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义务教材 (人教版 )《几何》第二册 193页 18题 :已知 :ＡＤ是△ＡＢＣ的中线 ,Ｅ是ＡＤ的中点 ,Ｆ是ＢＥ的延长线与ＡＣ的交点 .求证 :ＡＦ =12 ＦＣ .这是一道看似平常 ,却回味无穷的问题 ,在教与学中可从不同角度探究其解法 .简证 1 过Ｄ作ＤＧ∥ＢＦ交ＡＣ于Ｇ点 ,(如图1) ,则 ＣＤＤＢ=ＣＧＧＦ,ＡＥＥＤ =ＡＦＦＧ,结合ＡＥ =ＥＤ ,ＢＤ =ＤＣ ,可证得ＡＦ =12 ＦＣ .图 1 图 2 简证 2 过Ｄ作ＤＧ∥ＡＣ交ＢＦ于Ｇ(如图2 ) ,则 ＢＤＢＣ=ＧＤＦＣ,ＡＥＥＤ=ＡＦＧＤ,结合ＡＥ =ＥＤ ,ＢＤ =ＤＣ ,可证得ＡＦ =1… 相似文献
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一道竞赛题的再推广 总被引：2，自引：0，他引：2
题 如图 1 ,在等腰直角三角形ＡＢＣ中 ,ＡＢ =1 ,图 1∠Ａ =90° ,点Ｅ为腰ＡＣ的中点 ,点Ｆ在底边ＢＣ上 ,且ＦＥ⊥ＢＥ ,求△ＣＥＦ的面积。( 1 998年全国初中数学竞赛第 1 1题 )文 [1 ]将等腰直角三角形推广到等腰三角形 ,本文再作如下推广。图 2推广 1 如图 2 ,在等腰直角三角形ＡＢＣ中 ,∠Ａ =90°,ＡＢ =ａ ,点Ｅ为腰ＡＣ上的点 ,点Ｅ内分ＣＡ为 :ＣＥ∶ＥＡ =λ ,点Ｆ在底边ＢＣ上 ,且ＦＥ⊥ＢＥ ,则Ｓ△ＣＥＦ=λ2 ａ22 (λ 1 ) 2 (λ 2 ) 。证明 由ＡＣ =ＡＢ =ａ ,ＣＥＥＡ=λ ,知ＥＣ =λａλ 1 ,ＥＡ =ａλ 1 。作ＡＤ… 相似文献
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数学题的解法并非一成不变 ,如果我们从不同的角度分析问题 ,就可能找到不同的解题思路。如义务教育三年制初中几何第二册第 2 6 4页 2 0题 (如图 1 ) ,ＢＤ =ＣＥ ,求证 :ＡＣ·ＥＦ =ＡＢ·ＤＦ。其证明方法就有几种。[证明 1 ] 过点Ｄ作ＤＧ∥ＡＣ交ＢＣ于Ｇ(图 2 ) ,则ＡＣＡＢ=ＤＧＢＤ,ＤＦＥＦ=ＤＧＣＥ。因为ＢＤ =ＣＥ ,所以 ＡＣＡＢ=ＤＦＥＦ,即ＡＣ·ＥＦ =ＡＢ·ＤＦ。[证明 2 ] 过点Ｄ作ＤＧ∥ＢＦ交ＡＣ于Ｇ(图 3) ,则 ＡＤＡＢ=ＡＧＡＣ,所以ＡＢ -ＡＤＡＢ =ＡＣ -ＡＧＡＣ ,ＢＤＡＢ=ＣＧＡＣ,ＡＣＡＢ=ＣＧＢＤ (1 )又… 相似文献
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丁柏川 《中学数学教学参考》2000,(10)
