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1.
根据一次函数的图象及单调性,容易推得如下结论成立:一次函数f(x)=kx+b(k≠0),当x∈[m,n]时,1f(x)>0f(m)>0且f(n)>0;2f(x)<0f(m)<0且f(n)<0;3f(x)=0f(m)f(n)≤0.有些数学问题,可根据题意转化为关于某一变量的一次函数,应用上述结论求解,简捷、明了.例1对于满足0≤p≤4的一切实数,不等式x2+px>4x+p-3恒成立,试求实数x的取值范围.解:不等式x2+px>4x+p-3即(x-1)p+x2-4x+3>0令f(p)=(x-1)p+x2-4x+3视它为关于p的一次函数,显然x≠1.由于0≤p≤4,所以由f(p)>0恒成立可得f(0)>0且f(4)>0,即f(0)=x2-4x+3>0f(4)=4(x-1)+x2-4x+3>0.解之得x<-1或x>3.例2… 相似文献
2.
在数学解题中经常碰到有关恒成立问题 ,解决这类问题的方法尽管很多 ,但都离不开一些基本的数学思想 ,如化归思想、函数思想、方程思想等等 .笔者在平时的教学过程中对这类问题的解法作了一点归纳 ,供大家参考 .一、利用一次函数的性质对于一次函数 f(x) =kx +b,x∈ [m ,n] ,有f(x) >0恒成立 f(m) >0 ,f(n) >0 ;f(x) <0恒成立 f(m) <0 ,f(n) <0 .例 1 ｜p｜ <2 ,p∈R ,欲使不等式(log2 x) 2 +(p-2 )log2 x+1-p >0恒成立 ,求x的取值范围 .分析 若直接解关于log2 x的不等式 ,再由 p的取值范围求出x的取值范围 ,不仅化简过程十分繁杂 ,而… 相似文献
3.
于清宗 《数理化学习(高中版)》2002,(4)
常量与变量是数学的两个重要概念.在不同的问题中,同一个字母可能是常量,也可能是变量,具有相对性.在解题时常常被忽视或对其认识不足.现举几例,供同学们借鉴. 例1 若不等式2x-1>m(x2-1)对满足-2≤m≤2的所有m都成立,求x的取值范围. 解:原不等式化为(x2-1)m-(2x-1)<0,记f(m)=(x2-1)m-(2x-1)(-2≤m≤2).根据题意知,要使不等式成立,只要f(-2)<0且f(2)<0,即2x2+2x-3>0且 2x2-2x-1<0.解之,x的取值范围是(-1+7～(1/7))/2相似文献
4.
何成宝 《中学生数理化(高中版)》2013,(7)
求不等式恒成立的参数的取值范围,是中学教学的难点之一,也是高考、数学竞赛的热点.下面就此问题的几种基本解法加以论述.
一、利用一次函数的性质
一次函数y=f(x)=ax+b在x∈[m,n]上恒大于零的充要条件是:{a＞0,f(m)＞0 或{a＜0,f(n)＞0或{f(m)＞0,f(n)＞0.(对于y=f(x) =ax+b恒小于零的条件亦可类似给出)
例1 若f(x)=(x-1)m2-6xm+x+1在区间[0,1]上恒为正值,求实数m的取值范围. 相似文献
5.
杨亦丽 《数理化学习(高中版)》2006,(8)
求解恒成立问题时,可构造我们熟悉的函数类型,然后根据函数的性质解题·求解时经常要应用变量分离的方法,应用这一方法的关键是分清参数与变量·一、构造一次函数型y=ax+b例1若不等式2x-1>m(x2-1),对满足|m|≤2的所有m都成立,求x的取值范围·解:视m为主元,构造一次型函数g(m)=(x2-1)m-(2x-1),原题即对满足|m|≤2的m,g(m)<0恒成立·由函数图象是一条线段,知应g(-2)<0,g(2)<0,即-2(x2-1)-(2x-1)<0,2(x2-1)-(2x-1)<0·解得-12+7相似文献
6.
构造函数解题需要较强的创新意识,是高考改革的方向,本文愿就此抛砖引玉．一、构造一次函数y=kx+b(k≠0) 例1 设a,b,c∈(-1,1),求证:ab+bc+ca>-1. 解析作辅助函数f(x)=(b+c)x+bc+1．因为f(1)=(b+1)(c+1)>0,f(-1)=(1-b)(1-c)>0,所以在(-1,1)上恒有f(x)>0．又-10,即原不等式成立．例2 设不等式2x-1>m(x2-1)对满足|m|≤2的一切实数m恒成立,求x 相似文献
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不等式恒成立问题涉及面广,逻辑性强,许多同学对此类问题常常感到无从下手,下面举例分析,希望对同学们能够有所启迪.
