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问题 :对于函数 ｆ(ｘ) ,若存在ｘ0 ∈Ｒ ,使ｆ(ｘ0 ) =ｘ0 成立 ,则称ｘ0 为 ｆ(ｘ)的不动点 .如果函数 ｆ(ｘ) =ｘ2 +ａｂｘ-ｃ(ｂ,ｃ∈Ｎ)有且只有两个不动点 0 ,2 ,且ｆ( -2 ) <-12 .( 1 )求函数 ｆ(ｘ)的解析式 ;( 2 )已知各项不为零的数列 {ａｎ}满足4Ｓｎ·ｆ 1ａｎ =1 ,其中Ｓｎ 是数列 {ａｎ}的前ｎ项和 ,求数列通项ａｎ.( 3 )如果数列 {ａｎ}满足ａ1 =4,ａｎ+1 =ｆ(ａｎ) ,求证 :当ｎ≥ 2时 ,恒有ａｎ <3成立 .一、分析与评述( 1 )分析 :由ｆ( 0 ) =0 ,可得ａ=0 ,①又由 ｆ( 2 ) =2可得 ,2ｂ =ｃ+2 ,②再由 ｆ( -2 ) <-12 可得 ,2… 相似文献
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一、填空题 (本大题满分 4 8分 )1 设函数 ｆ(ｘ) =2 -ｘ,ｌｏｇ81ｘ , ｘ∈ ( -∞ ,1 ]ｘ∈ ( 1 , ∞ ) 则满足 ｆ(ｘ) =14 的ｘ值为 .2 设数列 {ａｎ}的通项为ａｎ=2ｎ -7(ｎ∈Ｎ) ,则|ａ1| |ａ2 | … |ａ15| = .3 设Ｐ为双曲线ｘ24 -ｙ2 =1上一动点 ,Ｏ为坐标原点 ,Ｍ为线段ＯＰ的中点 ,则点Ｍ的轨迹方程是 .4 设集合Ａ ={ｘ| 2ｌｇｘ =ｌｇ( 8ｘ -1 5 ) ,ｘ∈Ｒ} ,Ｂ={ｘ|ｃｏｓ ｘ2 >0 ,ｘ∈Ｒ} ,则Ａ∩Ｂ的元素个数为 个 .5 抛物线ｘ2 -4 ｙ -3=0的焦点坐标为 .6 设数列 {ａｎ}是公比… 相似文献
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《中学生理科月刊》2002,(8)
题 1 设实数ｍ、ｎ分别满足ｍ2 +99ｍ +5 =0 ,5ｎ2+99ｎ +1 =0 ,且ｍｎ≠ 1 .求 ｍｎ+1 4ｎ +1ｍ 的值 . 解 (构造一元二次方程 )∵ ｎ≠ 0 ,∴ 1ｎ2 +991ｎ +5 =0 .又ｍ2 +99ｍ +5 =0 ,且ｍｎ≠1 ,∴ 1ｎ,ｍ是一元二次方程ｘ2 +99ｘ+5 =0的两相异实根 .∴ 1ｎ+ｍ =- 99,ｍｎ =5 .∴ ｍｎ+1 =- 99ｎ,ｍ =5ｎ.故 ｍｎ+1 4ｎ +1ｍ =- 99ｎ +1 4ｎ5ｎ =- 1 7.(四川 侯国兴提供 )题 2 已知正整数ｘ、ｙ满足ｘｙ+ｘ+ｙ =71 ,ｘ2 ｙ +ｘｙ2 =880 .求ｘ2 +ｙ2 的值 . 解 由 ｘｙ+ｘ+ｙ=71 ,ｘ2 ｙ +ｘｙ2 =880 ,得ｘｙ+(ｘ+ｙ) =71 … 相似文献
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选择题1 下列各式 :( 1) 2 0 0 1 {ｘ|ｘ≤ 2 0 0 3};( 2 ) 2 0 0 3∈ {ｘ|ｘ <2 0 0 3};( 3) {2 0 0 3} {ｘ|ｘ≤ 20 0 3};( 4)Φ∈ {ｘ|ｘ <2 0 0 3},其中正确式子的个数为 ( )Ａ 1 Ｂ 2 Ｃ 3 Ｄ 42 满足ｆ(π +ｘ) =- ｆ(ｘ) ,ｆ( -ｘ) =ｆ(ｘ)的函数 ｆ(ｘ)可能是 ( )Ａ ｓｉｎｘ Ｂ ｓｉｎ ｘ2 Ｃ ｃｏｓ2ｘ Ｄ ｃｏｓｘ3 若函数 ｆ(ｘ) =ａｘ(ａ >0 ,ａ≠ 1)为减函数 ,那么 ｇ(ｘ) =ｌｏｇ1ａ1ｘ - 1的图象是 ( )Ａ ＢＣ Ｄ4 如果ａ·ｂ =ａ·ｃ且ａ≠ 0 ,那么 ( )Ａ ｂ =… 相似文献
