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对于三角形中形形色色的不等式证明,常常利用下面的变量代换方法,把几何不等式化为代数不等式。三角形总存在内切圆,设△ABC的内切圆分别切BC,CA,AB于D,E,F.记AE=AF=x,BD=BF=y,CD=CE=z 则{a=y z, b=z x,c=x y (x,y,z>0) ① 相似文献
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<正>对边长分别为a、b、c的△ABC来说,必然存在一个内切圆O与边BC、CA、AB分别切于点D、E、F.记BD=BF=x,CD=CE=y,AE=AF=z,则有a=x+y,b=y+z,c=z+x.①由①,并结合三角形半周长和面积公式不难得到 相似文献
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如图,△ABC的最边长为AB,圆O是内切圆,切点分别是D、E、F．△ABC是直角三角形←→SABC=AF·BF．
证明：设AE=AF=x,BF=BD=y,CD=CE=z,p=1／2（AB＋BC＋CA）=x＋y＋z． 相似文献
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公式１如图１，△ABC的内切圆I分别切BC、AC、AB于D、E、F，若BC＝a，CA＝b，AB＝c，则AE＝AF＝１２（b＋c－a），BF＝BD＝１２（a＋c－b），CD＝CE＝１２（a＋b－c）．证明：由切线长定理知，AE＝AF，BD＝BF，CD＝CE．∴AE＋AF＝（AB＋AC）－（BF＋CE）＝（AB＋AC）－（BD＋CD）＝c＋b－a．∴AE＝AF＝１２（b＋c－a）．同理可得另外两个公式．公式２△ABC的三边长分别为a、b、c，其面积为S，内切圆半径为r，则r＝２Sa＋b＋c．证明：如图２，连结IA、IB、IC．则S＝S△ACI＋S△BCI＋S△IAB＝１２r·AC… 相似文献
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公式1 △ABC中,∠C=90°,BC=a,AC=b,AB=c,内切圆半径为r,则r=1/2(a b-c). 证明:如图1,⊙o内切于△ABC,D、F、E为切点.由切线长定理知:AF=AE.CE=CD,BF=BD. ∴a b-c=(BD DC) (AE EC) -(AF BF) =2CE=2r. 相似文献
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关于分周线的三个定理 总被引：5，自引：3，他引：2
首先,把平分三角形周长的直线叫做三角形的分周线.如图1,在△ABC中,设BC=a,CA=b,AB=c,周长为2p,直线l与AB、AC交于D、E,且有AD AE=BD BC CE=a b c/2=p,则直线l是△ABC 相似文献
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众所周知,三角形有重心、垂心、内心、外心、旁心及费尔马点等特殊点,这里我们将介绍三角形的一个特殊点集。 定理1 以△ABC三边为底向形外（或形内）作三个相似等腰三角形ABD、BCE、CAF,则AE、BF、CD三线共点。（如图） 证明 分三种情况考虑,并设向形外作的三个相似等腰三角形的底角为α。 (1)当α趋于0时,则三个相似等腰三角形的顶点D、E、F分别趋于AB、BC、CA的中点,所以,当α=0时,D、E、F是AB、BC、CA的中点,由重心定理可知AE、BF、CD三线共点。 (2)当α趋于π/2时,则AD与BD、BE与CE、AF与CF趋于平行,则CD与AD、BD;BF与AF、CF;AE与BE、CE也各趋于平行。所以当α=π/2时,CD∥AD∥BD,BF∥AF∥CF,AE∥BE∥CE,(D、E、F为无穷远点)所以此时CD⊥AB、BF⊥AC、AE⊥BC,由垂心定理可知CD、BF、AE三线共点。 相似文献
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周界中点三角形的三个性质 总被引：1，自引：0，他引：1
笔者从周界中点三角形的边长、面积、周界中线长三方面进行研究,便得到了周界中点三角形的三个有趣的几何性质.引理若D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB上的周界中点,且BC=a,CA=b,AB=c,1()p=2a b c,则有:AE=BD=p?c,AF=CD=p?b,BF=CE=p?a.(证明省略)定理1若EF=a1,FD=b1,DE=c1,△ABC的外接圆、内切圆半径分别为R、r则有:2221a2R∑a?a=r.证明由引理知AE=p?c,AF=p?b,在△AEF中,EF2=AE2 AF2?2AE?AF?cos A,即222a1=(p?c) (p?b)?2(p?c)(p?b)cosA=[(p?c) (p?b)]2?2(p?b)(p?c)(1 cos A)222(2)22()()(1)2p b c p b p cb c abc… 相似文献
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《中等数学》83年6期有篇文章讲“角参数法”证题,右时也可用线段参数法证题。 例1.AD为△ABC中线,求证:AD册,=沁2一ai).(“中代数第四2 C6页).证作AE土直线BC于E,则EBAE、:。分别等于今+‘或!鲁 ‘.自2=AD“一tZ,由勾股定理:设E刀二t,一{,bZ+eZ=ADZ一tZ+(旦+t)+ADZ一t艺+(旦一,、2、艺-.’.AD2 1,_。=二(b‘+C‘一 之万)a2例2.△ABC内切圆I切各边于D、E、F(如图),且AC·BC=ZAD·DB,求证:AC土BC. 证如图,设参数劣、 (x+z)(之+女)=2劣y、:,则y‘巴解出:=李 艺(亿(劣+y)“+4劣夕一(劣+夕)),那么 AB+BC+CA=AB+BD+CE … 相似文献