1 利用一次函数的保号性
对于一次函数f(x)=kx+b,若f(m)＞0,f(n)＞0,则当x∈[m,n]时,f(x)＞0.
例1 已知当1≤m≤2时,不等式(log2m-1)(log3x)2-61og2m·log3x+log2m+1＞0恒成立,求x的取值范围.
解析 按常规思路,应将不等式视为关于log3x的二次函数1,这将难以求解.如果换一个思路,把log2m看作主元,log3x看作常量,则求解变得简单容易. 相似文献
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12005年全国高考数学(Ⅲ)理科第(22)题题已知函数f(x)=4x-72-x,x∈[0,1].(1)求f(x)的单调区间和值域;(2)设a≥1,函数g(x)=x3-3a2x-2a,x∈[0,1],若对于任意x1∈[0,1],总存在x0∈[0,1],使g(x0)=f(x1)成立,求a的取值范围.解(Ⅰ)求导求驻点知:f(x)在(0,12)是减函数;在(12,1)上是增函数.当x∈[0,1]时,f(x)值域为[-4,-3].(Ⅱ)g′(x)=3x2-3a2(a≥1)当x∈(0,1)时,g′(x)<0,g(x)是单调减函数.当x∈[0,1]时,g(x)∈[g(1),g(0)],即g(x)∈[1-2a-3a2,2a].又对于任x1∈[0,1]总存在x0∈[0,1]使g(x0)=f(x1)成立.所以由子集定义知:[-4,-3][1-2a-3a2,-2a]1-2a-3… 相似文献
9.
丁勇 《数理化学习(高中版)》2006,(8)
函数与方程的思想是指在解决某些数学问题时,构造适当的函数与方程,把问题转化为研究辅助函数与辅助方程性质的思想·下面就结合2005年的高考试题,说明如何运用函数与方程的思想方法去分析和解决问题·例1设不等式2x-1>m(x2-1)对满足|m|≤2的一切实数m恒成立,求实数x的取值范围·解析:此问题由于常见的思维定势,易把它看成关于x的不等式进行分类讨论·然而,若变换一个角度以m为主元,记f(m)=(x2-1)m-(2x-1),则问题转化为求一次函数(或常数函数)f(m)的值在区间[-2,2]内恒负时参数x应该满足的条件·要使f(m)<0,只要使f(-2)<0,f(2)<0,即-2(x2-1)… 相似文献
10.
给定区间上函数恒成立问题的基本题型是:当m∈M时,F(m,n)>0(或<0或=0)恒成立,求n的取值范围.1利用一次函数的性质一次函数f(x)=ax+b(a≠0),根据一次函数性质,在[m,n]内恒有f(x)>0,等价于f(m)>0且f(n)>0;在[m,n]内恒有f(x)<0,等价于f(m)<0且f(n)<0.例1已知a∈[0,1]时,(a?1)log32x?6a log3x+a+1恒为正数,求实数x的取值范围.分析令2h(a)=(a?1)log3x?6a log3x+a+122=(log3x?6log3x+1)a?log3x+1.当a∈[0,1]时,h(a)>0恒成立,即233(0)0,log10,(1)0,6log20,h xh x???>>???????++>>∴?1相似文献
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不等式恒成立时的参数取值范围问题,涉及的变量多,综合性强,对能力的要求较高,是高考的热点之一.本文例说这类问题的解题策略.一、利用一次函数的性质例1 对任意 x∈[1,10]不等式(lgx—1)log_α~2b 6lgx·log_αb lgx 1>0恒成立.求 b 的取值范围.解原不等式化为 相似文献
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不等式恒成立 ,求参数的取值范围”是不等式中一大题型 ,因不等式的千姿百态 ,因此常令学生不知如何着手解决 ,本文介绍处理这类问题的两大思想方法 .1 函数思想若 f (x) >0 (或 f (x) <0 )在区间 A上恒成立 ,则只需 f (x) min >0 (或 f (x) m ax <0 ) .说明 :若 f (x) >0 (或 f (x) <0 )能分离变量化为 :g(a) 2时 ,不等式 x2 + ax + 8>0恒成立 ,求 a的取值范围 .解法 1 :令 f (x) =x2 + ax + 8,当 -a2 ≤ 2即 a≥ -4时 ,f (x) >2 2 +2 a + 8=1 2 + 2 a.由题意有 :2 a + 1 2≥ 0… 相似文献
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《中学生数理化(高中版)》2017,(9)