1999年全国初中数学联合竞赛第二试第二题 :ＡＤ是△ＡＢＣ的高 ,以Ｄ为圆心 ,ＡＤ为半径作⊙Ｄ交ＡＢ于Ｅ ,交ＡＣ于Ｆ ,ＡＢ =5,ＡＥ =2 ,ＡＦ =3 .求ＡＣ的长 .本文对该题做如下几方面的思考和探讨 .一、一题多解解法 1.如图 1,过Ｄ分别作ＤＰ⊥ＡＢ ,垂足为Ｐ ,ＤＱ⊥ＡＣ ,垂足为Ｑ ,由垂径定理得ＡＰ =1,ＡＱ= 32 .易得△ＡＤＰ∽△ＡＢＤ ＡＤＡＢ= ＡＰＡＤ ＡＤ =5.同样有△ＡＤＱ∽△ＡＣＤ ＡＤＡＣ =ＡＱＡＤ ＡＣ =103 .解法 2 .如图 1,延长ＡＤ交⊙Ｄ于Ｍ ,连结ＭＥ及ＭＦ ,可得ＡＤ =5 ＡＭ =2 5,易得Ｒｔ△ＡＭＦ∽Ｒｔ… 相似文献
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20 0 1年广东省高考数学第 2 1题 :已知椭圆 :ｘ22 ｙ2 =1的右准线ｌ与ｘ轴相交于点Ｅ ,过椭圆右焦点Ｆ的直线与椭圆相交于Ａ、Ｂ两点 ,点Ｃ在右准线上且ＢＣ ∥ｘ轴 ,求证 :直线ＡＣ经过线段ＥＦ的中点 .此题对一般性结论仍成立 ,还可以拓广到其它圆锥曲线 .拓广 1 已知椭圆 ｘ2ａ2 ｙ2ｂ2 =1的右准线ｌ与ｘ轴相交于点Ｅ ,过椭圆右焦点Ｆ的直线与椭圆相交于Ａ、Ｂ两点 ,点Ｃ在右准线上且ＢＣ∥ｘ轴 ,求证 :直线ＡＣ经过线段ＥＦ的中点 (ａ >ｂ>0 ) . 图 1证明 如图 1,记直线ＡＣ与ｘ轴的交点为Ｎ ,过Ａ作ＡＤ⊥ｌ,Ｄ是垂足 .… 相似文献
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1 题目与解法研究2 0 0 1年高考题 19(文 2 0 )题 :设抛物线 ｙ2 =2 ｐｘ(ｐ>0 )的焦点为Ｆ ,经过点Ｆ的直线交抛物线于Ａ、Ｂ两点 ,点Ｃ在抛物线的准线上 ,且ＢＣ∥ｘ轴 ,证明直线ＡＣ经过原过Ｏ . 图 1证 1 如图 1,记ｘ轴与抛物线准线ｌ的交点为Ｅ ,过Ａ作ＡＤ⊥ｌ,Ｄ是垂足 ,于是有ＡＤ ∥ＥＦ∥ＢＣ .连结ＡＣ与ＥＦ相交于点Ｎ ,则｜ＥＮ｜｜ＡＤ｜ =｜ＣＮ｜｜ＡＣ｜ =｜ＢＦ｜｜ＡＢ｜,｜ＮＦ｜｜ＢＣ｜ =｜ＡＦ｜｜ＡＢ｜.根据抛物线的几何性质有｜ＡＦ｜=｜ＡＤ｜ ,｜ＢＦ｜=｜ＢＣ｜ ,所以｜ＥＮ｜=｜ＡＤ｜·｜ＢＦ｜… 相似文献
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题 (2 0 0 2年全国初中数学竞赛试题一 ,3 ) 点Ｅ、Ｆ分别是矩形ＡＢＣＤ的边ＡＢ、ＢＣ的中点 ,连ＡＦ、ＣＥ ,设ＡＦ、ＣＥ交于点Ｇ ,则 Ｓ四边形ＡＧＣＤＳ矩形ＡＢＣＤ等于 ( )。(Ａ) 56 (Ｂ) 45 (Ｃ) 34 (Ｄ) 23本文给出该试题的两个推广。定理 1 点Ｅ、Ｆ分别是矩形ＡＢＣＤ的边ＡＢ、ＢＣ上的内点 ,且 ＡＥＥＢ=ＣＦＦＢ=ｋ(ｋ >0且ｋ∈Ｒ) ,连ＡＦ、ＣＥ相交于点Ｇ ,则Ｓ四边形ＡＧＣＤＳ矩形ＡＢＣＤ=ｋ 1ｋ 2 。证明 设ＡＢ =ａ ,ＢＣ =ｂ ,连结ＡＣ、ＥＦ ,如下图。∵ ＡＥＥＢ=ＣＦＦＢ=ｋ ,∴ＥＦ∥ＡＣ ,Ａ… 相似文献
