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《数学通讯》1984年第5期给出了1983年瑞士奥林匹克数学竞赛试题及解答,其中第二题是: 设a、B、c为正数,试证明: abc≥(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c) (1) 文中应用三角形边及角的三角函数关系给出它的 相似文献
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郑剑晖 《中学数学研究(江西师大)》2024,(2):61-64
<正>题目(2006年法国数学奥林匹克国家队选拔题)已知a,b,c是正实数,且abc=1,证明:■本题内涵丰富,由之可得到一些有用的结论,并进一步变换出一系列数学竞赛试题和数学问题． 相似文献
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魏定波 《中学数学研究(江西师大)》2013,(3)
题目 已知正实数a,b,c满足abc=1,证明:1/a5(b+2c)2+1/b5(c+2a)2+1/c2(a+2b≥1/3.
这是2010年美国国家队选拔考试第二题,刊在《中等数学》2012年第8期上,参考答案上通过构造两个和式,连续二次运用柯西不等式进行证明,显得有些繁琐,本题其实可以利用基本不等式得到简捷证明. 相似文献
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<正>赛题(第三届北方数学奥林匹克邀请赛试题以下简称"赛题")已知ΔABC的三边长为a,b,c且满足a+b+c=3,求f(a,b,c)=a2+b2+c2+4/3abc的最小值.问题(《数学通报》问题1830以下简称"问题")已知a,b,c>0,且a+b+c=2,证明 相似文献
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文献[1]通过对一些数学奥林匹克不等式试题的分析,发现一些不等式的共同背景,即在"p,q,r为正实数,且p2+q2+r2+2pqr=1"的条件下证明某个不等式,得出了该条件下的5条性质,并应用这些结论来证明有关条件不等式.性质设p,q,r为正实数,且p2+q2+r2+2pqr=1,则 相似文献
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<正>本文从一道2021年中科大不等式强基题入手,逐步展开均值不等式与联赛中的一些应用,然后给出试题的一般性结论和变式拓展,希望给读者带来学习与借鉴．1．试题呈现已知正实数a,b,c满足a+b+c=1,求a2+b2+c2+2abc的取值范围．2试题解法探究解:不妨设S=a2+b2+c2+2abc,由(a+b+c)2=a2+b2+c2+2 (ab+bc+ca),结合已知条件可得S=1-2(ab+bc+ca)+2abc=1+2ab (c-1)-c(a+b)=1+2ab(c-1)-c(1-c), 相似文献
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本文旨在对常见于中学数学期刊的一些代数不等式进行广泛深入的讨论．命题1已知a,b为满足a b=1的正数,求证:(1/a~3-a~2)(1/b~3-b~2)≥((31)/4)~2．这是《中学数学教学参考》编辑部举办的第二届数学智能通讯赛中的一道试题,原证明用 相似文献
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正Pham Kim Hung不等式:设a,b,c≥0,a+b+c=2,证明:a~2b~2+b~2c2+c~2a~2+abc≤1①.当且仅当a=b=1,c=0及其循环排列时等号成立.这是Pham Kim Hung在《不等式的秘密》(第一卷)中提到并证明的一个有趣的不等式,文[2]将该不等式加强为 相似文献
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李军焰 《中学数学研究(江西师大)》2022,(2):34-37
<正>在一些不等式问题所给出的条件中,"已知正数a,b,c满足abc=a+b+c+2"出现的频率较高.本文首先给出"abc=a+b+c+2"的几个等价形式,然后探究以"abc=a+b+c+2"或它的等价形式为条件的一些不等式问题,最后探究"abc=a+b+c+2"的几何背景,仅供参考. 相似文献
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杨瑞强 《河北理科教学研究》2014,(5):8-10
正对满足条件n∑i=1 xi=k(≥k,≤k)的形如n∑i=1 f(xi)≤M(≥M)(k、M为常数)的条件不等式的证明是中学数学的重点和难点内容之一,通常在竞赛和高考压轴试题中出现.此类试题技巧性较强,学生在短时间内难以解决.下面介绍一种"切线法"(构造切线方程实施放缩)来证明此类条件不等式. 相似文献
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蒋明斌 《中学数学研究(江西师大)》2006,(5):F0004-F0004