<正>不等式恒成立问题是一类重要题型,在考试中经常遇到,解这类题要根据题目所给条件选择不同的方法。1.主参换位法例1对于(0,3)上的一切实数x,不等式(x-2)m<2x-1恒成立,求实数m的取值范围。解析:若设f(x)=(x-2)m-(2x-1)=(m-2)x+(1-2m),把它看成是关于x的直线,由题意知直线恒在x轴的下方。所 相似文献
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含参数的函数问题可以考查多个知识点,更能从多个角度检查考生的素质和能力,因此,它越来越多地受到高考命题者的青睐.这类问题的解决具有一定的规律性,其中,转换自变量是它的核心.为方便广大读者掌握其解题技巧,现归纳总结如下:例1对于任意a∈[-1,1],函数f(x)=x2 (a-4)x 4-2a的值恒大于零,求x的取值范围.解设f(x)=(x-2)a (x2-4x 4)=g(a),当a∈[-1,1]时,f(x)的值恒大于零,显然x≠2,故有g(1)=x-2 x2-4x 4>0,g(-1)=2-x x2-4x 4>0.解之得x<1或x>3.例2已知f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且f(1)=1,当m、n∈[-1,1],m n≠0时,有f(mm) fn(n)>0.(1)证… 相似文献
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于泳 《数理化学习(高中版)》2005,(17)
一、利用函数思想例1 (1999年全国高中数学联赛题)当x∈[0,1]时,不等式x2cosθ x(x-1) (1- x)2·sinθ>0恒成立,求θ的取值范围. 分析:因为x2(1 cosθ sinθ)-(1 2sinθ)x sinθ>0在x∈[0,1]时恒成立,令F (x)=x2(1 cosθ sinθ)-(1 2sinθ)x sinθ. 则只须当x∈[0,1]时,[F(x)]min>0. 解:由F(0)>0,得sin0>0, 相似文献
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贵刊 2 0 0 0年第 10期《运用数学思想方法解含参不等式》一文中 ,例 3的解答是错误的 ,现将“例 3”及“解答”与“评注”抄录如下 :例 3 若 a∈ [-1,3 ] ,解不等式 x2 -ax>3 x -2 a +1解 :原不等式变形为 ( 2 -x) a +x2 -3 x-1>0构造函数 f ( a) =( 2 -x) a +x2 -3 x -1,当 x =2时 ,不等式显然不成立 .由 a∈ [-1,3 ] ,且 f ( a) >0 ,知f ( -1) =x2 -2 x -3 >0f ( 3 ) =x2 -6x +5 >0解之得 x >5或 x <-1.评注 :本例以辩证转化思想为指导 ,把参变元 a视为主元 ,将变元 x看成常量 ,构造关于参数的一次函数 ,利用单调性求解 ,此法极其巧思 .… 相似文献
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聂文喜 《数理天地(高中版)》2008,(8):15-16
1.以一次函数为背景例1设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=x~2,若对任意的x∈[t,t+ 2],不等式f(x+t)≥2f(x)恒成立,则实数t的取值范围是( ) 相似文献
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在数学中有不等式的恒成立问题:
(1)不等式f(x)≥C对任意x∈[a,b]恒成立(≒)f(x)min≥C;
(2)不等式f(x)≤C对任意x∈[a,b]恒成立(=)f(x)max≤C.
这2个结论在物理问题中也有着广泛应用,现举例说明这类问题的解题策略.
例1.如图1所示,用透明材料做成一长方体光学器材,要求从上表面射入的任意光线(即入射角θ为任何值)都不能从右侧面射出,那么所选材料的折射率应满足什么条件? 相似文献
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如何确定恒成立或有解的不等式中参数的范围是一个难点 ,如果能将参数分离出来 ,再运用有关的函数方程等知识可以较好解决 .下面分情况说明 .一、a 0在 | x|≤ 2时恒成立 ,求 m的范围 .解 :原不等式等价于 ( x2 - x + 1) m 0 ,m f ( x… 相似文献
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<正> 若关于x的不等式f(x,k)>0(<0)恒成立,求k的取值范围.对这类问题,常有以下解题途径.1.将f(x,k)>0变形为g(x)>k或g(x)相似文献