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赵惠民先生著 ,海洋出版社 1980年出版的《平面几何解题思路》一书第 3 6页例 8是这样一道题 :如图 ,已知 :△ＡＢＣ中 ,ＡＤ平分∠ＢＡＣ ,ＣＦ ⊥ＡＤ于Ｆ ,ＢＥ⊥ＡＤ的延长线于Ｅ ,Ｍ是ＢＣ的中点 .求证 :ＭＥ =ＭＦ .分析 :延长ＢＥ、ＡＣ相交于Ｑ ,得△ＡＢＥ≌△ＡＱＥ ,从而ＢＥ =ＥＱ ,ＭＥ成为△ＢＱＣ的中位线 ,ＭＥ 12 ＣＱ .同理 ,延长ＣＦ ,交ＡＢ于Ｐ ,得到ＣＦ =ＦＰ ,证出ＭＦ=12 ＢＰ .再用等量公理 ,推出ＰＢ =ＣＱ ,则本题得证 .许多资料都引用了这道题 ,且思路相同 ,例如 ,袁银宗先生编著 ,中国社会出版社2 0 0 1年 1… 相似文献
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20 0 2年安徽省初中升学统一考试有如下一道选择题 :如图 1 ,在矩形ＡＢＣＤ中 ,ＡＢ=3 ,ＡＤ =4,Ｐ是ＡＤ上的动点 ,ＰＥ⊥ＡＣ于Ｅ ,ＰＦ⊥ＢＤ于Ｆ,则ＰＥ ＰＦ的值为 ( )Ａ .1 25 Ｂ .2 Ｃ .52 Ｄ .1 35该动点题出得灵巧 ,虽以选择题出现 ,但其解题的思维空间十分广阔 ,是培养和考查学生思维能力的一道好题 .本文现提供四种不同的解法 ,供读者参考 .1 特殊法(1 )如图 1 ,令动点Ｐ与Ａ重合 ,则有ＰＥ =0 ,ＰＥ ＰＦ =ＰＦ ,因为ＡＢ =3 ,ＡＤ =4,所以ＢＤ =ＡＢ2 ＡＤ2 =5 ,而Ｓ△ＡＢＤ =12 ＡＢ·ＡＤ =12 ＢＤ·ＰＦ… 相似文献
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解梯形及有关问题时 ,往往需要作一些辅助线 ,把梯形问题转化为平行四边形 (或矩形、正方形 )和三角形问题来解决 .常用的转化思路有以下几种 .一、平移对角线转化平移一对角线 ,把两对角线与两底边的和转移到一个三角形中 .图 1例 1 已知 :如图1,在等腰△ＡＢＣ中 ,ＡＢ =ＡＣ ,点Ｅ、Ｆ分别是ＡＢ、ＡＣ的中点 ,ＣＥ⊥ＢＦ于点Ｏ .求证 :(1)四边形ＥＦＣＢ是等腰梯形 ;(2 )ＥＦ2 +ＢＣ2 =2ＢＥ2 .(2 0 0 1年广东省深圳市中考题 )证明 (1)略 .(2 )过Ｅ作ＥＧ∥ＦＢ交ＣＢ的延长线于点Ｇ ,作ＥＤ⊥ＢＣ于点Ｄ ,则ＥＧＢＦ是平行四边形 .… 相似文献