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数列是历届高考的重点 ,在试题中的比重约占总分的 1 0 % .现就近几年高考数列题的速解技巧归结如下 ,供同学们复习参考 .一、巧取特例1 取自然数列ａｎ =ｎ例 1 (1 993年全国高考题 )已知等差数列{ａｎ},公差ｄ >0 ,ａ1 >0 ,Ｓｎ = ｎｉ=11ａｉａｉ 1 ,则ｌｉｍｎ→∞Ｓｎ = .解 特殊数列ａｎ =ｎ满足已知条件 ,这时Ｓｎ =11 · 2 12 · 3 … 1ｎ(ｎ 1 )=(1 -12 ) (12 -13) … (1ｎ-1ｎ 1 )=1 -1ｎ 1 ,故ｌｉｍｎ→∞Ｓｎ =1 .例 2 (1 990年全国高考题 )已知 {ａｎ}是公差不为 0的等差数列 ,如果Ｓｎ 是 {ａｎ}的前ｎ项和… 相似文献
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我们知道 ,已知数列 {ａｎ}的前ｎ项和Ｓｎ,可通过ａｎ =Ｓ1,ｎ =1,Ｓｎ -Ｓｎ- 1,ｎ≥ 2 .求出ａｎ.这种往前作差的方法尽管朴实 ,但反映的思想却极其深刻 ,不妨称之为往前作差 (商 )法 .它在解决数列问题中有着广泛而有效的应用 ,本文举例说明之 .1 求数列通项对数列递推式往前作差 (商 ) ,往往能发现数列的本质 ,继而顺利地求出数列通项 .例 1 设数列 {ａｎ}中 ,ａ1=1,ａ2 =2 ,ａｎ+1+ａｎ=3ｎ(ｎ =1,2 ,… ) ,求ａｎ.分析 将ｎ - 1代入ａｎ+1+ａｎ =3ｎ ,得ａｎ+ａｎ- 1=3(ｎ- 1) (ｎ≥ 2 ) .两式作差 ,得 ａｎ+1-ａｎ- 1=3.显然数… 相似文献
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与自然数ｎ有关的恒等式ｈ(ｎ) =ｇ(ｎ)的论证通常采用数学归纳法 .但若构造函数ｆ(ｎ) =ｈ(ｎ) -ｇ(ｎ) ,再通过求ｆ(ｎ 1 ) -ｆ(ｎ)的差而获得ｆ(ｎ 1 ) =ｆ(ｎ) =ｆ(1 ) =0 ,就能得到另一种比较好的证明方法 .例 1 已知数列 {ａｎ}的通项公式满足 :ａ1 =ｂ ,ａｎ 1 =ｃａｎ ｄ . (ｃ≠ 0 ,ｃ≠ 1 )求证 :这个数列的通项公式是ａｎ =ｂｃｎ (ｄ-ｂ)ｃｎ- 1 -ｄｃ-1 .证明 :构造函数ｆ(ｎ) =ｂｃｎ (ｄ -ｂ)ｃｎ- 1 -ｄｃ-1 -ａｎ,则ｆ(ｎ 1 ) =ｂｃｎ 1 (ｄ-ｂ)ｃｎ -ｄｃ -1 -ａｎ 1 .∵ａｎ 1 =ｃａｎ ｄ ,∴ｆ(ｎ 1 ) … 相似文献
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一、选择题 (本大题共 1 0小题 ,每小题 5分 ,共50分 ,在每小题给出的 4个选项中只有一项是符合要求的 )1 .设集合Ａ ={ｘ｜ｘ+1 >0 } ,集合Ｂ={ｘ｜ｘ2 -2 <0 } ,则Ａ ∪Ｂ等于 ( ) (Ａ) {ｘ｜ｘ<-1或ｘ>2 } (Ｂ) {ｘ｜-1 <ｘ <2 } (Ｃ) {ｘ｜ｘ>-2 } (Ｄ) {ｘ｜ｘ>-1 }2 .在数列 {ａｎ}中 ,ａ1 =-2 ,2ａｎ+1 =2ａｎ+3 ,则ａ1 1 等于 ( ) (Ａ) 2 72 (Ｂ) 1 0 (Ｃ) 1 3 (Ｄ) 1 93 .已知复数ｚ满足ｚ-3 ｚ=-4+4ｉ,那么复数ｚ的模 ｜ｚ｜等于 ( ) (Ａ) 5 (Ｂ) 5 (Ｃ) 2 (Ｄ) 74.已知… 相似文献
