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1.
文[1]给出了关于三角形中线的一个不等式,即“在△ABC中,成立不等式 ab/m_am_b+bc/m_bm_c+ca/m_cm_a≥4,等号当且仅当△ABC为正三角形时成立。”下面利用上述结论证明文[2]中的一个几何不等式。题目设△ABC的重心为G,AG,BG,CG的延长线分别交三边BC,CA,AB于D,E,F,交△ABC的外接圆于A′,B′,C′,求证: A′D/DA+B′E/EB+C′F/FC≥1, 证明:设BC=a,CA=b,AB=c,AD=m_a,BE=m_b,CF=m_c。 相似文献
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在△ABC中,有不等式cos^2A＋cos^2B＋cos^2 C≥3/4^[1]等号成立当且仅当△ABC为正三角形． 相似文献
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文[1]给出了如下不等式:在△ABC中,有cosA.cos~2B/2cos~3C/3≤27/64①.经类比探究,笔者得到了一个上述不等式的"姊妹不等式":在△ABC中,有sinAsin~2B/2sin~3C/3≤1/64②,当A=B/2=C/3时等号成立.证明∵sinAsinB/2=-1/2[cos(A+b/2)-cos(A-B/2] 相似文献
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第32届IMO第一题是: 已知△ABC,设I是它的内心,角A,B,C的内角平分线分别交其对边于A’,B’,C′。求证: 1/4∠AI·BI·CI/AA′·BB′·CC′≤8/27 本题可作如下推广命题1 已知I是△ABC内的任一点,直线AI,BI,CI分别交BC,CA,AB于 A′,B′,C′,则 (1) AI·BI·CI/AA′·BB′·CC′≤8/27,其中等号当且仅当△ABC为正三角形时成立 (2)当I位于以△ABC的中位线为边的△DEF内时,AI·BI·CI/AA′·BB′·CC′≥1/4, 相似文献
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三个新发现的三角不等式 总被引：2，自引：0，他引：2
宋庆 《中学数学教学参考》1995,(11)
在△ABC中,有不等式:sinA/2sinBsinC≤2(3~(1/2))/9,等号成立当且仅当B=C=arccos3~(1/2)/3; 相似文献
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本文设定:a、b、c为△ABC的边长;?、p分别为△ABC的面积和半周长;R、r分别为△ABC的外接圆的半径和内切圆的半径;d=R2?2Rr;∑表示循环和.所谓Finsler-Hadwiger不等式,即43? ∑(a?b)2≤∑a2≤43? 3∑(a?b)2.(1)当且仅当a=b=c时不等式(1)等号成立.本文将不等式(1)改进为:·24·43? 4∑(a?b)2/3≤∑a2≤43? 14∑(a?b)2/9.(2)当且仅当a=b=c时不等式(2)等号成立.先看下面的定理条件如文前设定,则有43? λ∑(a?b)2≤∑a2≤43? μ∑(a?b)2.(3)式中λ=1 2B2/((4R r)(4R r 3B2)),μ=1 2(2R?r 2d)/(4R r 3B1).其中B1=2R2 10Rr?r2?2(R?2r)d,2… 相似文献
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命题:△ABC的外接圆半径R与内切圆半径间成立不等式:R≥2r。证:(见原文图)过△ABC的顶点作对边的平行线,三直线围成△A′B′C′,则△ABC∽△A′B′C′,K=AB/A′B′=1/2。作外接圆的三条切线,分别平行于△A′B′C′的三边,围成△A″B″C″,(使△ABC的外接圆在为△A″B″C″的内切圆),△ABC∽△A″B″C″、 相似文献
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题目:已知a、b、c是锐角三角形ABC的三个内角A、B、C所对的三边,tg1/2A=tg~3 1/2 C,sinBcosC=sin(C-B),并且a、b、c、成等比数列,试证明△ABC是正三角形。有一本书给出的解答提示如下:“先由已知条件和A+B+C=π导出B=1/3π,再由余弦定理证明 a=c,则△ABC是正三角形”。其实,这道题是不妥的。为了便于分析,笔者根据以上提示猜测其证明过程为: 由已知 sinB·cosC=sin(C-B) 得 sinB·cosC=sinCcosB-cosCsinB化简得 2sniB·cosC=sinC·cosB ① 相似文献
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在△ABC中,不等式:sinA/2·sinB/2·sinC/2≤1/8(等号只在正三角形中成立)即三角形三内角之半的正弦积不大于1/8。兹将几种证法罗列如下。为了方便,记y=sinA/2·sinB/2·sinC/2,A、B、C和a、b、c分别表示△ABC的三内角和三边长,sinA/2、sinB/2、sinC/2均为正数。下不一一赘述。 相似文献
11.