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原题 如图 1,⊙Ｏ1 和⊙Ｏ2 外切于点Ａ ,ＢＣ是⊙Ｏ1 和⊙Ｏ2 的公切线 ,Ｂ、Ｃ为切点 .求证 :ＡＢ⊥ＡＣ .(初中《几何》第三册第 14 4页例 4)图 1 图 2 变式 1 如图 2 ,⊙Ｏ1 和⊙Ｏ2 外离 ,ＢＣ是⊙Ｏ1 和⊙Ｏ2 的公切线 ,Ｂ、Ｃ为切点 ,连心线Ｏ1 Ｏ2 分别交⊙Ｏ1 、⊙Ｏ2 于点Ｍ、Ｎ ,ＢＭ、ＣＮ的延长线相交于点Ａ .求证 :ＡＢ⊥ＡＣ .证明 过点Ｍ、Ｎ分别作⊙Ｏ1 、⊙Ｏ2 的切线 ,交ＢＣ于Ｄ、Ｅ ,作ＡＯ⊥Ｏ1 Ｏ2 ,交ＢＣ于Ｏ .则ＭＤ =ＢＤ ,ＮＥ =ＣＥ ,ＭＤ∥ＡＯ∥ＮＥ .∵ ＢＯＡＯ=ＢＤＭＤ=1,∴ Ａ… 相似文献
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题目 如图 1 ,在△ＡＢＣ中 ,∠Ａ =60° ,ＡＢ >ＡＣ ,点Ｏ是外心 ,两条高ＢＥ、ＣＦ交于Ｈ点 .点Ｍ、Ｎ分别在线段ＢＨ、ＨＦ上 ,且满足ＢＭ =ＣＮ .求 ＭＨ ＮＨＯＨ 的值 .由ＢＭ =ＣＮ及线段的差分关系 ,得ＭＨ ＮＨ =ＢＨ -ＣＨ .因此 ,本题等价于在已知条件下 ,求 ＢＨ -ＣＨＯＨ 的值 .下面给出几种解法 ,供参考 .解法 1 .如图 2 ,在ＡＢ上截取ＡＤ =ＡＣ ,则△ＡＤＣ为等边三角形 .从而∠ＢＤＣ =1 2 0°.∵Ａ、Ｆ、Ｈ、Ｅ四点共圆 .∴∠ＢＨＣ =1 80° -∠Ａ =1 2 0°由外心张角公式 ,得∠ＢＯＣ=2∠Ａ =1 2 0°∴∠ＢＤＣ =∠… 相似文献
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圆锥曲线中与对称轴不垂直的焦点弦两端点为Ａ、Ｂ(当曲线是双曲线时 ,Ａ、Ｂ在双曲线的同一支上 ) ,其在对应的准线上的射影分别是Ｄ、Ｃ ,四点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ所围成的四边形称之为圆锥曲线的焦直角梯形 ,简称为焦直角梯形 .如图 1,焦直角梯形ＡＢＣＤ中 ,显然有｜ＡＦ｜ =ｅ｜ＡＤ｜ ,｜ＢＦ｜=ｅ｜ＢＣ｜ ,其中ｅ为离心率 . 图 1性质 1 焦直角梯形ＡＢＣＤ中 ,Ｆ为焦点 ,ＥＦ ⊥ＣＤ于Ｅ ,Ｐ为ＥＦ的中点 ,则Ａ、Ｐ、Ｃ ,Ｂ、Ｐ、Ｄ三点共线 .证明 连结ＡＣ交ＥＦ于Ｐ′(如图 1) ,设｜ＡＤ｜=ｍ ,｜ＢＣ｜ =ｎ ,则｜ＡＦ｜ =… 相似文献
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三角形中的一个不等式 总被引：1，自引：0，他引：1