2004年中国台湾数学奥林匹克集训营第4题为:设正实数 a,b,c 满足abc≥2~9,证明:1/((1 a)~(1/2)) 1/((1 b)~(1/2)) 1/((1 c)~(1/2))≥(?)(1).文[1]用高等数学的知识作出证明,过程较复杂;文[2]给出了两个简证,其实并不简单.下面用柯西不等式给出一个简证.证明:设 abc=λ~3,a=λ(yz)/x~2,b=λ(zx)/y~2,c=λ 相似文献
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正人们知道,对于任意实数x,y,z,有如下不等式成立:(x+y+z)2≥2(xy+yz+zx).①若令x=ab,y=bc,z=ca,则如上不等式等价于:对于任意实数a,b,c,有不等式.(ab+bc+ca)2≥3abc(a+b+c)②这是一个十分简单的不等式,利用不等式②,却能够给出一些不等式竞赛试题简捷、明快的证法,本文提供一些例子,供读者探究和玩味.例1(2005年台湾竞赛题)设a,b,c是满足abc=1的正 相似文献
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于建业 《中学数学研究(江西师大)》2007,(9):12-13
题目已知a,b为满足a b=1的正数,求证:(1/a~3-a~2)(1/b~3-b~2)≥((31)/4)~2.这是《中学数学教学参考》编辑部举办的第二届数学智能通讯赛中的一道试题,原证明用了31元均值不等式,贵刊文[1]给出了一种简单证法,并提出如下: 相似文献
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拙文《一个代数不等式的几何证法》(见《数学教学通讯》2 0 0 3年第 9期 )证明了不等式x2 +y2 +( x -1) 2 +y2 +x2 +( y -1) 2≥ 22 ( 3 +1) ,1其中 x,y是任意实数 ,罗增儒先生发表了大作《两种解法—两种结果的沟通》(见《数学教学通讯》,2 0 0 4年 1期 ) ,用多种方法非常详尽地对上述不等式进行了证明和研究 ,笔者深受教益 ,今对不等式 1中等号成立的条件补充说明一下 ,可以验证 ,当x =y =3 -36时 ,不等式 1中的等号成立 .以下将不等式 1进行推广 ,叙述为下面的两个命题 .命题 1 设 x,y,z∈ R,则x2 +y2 +z2 +( x -1) 2 +y2 +z2+x2 +( y … 相似文献
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《数学教学通讯》2001年第10期刊发的一篇文章[1]中利用均值不等式巧妙地证明了一类条件不等式.本文借用这篇文章中的例子进一步探讨这类条件不等式的统一背景. 例 1 已知 a,b∈R~+,a+b=1,求证: (1)a2十b2≥1/2;(2)a3十b3≥1/4. 该例中的第(1)个不等式的背景是 2(a2十b2)≥(a十b)2,①不等式(1)只不过是当a+b=1时的特殊情形.显然不等式①对任意实数a和b都是成立的,因此对不等式(1)就没有必要限制a和b为正实数. 不等式①应该说是中学数学里常见的基本不等式之一,在此没有必要给出它的证明.不 相似文献
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向量是高中数学教材新增的内容,它给高中教材注入了活力,为解决数学问题提供了新的工具.对于一些代数问题,若根据题目特点构造相应向量,再利用不等式m·n≤│m││n│来解决,往往比常规解法更灵活、巧妙、简练,也有助于激发学生强烈的求知欲和对新知识的渴求.1证明不等式例1设3/25x≤≤,证明不等式21x 23153219xx? ?<.(2003年全国高中数学联赛试题)证明构造三维向量(8,4,3)m=,13(,,5)2224xxnx= ??,则222(8)(4)(3)15m= =,22213()()(5)2224xxnx= ? ?194=.由mnmn?≤得1384352224xxx? ?? ??19152194≤?<,∴2123153219xxx ? ?<.例2已知,,abc… 相似文献
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刘亚军 《中国校外教育(理论)》2014,(22):110
在普通高中课程标准试验教科书《数学》(不等式选讲)专题介绍了一些重要的不等式(基本不等式、柯西不等式、排序不等式)及其应用。通过一道高考数学中出现的不等式证明试题,从不同角度借助这些不等式对该题进行证明以加深对这些重要不等式数学本质的理解,可提高学生的逻辑思维能力和分析问题能力、解决问题能力。 相似文献
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<正>笔者拜读了杨瑞强老师刊于2012年《数学教学》上的《构造函数证明一类数列和型不等式》一文,笔者认为杨老师方法总结得很到位,只是在实际操作过程中,特别是考试时候的可操作性需要探讨.本文结合平时教学过程中学生遇到这类问题的第一反应,对证明这类形如∑n k=1f(k)相似文献