设△ABC的垂心H、内心I、重心G、外心O到三边的距离之和分别为∑HD_1,∑ID_2,∑GD_3,∑OD_4,我们有 以上不等式链中,①对锐角△ABC成立,而②,③对任意△ABC成立(等号当且仅当△ABC为正三角形时成立). 证明:设R、r与s分别为△ABC的外接圆、内切圆半径与半周长,则有 相似文献
12.
冯仕虎 《中学数学研究(江西师大)》2009,(9):18-19
有这样一个三角形不等式：在△ABC中,恒有sinA＋sinB＋sinC≤3/2√3,并且,当且仅当A=B=C=π/3时,取等号． 相似文献
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本刊86年第4期介绍下列不等式的证明方法: 设△ABC的内切圆O分别切各边于A′,B′,C′,则s△A′B′C′≤1/4S△ABC. (当且仅当a=b=c时等号成立) (1) 这里介绍一个更一般的征法. 相似文献
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几个新的三角形不等式 总被引：1，自引：1，他引：0
最近,笔者在研究三角形的内心及它的性质时,发现以下几个不等式：定理在△ABC中,设I是它的内心,a,b,c分别是＜A,＜B,＜C的对边,R是△ABC的外接圆半径．则有当且仅当△ABC为正三角形时,（1）～（3）式等号成立．由柯西不等式,得（AI＋BI＋CI）2两边开方即得不等式（1）．将以上三式相加,并利用均值不等式,得故不等式（3）成立．当且仅当凸ABC为正三角形时,（1）～（3）式等号成立．几个新的三角形不等式@贾玉友$江苏省新沂市教师进修学校!2241001贺才田.不等式“a3 b3 c3≥3abc”的再一次加强.中学教学(苏州),1996,3… 相似文献
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定理在△ABC中,有 二A‘二B5 In“一又,十sln“二,十sln“ 乙乙C2/3乏二.—SeC 一4B一CC一AA一B 2 sec 2 secZ(l)当且仅当△ABC为正三角形时等号成立, 证明由三角恒等式 .。A二。B.。C ZR一r sin艺一于+sinz于~+sinz任,~二气不‘, 2’‘”‘’2’一“‘2 ZR和 B一CC一AA一B se“一Zse“乞“eCZ 8R2’ 一夕+ZRr十尸,不等式(l)等价于2尺一r 2R/3乏之、—. 一4即S,簇12R”ZR一r 8R252+ZRr+尸‘ZRr一r2.(2)由Gerretsen不等式S’镇4R,+4Rr+3r,,要证(2)式只需证 4R,+4Rr十3r2一12R,一,乏泛下二石;—一乙1(r一厂. 艺1(一r即… 相似文献
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1991年3月,重庆第117中学何德岳老师发现了一个新的几何不等式:在△ABC中,有: sin~2 A/2+sin~2B/2+sin~2C/2 ≤1/4 3~(1/2)etg A/2etg B/2etg C/2etg.(1) 1992年10月,宁波大学陈计先生得到不等式(1)的一个加强形式:在△ABC中,有: 相似文献
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魏烈斌 《中学数学研究(江西师大)》2006,(9):17-19
在△ABC 中,记 f(A,B,C)=∑cosAcosB=cosAcosB cosBcosC cosCcosA,g(A,B,C)=∑sinAsinB=sinAsinB sinBsinC sinCsinA,本文给出关于 f(A,B,C)及 g(A,B,C)的几个不等式.命题1 (1)若△ABC 为锐角三角形,则f(A,B,C)≤3/4.当且仅当△ABC 为正三角形时 f(A,B,c)=3/4. 相似文献
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安振平 《中学数学教学参考》1994,(5)
1983年,笔者曾在大学毕业论文中证得 定理 设x,y,z∈R~ ,则在△ABC和△A′B′C′中,有式中等号当且仅当△ABC∽△A′B′C′且x:sin2A=y:sin2B=z:sin2C时成立. 在通用符号下,①式可变形或特殊化为 其中λ,μ,u∈R~ .由①～⑤式可推出外森比克不等式、费-哈不等式、高灵不等式、纽贝格-匹多不等式及一系列结果,这些在文[1]、[2]、[3]中曾作过讨论。下面再给出几个新的结果。 相似文献
20.
在△ABC中,设△ABC的面积为S,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则有下列不等式链:a^2+b^2+c^2≥bc+ca+ab≥4√3S.①类比此不等式,文[1]得到一个类似不等式:a^2 sinA/2+b^2 sinB/2+c^2 sin C/2≥bcsin A/2+ca sin B/2+ab sin C/2≥2√3S. 相似文献