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一、选择题 (每小题 5分 ,共 6 0分 )1 .设集合Ｐ ={1 ,2 },则满足Ｍ∪Ｐ {1 ,2 ,3}的集合Ｍ的个数是 ( ) .(Ａ) 1 (Ｂ) 4 (Ｃ) 7 (Ｄ) 82 .如果ｆ(ｘ)满足ｆ(ｘ 2 ) =ｆ(ｘ) (ｘ∈Ｒ) ,且当 -1 ≤ｘ≤ 1时ｆ(ｘ) =ｘ2 3,则当ｘ∈〔2ｎ-1 ,2ｎ 1 ) ,(ｎ∈Ｚ)时 ,函数的表达式是 ( ) .(Ａ)ｘ2 -4ｎｘ 4ｎ2 3(Ｂ)ｘ2 4ｎｘ 4ｎ2 3(Ｃ)ｘ2 -4ｎｘ 4ｎ2 1(Ｄ)ｘ2 4ｎｘ 4ｎ2 13.已知ｆ(ｘ)是奇函数 ,ｇ(ｘ)是偶函数 ,且ｆ(ｘ) -ｇ(ｘ) =ｘ2 2ｘ 3,则ｆ(ｘ) ｇ(ｘ)等于 ( ) .(Ａ)ｘ2 2ｘ 3 … 相似文献
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王连笑 《中学生数理化(高中版)》2003,(2):32-33
一、选择题 :1.已知函数ｆ(ｘ) =ｘ2 - 2ｍｘ +4 +2ｍ的定义域是Ｒ ,值域是 [1,+∞ ) ,则实数ｍ的集合为 ( ) .Ａ .{ｍ|- 1≤ｍ≤ 3} Ｂ .{ｍ|1- 5<ｍ <5}Ｃ .{- 1,3} Ｄ .{ｍ|ｍ <1或ｍ >3}2 .要使函数 ｆ(ｘ) =ａｘ2 +(ａ - 6 )ｘ +2对一切正整数ｘ都取正值 ,其充要条件是 ( ) .Ａ .ａ =3 Ｂ .2 <ａ <18 Ｃ .ａ >2 Ｄ .以上都不对3.对每一对实数ｘ ,ｙ,函数 ｆ(ｘ)满足 ｆ(ｘ +ｙ) - ｆ(ｘ) -ｆ( ｙ) =ｘｙ +1,且ｆ( 1) =1,那么满足ｆ(ｎ) =ｎ(ｎ≠ 1)的整数ｎ的个数共有 ( )个 .Ａ .0 Ｂ .1 Ｃ .2 … 相似文献
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一、选择题 :(本大题 12小题 ,每小题 5分 ,共 6 0分 ,每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 )1.已知集合Ａ ={ｙ｜ｙ =ｌｏｇｘ2 ,ｘ >1},Ｂ ={ｙ｜ ｙ =( 12 ) ｘ ,ｘ >1},则Ａ ∪Ｂ等于 ( )Ａ .{ｙ｜ 0 <ｙ<12 } Ｂ{ｙ｜ ｙ >0 }Ｃ .ΦＤ .Ｒ2 .下列函数中 ,同时具有性质 :①图象过点 ( 0 ,1) ;②在区间 ( 0 ,+∞ )上是减函数 ;③是偶函数 ,这样的函数是 ( )Ａ .ｆ(ｘ) =ｘ2 Ｂ .ｆ(ｘ) =ｌｏｇ2 ( ｜ｘ｜+2 )Ｃ .ｆ(ｘ) =( 12 ) ｜ｘ｜ Ｄ .ｆ(ｘ) =2 ｜ｘ｜2 (新 )下列导数正确的是 ( )Ａ .(ｘ +1ｘ)′ =… 相似文献
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韩永强 《中学生数理化(高中版)》2003,(Z1)
由ｆ(ｍ+ｘ)=±ｆ(ｎ±ｘ)来判断抽象函数ｙ=ｆ(ｘ)的周期性或对称性的情况,这类问题可说是随处可见.那么,孰断周期,孰断对称?下面总结四种类型:类型一:由“ｆ(ｍ+ｘ)=ｆ(ｎ+ｘ)”可判断周期性定理1 定义在Ｒ上的函数ｙ=ｆ(ｘ),对于任给的ｘ∈Ｒ,若有ｆ(ｍ+ｘ)=ｆ(ｎ+ｘ)成立(其中ｍ、ｎ为常数,且ｍ≠ｎ),则函数ｙ=ｆ(ｘ)为周期函数,Ｔ=ｎ-ｍ为函数ｆ(ｘ)的一个周期(也可以说Ｔ=ｍ-ｎ).分析:此类情况属显性周期,即由周期函数定义可迅速获得上述结论.证明:由已知ｆ(ｍ+ｘ)=ｆ(ｎ+ｘ)对于ｘ∈Ｒ均成立,故ｆ[(ｎ-ｍ)+ｘ]=ｆ[ｎ+(ｘ-ｍ)]=ｆ[ｍ… 相似文献
