运用共渐近线的双曲线系来解题     

解启法 《中学教研》1990,(3)

高中解析几何课本有这样一类题目:已知双曲线的渐近线方程,再附有其他已知条件,求此双曲线方程.若能运用共渐近线的双曲线系来解此类问题,常能带来方便,本文试图探讨这一问题. 双曲线x~2/a~2-y~2/b~2=1和它的共轭双曲线x~2/a~2-y~2/b~2=1有共同的渐近线x/a±y/b=0. 双曲线系x~2/a~2-y~2/b~2=λ(λ≠0)的渐近线方程也是x/a±y/b=0.  相似文献   

双曲线方程与其渐近线方程之间关系的讨论     

刘俊勋 《数学教学研究》1989,(3):16-17

1、问题的提出:《平面解析几何》课本的给出了双曲线方程x~2/a~2-y~2/b~2=1的渐近线方程x/a±y/b=0,即x~2/a~2-y~2/b~2=0。于是一些学生误认为,一般双曲线方程,只要令其常数为零,即得双曲线的渐近线方程,然而事实并非如此,因为双曲线方程与其渐近线方程相差一个常数。 2、《解析几何答疑解惑》(陕西人民教育出版社)p110有一个结论;以y=±3/5x为渐近线的双曲线方程为:  相似文献   

双曲线渐近线方程统一形式的妙用     

《高中数学教与学》2016,(11)

<正>我们知道,双曲线(x~2)/(a~2)-(y~2)/(b~2)=1的渐近线方程为y=±(b/a)x.一般地,还有下面的一些结论:(1)双曲线(x~2)/(a~2)-(y~2)/(b~2)=λ(λ>0)的渐近线方程亦为y=±bax,即xa±yb=0,就是(x~2)/(a~2)-(y~2)/(b~2)=0.(2)双曲线(x~2)/(a~2)-(y~2)/(b~2)=λ(λ<0)的渐近线方程亦为(x~2)/(a~2)-(y~2)/(b~2)=0,故双曲线(x~2)/(a~2)-(y~2)/(b~2)=λ(λ≠0)的渐近线方程为  相似文献   

双曲线的又一种定义方法     

史立新 《数学教学通讯》1990,(2)

本刊1987年第1期“已知渐近线求双曲线方程的一种方法”一文,阐明了以y=±b/ax为渐近线的双曲线方程可以表示为x~2/a~2-y~2/b~2=m的形式,应用它来解题比较方便。本文想引进双曲线的又一种定义方法,进一步  相似文献   

椭圆与“渐近线”的密切关系     

《中学数学教学》2019,(1)

<正>众所周知,椭圆与双曲线的第一定义与第二定义相似,性质也有很多类似的,然而双曲线却独有渐近线,而椭圆x~2/a~2+y~2/b~2=1(a>b>0)与双曲线x~2/a~2-y~2/b~2=1(a>0,b>0)的渐近线y=±b/ax又有什么紧密的关系呢?本文就以焦点在x轴上的椭圆C:x~2/a~2+y~2/b~2=  相似文献   

椭圆、双曲线切线的一个有趣性质     

玉叶 《中学数学月刊》2001,(3):45-45

本文介绍椭圆和双曲线切线的一个有趣性质 ,并说明其应用 .定理　经过椭圆 b2 x2 a2 y2 =a2 b2 (a>b>0 )或双曲线 b2 x2 - a2 y2 =a2 b2 (a>0 ,b>0 )的长轴或实轴两端点 A1 和 A2 的切线 ,与椭圆或双曲线上任一点的切线相交于 P1 和P2 ,则 |P1 A1 |· |P2 A2 |=b2 .证明　椭圆上任一点 P(acosθ,bsinθ)处的切线方程为 b2 ·acosθ· x a2 · bsinθ·y=a2 b2 即bcosθ·x asinθ·y- ab=0 .1又知点 A1 (- a,0 )和 A2 (a,0 )处的切线方程分别为 x=- a和 x=a,将它们分别与1联立解得 |P1 A1 |=|y P1|=b|1 cosθsinθ |,|P2 A2 |=|y P…  相似文献   

利用圆的均匀压缩求椭圆面积     

吴坚强 《中学数学教学》1981,(4)

将平面上一点P(x_1,y_1),移到新的位置P'(x_1,y_1'),使y_1'=ky_1。这种变换叫做点P向X轴均匀压缩。常数k≠0叫做压缩系数。本文下面取0b>0),可得出椭圆x~2/a~2+y~2/b~2=1。证明如下。设P(x,y)是圆上任意一点,经压缩变换后的对应点是P'(x',y'),则有x'=x,y'=ky=b/a y,由此得y=a/b y',代入x~2+y~2=a~2,得x'~2+a~2/b~2 y'~2=a~2,于是有x'~2/a~2+y'~2/b~2=1,  相似文献   