若三角形一边上的一点和这边所对的顶点将三角形的周长二等分 ,则称这一点为三角形的周界中点 ,并将以三个周界中点为顶点的三角形称为周界中点三角形 .本文将给出与周界三角形有关的一个有趣的不等式 .图 1命题 如图 1 ,设Ｄ、Ｅ、Ｆ分别为△ＡＢＣ的边ＢＣ、ＣＡ、ＡＢ的周界中点 ,且ＢＣ =ａ ,ＣＡ=ｂ ,ＡＢ =ｃ,ｓ =12(ａ +ｂ +ｃ) ,△ＡＥＦ、△ＢＤＦ、△ＣＤＥ的面积分别记为△ Ａ、△ Ｂ、△Ｃ.则(ｓ-ｂ) (ｓ-ｃ)△ Ａ+(ｓ-ｃ) (ｓ-ａ)△ Ｂ+(ｓ-ａ) (ｓ-ｂ)△ Ｃ≥ 43 .证明 :由三角形周界中点的定义 ,知ｓ=ＡＢ +ＡＥ =ｃ+ＡＥ ,… 相似文献
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人教社义务教育几何课本中 ,有众多例题、习题可作变式 ,本文仅就几何第三册 1 0 2页第 1题作一探索。题目 已知 :如图 ,在⊙Ｏ中 ,弦ＡＢ =ＣＤ ,延长图 1ＡＢ到Ｅ ,延长ＣＤ到Ｆ ,使ＢＥ =ＤＦ ,求证 :ＥＦ的垂直平分线经过点Ｏ。1 运动图形 ,结论不变变 1 如图 2 ,运动Ｅ、Ｆ ,使ＢＥ =ＤＦ。变 2 如图 3,运动Ｅ、Ｆ ,使ＢＥ =ＣＦ。变 3 如图 4 ,运动Ｆ ,使ＢＥ =ＣＦ。 图 2 图 3 图 42 交换结论与题设变 4 已知 :如图 1 ,在⊙Ｏ中 ,弦ＡＢ =ＣＤ ,Ｅ、Ｆ分别是ＡＢ、ＣＤ延长线上的点 ,且ＥＦ的中垂线… 相似文献
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20 0 2年全国高考数学试卷 (理 )第 1 8题如下 :图 1如图 1 ,正方形ＡＢＣＤ、ＡＢＥＦ的边长都是 1 ,而且平面ＡＢＣＤ、ＡＢＥＦ互相垂直 ,点Ｍ在ＡＣ上移动 ,点Ｎ在ＢＦ上移动 ,若ＣＭ =ＢＮ =ａ(0<ａ<2 ) ,(Ⅰ )求ＭＮ的长 ;(Ⅱ )当ａ为何值时 ,ＭＮ的长最小 ;(Ⅲ )当ＭＮ长最小时 ,求面ＭＮＡ与面ＭＮＢ所成的二面角α的大小 .解略 .这是一道立体几何题 ,但考查的并不纯是线面位置关系的推理判断 ,还考查了二次函数的最值、余弦定理等代数知识 ,可以说是以立体图形为载体考查了代数知识 ,是一道学科内的综合题 ,这充分体现了课程改革的… 相似文献
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题目 已知Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ顺次在圆Ｏ上 ,ＡＢ =ＢＤ ,ＢＭ垂直于ＡＣ ,垂足为Ｍ .证明 :ＡＭ =ＤＣ +ＣＭ .(第十二届江苏省初中数学竞赛题 )图 1分析 本题图形简单(见图 1) ,仅有一个圆和几条线段 ,若不仔细分析其中的关系 ,不易找出解题思路 .本文将采用证明一条线段等于另两条线段的和的常规方法 ,即截长法和补短法 ,以及由垂径定理得出的对称法和利用平行线的性质来证得结论 .证法一 (截长法 )如图 2 ,截取ＡＥ =ＣＤ ,连结ＢＥ交ＡＭ于Ｆ ,连结ＢＣ、ＡＥ、ＡＢ .∵ ∠ＡＣＢ =∠Ｅ =ｍ 12 ＡＢ =12 ＢＤ =12 (ＡＥ +ＢＣ) =ｍ ∠Ｆ… 相似文献
