=1… 相似文献
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对于数列极限问题 ,若数列的通项较为简单 ,通常可以运用一些已知极限并结合运算法则求得其值 ;但有时还须对通项的表达式作适当的恒等变形后 ,再求值 .本文对一些通项稍为复杂的问题的几种特殊处理方法作些归纳 .方法一 :求和法当数列的通项是由ｎ项的和构成时 ,通常可考虑先求和 ,再求极限 .有些和式可直接用公式 ,如等差数列、等比数列等等 ;有些不能简单用求和公式 ,而要运用数列的各种求和技巧 ,如拆项等等 .例 1 求ｌｉｍｎ→∞1ｎ3 32ｎ3 … (2ｎ- 1) 2ｎ3.解 因为 (2ｎ - 1) 2 =4ｎ2 - 4ｎ 1,所以1ｎ3 32ｎ3 … (2ｎ - 1) 2ｎ3=… 相似文献
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我们知道 ,已知数列 {ａｎ}的前ｎ项和Ｓｎ,可通过ａｎ =Ｓ1,ｎ =1,Ｓｎ -Ｓｎ- 1,ｎ≥ 2 .求出ａｎ.这种往前作差的方法尽管朴实 ,但反映的思想却极其深刻 ,不妨称之为往前作差 (商 )法 .它在解决数列问题中有着广泛而有效的应用 ,本文举例说明之 .1 求数列通项对数列递推式往前作差 (商 ) ,往往能发现数列的本质 ,继而顺利地求出数列通项 .例 1 设数列 {ａｎ}中 ,ａ1=1,ａ2 =2 ,ａｎ+1+ａｎ=3ｎ(ｎ =1,2 ,… ) ,求ａｎ.分析 将ｎ - 1代入ａｎ+1+ａｎ =3ｎ ,得ａｎ+ａｎ- 1=3(ｎ- 1) (ｎ≥ 2 ) .两式作差 ,得 ａｎ+1-ａｎ- 1=3.显然数… 相似文献
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中考试卷中出现的数学猜测题 ,一般是先给出一些数字 ,然后提出问题 ,考生需从所给数字找出规律 ,再做出解答 .这类题目有一定的难度 ,但可以提高观察力 .例 1 已知 :1 + 3=4 =2 2 ,1 + 3+ 5=9=32 ,1 + 3+ 5+ 7=1 6 =4 2 ,1 + 3+ 5+ 7+ 9=2 5=52 ,……根据前面各式的规律 ,可猜测 :1 + 3+ 5+ 7+… + ( 2ｎ + 1 ) =(其中ｎ为自然数 ) .( 2 0 0 0 ,湖北省黄冈市中考题 )分析 :本题从规律上看是连续奇数相加所得结果为某一数平方 .但题目使用“2ｎ +1”来表示一个抽象的奇数 ,这便增加了难度 .经观察 ,每个式子的最后一个奇数加 1除以 2再平方… 相似文献
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为了配合新教材与研究性课程的学习 ,近年来上海市高考中 ,允许考生使用“计算器” .笔者发现 :对于某类题目可以编制一种类似的计算器程序巧妙加以解决 !本文主要以高考题为例加以说明 .1 编制计算器程序猜想并解决复杂数列递推关系中的项、通项、极限问题例 1 ( 2 0 0 2年上海市高考第 11题 )数列 {an},a1 =3,an 1 =a2 n(n是自然数 ) ,求an.解 编制计算器程序 :( 1)按入某定数 3;( 2 )接着按Sto =Ansx2 ;( 3)再在计算器上连续按键 =在计算器上显示 :9,81,6 56 1,4 30 4 6 72 1…… ,即a2= 9 =32 ,a3 =81=34 ,a4=6 56 1=38,a5=4 30 4… 相似文献
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《中学数学教学参考》2000,(3)
代数部分 [试题选析 ]例 1 问题 :你能很快算出 19952 吗 ?为了解决这个问题 ,我们考察个位上的数字为 5的自然数的平方 .任意一个个位数为 5的自然数可写成 10ｎ 5,即求 ( 10ｎ 5) 2 的值 (ｎ为自然数 ) .你分析ｎ =1,ｎ =2 ,ｎ =3…这些简单情况 ,从中探索其规律 ,并归纳、猜想出结论 (在下面空格内填上你的探索结果 ) .( 1)通过计算 ,探索规律 :152 =2 2 5可写成 10 0× 1( 1 1) 2 5,2 52 =6 2 5可写成 10 0× 2 ( 2 1) 2 5,352 =12 2 5可写成 10 0× 3( 3 1) 2 5,4 52 =2 0 2 5可写成 10 0× 4 ( 4 1) 2 5,……75… 相似文献