蜕化双曲线的应用     

陈斌 《数学教学研究》2005,(6):33-34

大家知道,双曲线x2a2-y2b2=k(a,b>0,k≠0)的渐近线方程为y=±bax,它可化为x2a2-y2b2=0,比较双曲线方程,两式左边的形式是一样的,我们把这两条直线统称为蜕化双曲线.即定义两条相交直线x2a2-y2b2=0称为双曲线x2a2-y2b2=k(a,b>0,k≠0)的蜕化双曲线.这样两条相交的直线方程化成了二次形式,使两直线形成一个整体,有利于解决有关问题.例1(1)设双曲线C:(y a)2-(x-a)2=2a,其渐近线过点(3,1),求C的渐近线方程.(2)以直线y=±(x 1)为渐近线的双曲线的焦距为4,求双曲线方程.分析(1)把欲求的渐近线看作蜕化双曲线:(y a)2-(x-a)2=0,把点(3,1)代入得a=1,…  相似文献   

关于双曲线教学中的几个问题     

卫广彦 《数学教学通讯》1981,(1)

在圆锥曲线中.以双曲线的性质最难为。现在谈谈双曲线教学中的几个问题。一、双曲线的渐近线: 1.双曲线渐近线的证明: 全国统编教材高中《数学》课本第二册中,引入双曲线的渐近线时,是根据平行于y轴的直线与双曲线x~2/a~2-y~2/b~2=1及直线y=±(b/c)x的交点间的距离随|x|无限增大而无限接近来说明的(参看该书第136页)。但据我认为,若利用双曲线上的点(动点)到直线y=±(b/a)x的距离随|x|无限增大而无限接近(但永远不会相交)进行证明,则更能确切地反映曲线的渐近线的定义的实质,因而从  相似文献   

一个基本关系的应用     

夏中全 《数学教学通讯》1995,(2)

大家知道如下的一个基本关系:若 f(a,b)=0,则点(a,b)必在方程 f(x,y)=0的曲线上.比如,由 a~2 b~2=1,我们可以得出:1°,点(a,b)在圆 x~2 y~2=1上;2°,点(a,b~2)在抛物线 x~2 y=1;3°,点(a~2,b~2)在直线上 x y=1上;4°,点(a,b)在直线 ax by=1上,等等.在解题中,  相似文献   

圆的性质在双曲线中的推广及简单应用     

王新宏  陈雪莲 《理科考试研究》2015,(1):4

在科学创造的发现与发明中,类比有着十分广泛的应用.本文借助圆中我们熟悉的5个性质出发,类比出双曲线的5个类似性质,以期抛砖引玉,激发起同学们的创造热情和类比发现意识.定理1点P(x0,y0)为圆x2+y2=1上任意一点,则过点P(x0,y0)的圆的切线方程为x0x+y0y=1.推广定理1点P(x0,y0)为双曲线x2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0)上任意一点,则过点  相似文献   

确定双曲线方程一法     

刘慧智 《数学教学通讯》1998,(3)

各已知渐近线方程 f_1(x)=0,f_2(x)=0而不知双曲线方程类型情况下,求双曲线方程可通过设方程为f_1(x)·f_2(x)=λ(λ≠0)来确定.例1 求以4x-3y=0,4x 3y=0为渐近线方程且过 P(4 (3~(1/2),8)的双曲线方程.解:渐近线方程可变为(4x-3y)(4x 3y)=16x~2-9y~2=0  相似文献   

一道古老题目的新解法及其意义     

严津格尔 《高中数理化》2010,(7):36-36

命题过双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1（a,b〉0）上任一点P（x0,y0）分别作2条渐近线y=±b/a x的平行线分别交于F、G,O为坐标系原点．求证： OFPG的面积为定值．  相似文献   

线性分式函数的图像和性质讨论     

曾家骏 《数学教学通讯》2001,(3):28-29

在高中代数中,常常遇见形如y=(ax b)/(cx d)(1)(c≠0,a~2 b~2≠0,bc-ad≠0)的函数,我们称为线性分式函数,其中常数c≠0,是因为若c=0,这就不是分式函数,而是一次函数或常数了,若a~2 b~2=0,则a=b=0,y=0是一个常数,或称常值函数,而若bc=ad则a/c=b/d,函数(1)的解析式变成y=(a/c x b/c)/(x d/c)=(b/d x b/c)/(x d/c)=(b/d(x d/c))/(x d/c)=b/d,也  相似文献   

椭圆、双曲线的共轭直径及应用     

程惠才 《中学数学教学参考》1994,(7)