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题目 设ａ0 为常数 ,且ａｎ =3ｎ-1 - 2ａｎ-1 (ｎ ∈Ｎ+ )(Ⅰ )证明对任意ｎ ≥ 1,ａｎ =15[3ｎ+ ( - 1) ｎ-1 · 2 ｎ] + ( - 1) ｎ· 2 ｎ·ａ0 ;(Ⅱ )假设对于任意ｎ ≥ 1有ａｎ >ａｎ-1 ,求ａ0 的取值范围试题是根据新教材数列一章中的一道习题设计的 ,情境新颖 ,背景公平 ,是一道具有一定创新能力的试题 .下面利用递推关系 ,给出如下解法 :Ⅰ )由ａｎ =3ｎ-1 - 2ａｎ-1 ,所以ａｎ+λ· 3ｎ =3ｎ-1 +λ· 3ｎ - 2ａｎ-1 =-2 (ａｎ-1 - 3λ + 12 · 3ｎ-1 )要使 {ａｎ +λ· 3ｎ}成等比数列 ,必须且只须λ=- 3λ+ 12 所以λ =- 15.即 {… 相似文献
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函数是初中数学的重要内容 ,也是中考命题的热点 ,特别是两个函数的综合问题更显重要 .现结合中考试题进行分析 ,供参考 .图 1例 1 如图 1,双曲线ｙ =ｋｘ与直线ｙ =-ｘ -ｋ相交于Ａ ,过Ａ作ｘ轴的垂线ＡＢ (Ｂ是垂足 ) .如果Ｓ△ＡＢＯ=2 ,求 :( 1)两个函数的解析式 ;( 2 )Ｓ△ＡＢＣ.( 1998年甘肃省中考题 )解 ( 1)由Ｓ△ＡＢＯ=2知 ,|ｋ|=|ｘｙ|=4.又ｋ <0 ,∴ ｋ =-4 .∴ 双曲线的解析式为ｙ =-4ｘ,直线的解析式为ｙ =-ｘ +4.( 2 )由方程组 ｙ =-4ｘ,ｙ =-ｘ +4,得Ａ( 2 -2 2 ,2 +2 2 ) .又Ｃ( 4 ,0 ) ,Ｂ( 2 -2 2 ,0 ) ,∴ ＢＣ … 相似文献
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在中学阶段经常遇见以下数列求和问题 :(1) 1+2 0 +30 0 +… +ｎ× 10 ｎ-1;(2 ) 1+3× 2 +5 × 2 2 +7× 2 3 +… +(2ｎ- 1) ·2 ｎ-1.上述数列是由一个等差数列 {ａ +(ｎ- 1)ｄ}和等比数列 {ｂｑｎ-1}相应的项相乘而得到的混合数列 { [ａ+(ｎ - 1)ｄ]·ｂｑｎ-1} ,通常采用“错位相减法”进行计算 .为了加强对其解题思路的理解 ,有必要进行一般性探讨 .因为数列通项ｕｎ=[ａ+(ｎ - 1)ｄ]·ｂｑｎ-1=[ａｂ+(ｎ - 1)ｂｄ]ｑｎ-1,为简单起见 ,不妨设此混合数列为ａ1,ａ2 ｑ,ａ3 ｑ2 ,… ,ａｎｑｎ-1,其中ａｎ-ａｎ-1=ｄ(ｎ>1) ,那么上述求和… 相似文献
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先看下面的一道题 :等差数列 {ａｎ}中 ,公差ｄ是正整数 ,等比数列{ｂｎ}中 ,ｂ1=ａ1,ｂ2 =ａ2 ,现有选项数据 : 2 ; 3; 4 ; 5。当 {ｂｎ}中所有的项都是数列 {ａｎ}中的项时 ,ｄ可以取。 (填上你认为正确的选项 )。(注 :本文中所提到的数列均指无穷数列 )《中学数学教学参考》2 0 0 1年第 1— 2期上给出这道题的答案是选 , 。其实 ,ｄ可否取某一数据取决于能否找到满足条件的等差数列。对于 ,取等差数列ａｎ=2ｎ -1 ;对于 ,取等差数列ａｎ=3ｎ -2 ;对于 ,取等差数列ａｎ=4ｎ -3;对于 ,取等差数列ａｎ=5ｎ -4。分别利用二项式定理可证 … 相似文献