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线段的定比分点公式,如图1,在梯形ABCD中,EF// BC,AE/五B~几,AD一泛,BC一b,则EF~(a 久b)/(l十幻. S△。忍F 由例1到S△D:: 例2_一一一一卫些止一一一.、一(a b)(占 e)(c a)一△”。。AD的结论,利用基本不等式,很容易得镇奇“△AB二A ED 盆C ‘盏C工一迁A入||犷奖卜必D 谈B如图4,已知AD、BE、CF是△ABC的三条高,垂足分别是D、E、F,则BL M NC~2{eosAeosBeosC). △一△S一S D A-一2 图l图2 根据上述公式,我们可得到面积的定比分点公式,四边形ABCD中,E是AD上任一点,AE/ED~又,则 S△E二一(S△A犷 沼△DBc)/(l十劝.… 相似文献
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复习高中数学时有这样一道习题 :设 ABDC为一正方形 (图 1),其边长为 a,E、 F分别是 CD和 BD的中点 ,对其作几何变形 :分别沿 EF、 AE和 AF折起 ,使 B、 C与 D重合于一点 ,求所得几何体之 1.高 ;2.全面积 ;3.体积。 解 :按题设要求 ,变形后的几何体应为 (图 2)的一三棱锥 ,它实际上是一个底面为等腰直角三角形的直三棱锥。证明过程如下 : 由 ABDC为正方形 ,其边长为 a AB=BD=DC=CA=a 又 :E是 CD之中点 CE=ED=, F是 BD之中点 BF=FD=, 将其变形后使 C、 D、 B合成为一点其结果是 CE与 ED,BF… 相似文献
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《时代数学学习》1999,(2)
一、选择题(本题满分40分,每小题5分)1,下列各组二次根式中,属于同类二次根式的是(概,、磨福,押已知AD是00的直径,A刀土BC,AB、AC分别与圆相交于E、F(如图),那么下列等式中一定成立的是().(A)AE oBE一AF.CF(B)AEoAB一AO.AD‘(C)AE oAB一AFoAC(D)AE·AF一AO·AD如果一条直线l经过不同的三点A(a,b)、B(b,a)、C(a一b,b一a),那么直线l经过().(A)第二、四象限(B)第一、二、三象限(C)第二、三、四象限(D)第一、三、四象限如图,00的半径为2,00内的一点P到圆心O的距离为1,过点P的弦AB与劣弧AB组成一个弓刀C(第2题)形,则此… 相似文献
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一、原题如图,(?)O 是ΔABC 的内切圆,切点分别为 D、E、F,设ΔABC 的周长为 l.求证:AE+BC=1/2l. 证明:连结 OE、OF、OA.∵⊙O是△ABC 的内切圆,E、F 为切点,∴∠AEO=∠AFO=Rt∠.又∵OE=OF,OA=OA,∴△AOE≌△AOF∴AE=AF.同理,BD=BF,CD=CE. 相似文献
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李殿起 《中学课程辅导(初一版)》2004,(Z1)
一、填空题(每小题2分,共20分)1.已知二元一次方程Zx一sy一10,当x一。时,y一;当y一一2时,x一2.用“<”或“>”填空:已知:a相似文献
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九年制义务教育教材(人民教育出版社)((几何》第二册尸二,有这样一题: 题1梯形ABCD中,点E、F分别在腰AB、CD上,EF声AD,AE:EB一m:n,求证:(m n)EF二mBC十nAD. 本文研究题1的多证、引伸及引伸题的应用,从中不难看出此题的教学价值。 一多种证法 证法1连结BD,交EF于G(如图l)丫八D// EF// BC,AEEB EG n GF 万万~石不不’丽-.’.(m n)EG一nAD.(m n)GF二mBC.又.:EF一G尸十EG:’(m n)EF=mBCAD 刀之一—, n 刀忍m十n nAD,AD ,,C F(一H一‘七G曰习 E之 B Fe一\一一图 E递 B 证法2作AG// DC,交BC、EF分别于GH(如图2)… 相似文献
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题目如图1，在ABC中，M是AC边中点，E是AB上一点，且AE，连结EM并延长交BC的延长线于D．求证：BC=2CD．（1994年吉林省中考题）一、过C点作平行线证1如图1，过C点作CF／／AB交ED于F，则易知AMEF．所以证2如图2，过C点作CF斤DE交AB于F．故BC=2CD．二、过E点作平行经证3如图3，过E点作EF／／BD交AC证4如图4，过E点作EF／／AC交BD由（1）、（2），得BC—ZCD．三、过A点作平行线证5如图5，过A点作AF／／ED交BD＿，，。，、＿＿＿。BDBE延长线于F，则于子一三千一3．——””——““’”“DFEA””证6如图6，… 相似文献
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几何证题中,若遇三角形的角平分线以及角平分线的垂线时,常常设法构造等腰三角形来解题,现举例说明. 例l如图1,匕1一乙2,C刀土A刀,BE一CE,求证:(1)DE// AB.(2)DE 1,,~一-二~LJ气Zj 艺证一AC).(1)延长CD交AB于F点.“: 厂~一夕 //BE艺1一乙2,AD土CF,由等腰三角形三线合一知CD一FD,又‘:E为BC中点,…DE// (2)由(1)知DE为△CBF的中位线,AF一图1ABACDE_李BF一 艺AF)一喜(AB 乙AC). 仔叨2AE土CE证:MN-如图2,△ABC中,CE、C尸分别平分乙ACB、艺ACD,于E、AF土CF于F,直线EF交AB、AC于M、N.求1~~一二厂石七.艺 证… 相似文献