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本期问题图 1 初 1 2 3 . 已知点Ｄ1、Ｄ2 在△ＡＢＣ的边ＡＢ上 ,且ＢＤ1=ＡＤ2 ,过点Ｄ1、Ｄ2 分别作ＢＣ的平行线 ,交ＡＣ于点Ｅ1、Ｅ2 ,点Ｐ1、Ｐ2分别为Ｄ1Ｅ1、Ｄ2 Ｅ2上的任意点 ,ＢＰ1交ＡＣ于Ｎ1,ＣＰ1交ＡＢ于Ｍ1,ＢＰ2 交ＡＣ于Ｎ2 ,ＣＰ2 交ＡＢ于Ｍ2 .求证 :ＡＭ1Ｍ1Ｂ+ ＡＮ1Ｎ1ＣＡＭ2Ｍ2 Ｂ+ ＡＮ2Ｎ2 Ｃ =1 .(郭 璋 北京市朝阳区教育研究中心 ,1 0 0 0 2 8)图 2初 1 2 4. 如图 2 ,小正方形ＡＢＣＤ各边所在直线与大正方形Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′分别相交于Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈ、Ｐ、Ｑ、Ｍ、Ｎ .求证 :ＥＦ +ＰＱ =ＧＨ+ＭＮ .… 相似文献
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马志良 《中学数学教学参考》2000,(5)
求点到平面的距离是立体几何教学中不可忽视的一个基本问题 ,是近几年高考的一个热点 .本文试通过对一道典型例题的多种解法的探讨 ,结合《立体几何》(必修本 )中的概念、习题 ,概括出求点到平面的距离的几种基本方法 .例 已知ＡＢＣＤ是边长为 4的正方形 ,Ｅ、Ｆ分别是ＡＢ、ＡＤ的中点 ,ＧＣ垂直于ＡＢＣＤ所在平面 ,且ＧＣ =2 ,求点Ｂ到平面ＥＦＧ的距离 .一、直接通过该点求点到平面的距离1.直接作出所求之距离 ,求其长 .解法 1.如图 1,为了作出点Ｂ到平面ＥＦＧ的距离 ,延长ＦＥ交ＣＢ的延长线于Ｍ ,连结ＧＭ ,作ＢＮ⊥ＢＣ ,交ＧＭ于… 相似文献
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20 0 2年全国高中数学联合竞赛于 2 0 0 2年 1 0月 1 3日结束 ,许多读者于一周之内寄来加试题的解答 ,其中诸多证明方法或解法相同或相近 .现根据来稿先后及解法特点整理如下 .图 1第一题 如图 1,在△ＡＢＣ中 ,∠Ａ =6 0° ,ＡＢ >ＡＣ ,点Ｏ是外心 ,两条高ＢＥ、ＣＦ交于点Ｈ ,点Ｍ、Ｎ分别在线段ＢＨ、ＨＦ上 ,且满足ＢＭ =ＣＮ .求ＭＨ +ＮＨＯＨ 的值 .解法 1:连ＯＢ、ＯＣ ,并设△ＡＢＣ的外接圆半径为Ｒ .由三角形外心性质知∠ＢＯＣ =2∠Ａ =12 0° .由垂心性质知∠ＢＨＣ =180° -∠Ａ =12 0° .所以 ,Ｂ、Ｃ、Ｈ、Ｏ四点共圆 .由… 相似文献