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《中学数学教学参考》2001,(3)
一、选择题 :本大题共 12小题 ,每小题 5分 ,共 60分 .在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 .( 1)集合Ｍ ={1,2 ,3 ,4 ,5}的子集个数是 ( ) .Ａ .32 Ｂ .31 Ｃ .16 Ｄ .15( 2 )函数ｆ(ｘ) =ａｘ(ａ >0且ａ≠ 1)对于任意的实数ｘ ,ｙ都有 ( ) .Ａ .ｆ(ｘｙ) =ｆ(ｘ) ｆ( ｙ)Ｂ .ｆ(ｘｙ) =ｆ(ｘ) ｆ( ｙ)Ｃ .ｆ(ｘ ｙ) =ｆ(ｘ) ｆ(ｙ)Ｄ .ｆ(ｘ ｙ) =ｆ(ｘ) ｆ(ｙ)( 3)ｌｉｍｎ→∞Ｃｎ2ｎＣｎ 1 2ｎ 2=( ) .Ａ .0 Ｂ .2 Ｃ .12 Ｄ .14( 4 )函数ｙ =- 1-ｘ (ｘ≤ 1)的反函数是( )… 相似文献
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刘习贤 《长江工程职业技术学院学报》2000,(4)
在高等数学的学习中 ,对于数列的敛散性 ,探讨得比较多的是常数项数列和一些简单函数项数列的敛散性。本文试图用比较初等的审敛法对特殊形式的幂指函数项数列的敛散性作一些初步的探讨。如 :ｘ ,ｘｘ,ｘｘｘ,……… ,亦即 :ｆ1(ｘ) =ｘ ,ｆ2 (ｘ)=ｘｆ1 (ｘ) ,…… ,ｆｎ +1(ｘ) =ｘｆｎ(ｘ) 所定义的幂指函数项数列。其中ｘ是正数。当ｘ >1时 ,由于该数列是单增的 ,对于其敛散性很易使人作出错误判断。本文通过探讨 ,证明确有某些ｘ >1,使得数列 { ｆｎ(ｘ) }收敛。命题 1.如果有正数ｘ使得数列 { ｆｎ(ｘ) }收敛 ,则ｘ≤ｅ1/ｅ。证明 :设… 相似文献
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我们知道数列的通项ａｎ 是下标ｎ的函数 ,即ａｎ=ｆ(ｎ) ,其实义域为Ｎ 或它的有限子集 {1,2 ,… ,ｎ}.这就是说数列是自变量取正整数的一种特殊函数 (即整标函数 ) .因此可以利用函数的知识、性质、方法确定数列的问题 .利用函数知识解决数列问题有两种方式 :一种是直接利用函数的知识解决数列问题 ,一种是把数列的通项ａｎ 即ｆ(ｎ)的自变量 (即下标ｎ)的范围换成实数集Ｒ ,先在实数范围内研究函数ａｘ(即 ｆ(ｘ) )的问题 ,再在正整数范围内考察ａｎ 的问题 .下面从三个方面的举例说明 .1 利用一次函数的“线性”性质 ,解决数列问题若一… 相似文献
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20 0 2年高考有一道数学题为 :已知ａ >0 ,函数 ｆ(ｘ) =ａｘ -ｂｘ2 .(1)当ｂ >0时 ,若对任意ｘ∈Ｒ ,都有ｆ(ｘ) ≤ 1,证明 :ａ≤ 2ｂ ;(2 )当ｂ >1时 ,证明 :对任意ｘ∈ [0 ,1],｜ｆ(ｘ)｜≤ 1的充要条件是ｂ- 1≤ａ≤ 2 ｂ ;(3)当 0 <ｂ≤ 1时 ,讨论 :对任意ｘ∈[0 ,1],｜ｆ(ｘ)｜≤ 1的充要条件 .绝大多数考生做此题时无所适从 ,根本不知从何下手 ,参考答案给出的方法比较抽象 ,难于理解 ,笔者有一解法 ,介绍如下 :解 (1)由已知ａｘ -ｂｘ2 ≤ 1,∴ ｂｘ2 -ａｘ +1≥ 0 .∵ ｘ∈Ｒ ,ｂ >0 ,∴ Δ =ａ2 - 4ｂ≤ 0 ,∴ ａ≤ 2 ｂ .… 相似文献