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事实证明 ,数学理论的重大突破 ,常起源于立意深邃的猜想。“猜想”是人脑对数学对象及其结构的一种迅速的识别、直接的理解、整体的判断 ,是观察、想象、预见等多种能力的综合。培养学生的数学猜想能力 ,有助于学生全面掌握知识 ,并能活跃其思维 ,开阔其视野 ,促进学生智力的发展与提高。笔者就在中学数学教学中培养学生的猜想能力谈一点体会。1 .在探索知识的过程中培养探索性猜想能力探索性猜想是指依据已有知识和结果 ,对所研究的对象作出向结果靠近的方向性猜想。例 1 .已知 a-b=1 ,ab=1 ,作数列 u1=a-b,u2 =a2-ab b2 ,u3=a3-a2 b ab2 … 相似文献
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数列是高中数学的重点内容,它与数、式、函数、方程、不等式等有着密切的联系.求解数列问题往往涉及到重要的数学思想方法.为此,笔者结合多年的教学经验,对解决数列问题的常用方法作了一些探讨.一、数学归纳法数学归纳法比较典型地用于这两类题目中:1.确定一个表达式在所有自然数范围内是成立的;2.确定一个其他的形式在一个无穷序列是成立的.因此它是解决数列问题的常用方法之一.例1已知数列｛an｝中,a1=-23,其前n项的和Sn满足an=Sn S1n (2n≥2),计算S1,S2,S3,S4.猜想Sn的表达式,并证明.解析:当n≥2时,an=Sn-Sn-1=Sn S1n 2,Sn=-Sn-11 (2n≥2).求出S1,S2,S3,S4的值后,猜想Sn=-nn 21.证明(:1)当n=1时,S1=-23=a1,结论成立.(2)假设n=k时,猜想成立,即Sk=-kk 12成立.那么n=k 1时,Sk 1=-Sk1 2=--kk 112 2=-kk 23=((-kk 11)) 12.即n=k 1时,猜想成立.综合(1)(、2),可知猜想成立.点评:数学归纳法的重难点是处理好n=k 1时的情况.二、裂项相消法裂项相消法... 相似文献
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利用递推关系求数列的通项公式是数列中比较重要的内容,在历届高考试题中能找到很多有关的例子,大部分考生也知道有关的通法有哪些,但在运用方面还有一些不如意之处.下面根据2006年高考中的一些压轴题,介绍2种通法,并展示如何应用实例.例1(2006年福建第22题)已知数列{an}满足a1=1,an=2an-1 1(n≥2),求{an}的通项公式.分析1根据条件中的递推关系的结构看,可以想到:先求前几项观察其规律性,由此可以猜想到这个数列的通项公式,然后用数学归纳法证明猜想的正确性,这样的方法叫做“猜想归纳法”.解1(猜想归纳法)因为a1=1,an=2an-1 1(n≥2),所以a2… 相似文献
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先看下面的两个题 :题 1 一个等差数列共有 2ｎ 1项 ,其中奇数项之和为 3 0 5 ,偶数项之和为 2 76,试求第ｎ 1项。(见华东师范大学数学系编《数学学习丛书》高中代数 (二 )第 71页 3 0题 )题 2 已知数列ａ1,ａ2 ,…ａ2ｎ 1为等差数列 ,设Ｐ=ａ1 ａ3 … ａ2ｎ 1,Ｑ =ａ2 ａ4 … ａ2ｎ,求Ｐ/Ｑ的值。 (见华东师范大学出版社出版、上海市中、小学通用教材 ,高中数学二年级第二学期《数学习题册》第 2 8页第 1 2 (1 )题 )两个题的略解如下 :解 对于题 1 ,设题给的等差数列的各项依次为ａ1,ａ2 ,… ,ａ2ｎ 1,公差为ｄ ,依题意有 :… 相似文献