定义:连结椭圆上任意两点的线段叫弦.过椭圆中心的弦叫直径.类似地可定义双曲线的直径.如图1,平行于直径CD的弦的中点的轨迹AB和直径CD叫互为共轭直径.类似地可定义双曲线的共轭直径. 定理1 已知AB、CD为椭圆x~2/a~2 y~2/b~2=1的一对共轭直径,其斜率分别为k_(AB)、K_(CD),那么K_(AB)·K_(CD)=-b~2/a~2. 略证:如图1,设平行弦EF簇的斜率为k(即K_(CD)),则平行弦EF簇的方程为 y=kx t(t为参数).① 又椭圆方程为 x~2/a~2 y~2/b~2=1. ② ①代入②整理得 (a~2k~2 b~2)x~2 2a~2tkx a~2(t~2-b~2)=0. ③ 由韦达定理,得x_1 x_2=-(2a~2tk/a~2k~2 b~2). 设M(x′,y′)是EF的中点,则 x′=1/2(x_1 x_2)=-(a~2tk/a~2k~2 b~2) ④ 点M在EF上,则y′=kx′ t. ⑤ 由④、⑤消去参数t得 y′=-b~2/a~2k x′. ∵k_(AB)=k_(OM)=-(b~2/a~2k). ∴k_(AB)·k_(CD)=-(b~2/a~2k)·k=-(b~2/a~2). 推论1 AB是椭圆x~2/a~2 y~2/b~2=1的任意一条弦,P为AB的中点,O为椭圆的中心,则 K_(AB)·K_(OP)=-(b~2/a~2).  相似文献   

圆锥曲线的一个有趣性质     

苏祖义 《中学数学月刊》2000,(7)

性质　过圆锥曲线上任一点 P(x0 ,y0 )作倾斜角互补的两直线交该曲线于 A,B两点 ,则直线 AB的倾斜角为定值 ,且直线 AB的倾斜角与该曲线在 P点的切线的倾斜角也互补证明　以下只证明椭圆情况 ,双曲线与抛物线同理可证 .设椭圆方程为 :x2a2 y2b2 =1,图 1(1)当 y0 =0时 ,直线 AB的倾斜角与 P点处切线的倾斜角都是90°,知结论成立 ;(2 )当 y0 ≠ 0时 ,设直线的参数方程为 :x=x0 tcosα,y=y0 tsinα,(t为参数 )代入椭圆方程整理得 :(b2 cos2 α a2 sin2 α) t2 2 (b2 x0 cosα a2 y0 sinα) t b2 x20 a2 y20 =a2 b2 .∵点 P在…  相似文献   

双曲线中"虚近点"的一些性质     

丁益民 《中学数学研究(江西师大)》2007,(10):15-16

笔者经过研究发现双曲线的渐近线与一些特殊直线的交点有着特殊的性质,本文就此谈谈双曲线(x~2)/(a~2)-(y~2)/(b~2)=1(a>0,b>0)的渐近线与直线y=±b交点的有关性质.  相似文献   

2005年普通高等学校招生全国统一考试 上海数学试题(文理)     

《高中数学教与学》2005,(7):36-41

一、填空题 (本大题共 1 2小题 ,每小题 4分 ,共48分 )1 .函数 f(x) =log4(x+1 )的反函数 f- 1 (x)= .2 .方程 4x+2 x-2 =0的解是 .3 .(文 )若x ,y满足条件 x+y≤ 3 ,y≤ 2x ,则z=3x+4y的最大值是 .　 (理 )直角坐标平面xOy中 ,若定点A( 1 ,2 )与动点P(x ,y)满足 OP· OA =4,则点P的轨迹方程是 .4.(文 )与 (理 ) 3同 .　 (理 )在 (x-a) 1 0 的展开式中 ,x7的系数是1 5,则实数a =.5.(文 )函数 y=cos2x+sinxcosx的最小正周期T =.　 (理 )若双曲线的渐近线方程为 y =± 3x ,它的一个焦点是 ( 1 0 ,0 ) ,则双曲线的方程是 .6.(文 )若cosα =…  相似文献   

完全平方公式的应用     

曹秀之 《时代数学学习》2003,(Z2)

完全平方公式(a±b)~2=a~2±2ab+b~2.是整式运算中最重要的公式之一.在数学竞赛中它还能大显身手.例1 (2002年全国初中数学竞赛题)已知 a=1999x+2000,b=1999x+2001,c=1999x+2002,则多项式 a~2+b~2+c~2-ab-bc-ac 的值为().(A)0 (B)1 (C)2 (D)3  相似文献   

函数f（x）=x-k／x（k〉0）的性质、图象及应用     

黄金良 《福建中学数学》2004,(10):23-24

y=x?k/x(k>0)的性质、图象如下:(1)定义域:x≠0;y(2)值域:y∈R;(3)奇偶性:奇函数(4)单调性:在(?∞,0)O和(0, ∞)上均为增函数;(5)图像:双曲线;(6)对称中心:原点;(7)垂直渐近线:x=0;斜渐近线:y=x;(8)实轴方程:y=?(2?1)x;虚轴方程:y=(2 1)x;(9)实半轴长2(2?1)k,离心率e=4 22;(10)  相似文献