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1.
有限点集V={A1,A2,,An}的所有点都在同一圆(或球面)上,我们称V为共圆(或共球)有限点集.以这些点为顶点的封闭折线A1A2A3An A1,称为圆(或球)的内接闭折线,简记为A(n).文[1]定义多面体V内接于球面S(O,R),其顶点全集为{A1,A2,,An},若点H满足1niiOH OA==∑,则点H称为多面体V的伪垂心.若点H j(1≤j≤n),满足1nj i jiOH OA OA==∑?,则点H j称为多面体V的一级顶点子集V j的伪垂心.进而推出定理1设多面体V内接于球面S(O,R),其顶点全集为{A1,A2,,An},其一级顶点子集V j的伪垂心为H j,过顶点A j作直线l j平行于OH j,则诸直线l j(j=… 相似文献
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文[1]应用向量方法,建立了球内接多面体的“伪垂心”概念,并揭示了它的若干有趣的性质.笔者在研究这一问题时,发现了其新性质,为节省篇幅,本文沿用文[1]的有关定义及符号.从多面体V的n个顶点中,任意除去两个顶点A j,Ak(1≤j相似文献
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耿恒考 《中学数学教学参考》2008,(13)
文[1]给出了定义1 过球内接三角形一顶点且平行于球心与对边中点连线的直线称为三角形的伪高线.定理1 球内接三角形的三条伪高线交于一点(称为三角形的伪垂心),这点到顶点的距离是球心到对边中点距离的2倍.定理2 三角形的外接球心、重心和伪垂心三心共线(伪欧拉线,它在三角形所在平面的射影就是三角形的欧拉线),且外接球心到重心的距离与重心到伪垂心的距离之比为1:2.受到启发,我们有定义2 过三角形一顶点的伪高线与其外接球的 相似文献
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美国数学家R.A.约翰逊在其名著[1]中,介绍了三角形垂心的如下有趣性质:定理0三角形的高上,从垂心到边这一段的长,等于它的延长线从边到外接圆的长.如右图,设?A1A2A3的垂心为H,它的高A1D1延长后交外接圆于M1,则HD1=D1M1.本文拟应用向量方法,将这个命题类比推广到一般的球内接多面体中.为了叙述简便和节省篇幅起见,本文沿用文[2]中的有关概念和符号,而不复述它们的意义.对定理0运用类比,我们得到定理1设多面体V内接于球面S(O,R),其顶点全集为{A1,A2,,An},伪垂心为H,一级顶点子集V j的2号心为E j(1≤j≤n),线段A jH的延长线交球面S(… 相似文献
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本文沿用拙文[1]中的有关概念,揭示圆内接闭折线垂心的两个有趣性质. 定理1 设闭折线1231nAAAAAL内接于⊙(,)OR,其垂心为H,其二级顶点子集jmV的垂心为(1)jmHjmn相似文献
6.
在文[1]中,我们运用类比方法,仿效垂心四面体的普鲁海球面概念,建立了圆内接四边形的普鲁海圆的定义,从而推得了一串有关的、鲜为人知的共圆点定理,展示了类比在数学发现中的重要作用． 相似文献
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1863年,普鲁海(Prouhet)将三角形的九点圆(也称欧拉圆或费尔巴哈圆[1])定理,类比推广到垂心四面体中,得到了如下的十二点球定理:[2]定理0在垂心四面体中,以外心与垂心连线的第二个三等分点为球心,外接球面半径的三分之一为半径的球面,必通过十二个特殊点,即:四个顶点与垂心连线的第二个三等分点,四个侧面的重心,以及四条高的垂足.这个定理所说的球面,通常称为垂心四面体的普鲁海球面.最近,曾建军国老师在[3]中指出:若垂心四面体A1A2A3A4的外心为O,垂心为H,则点H满足OH=12∑i=41OAi.据此,我们可以将圆内接四边形与垂心四面体进行类比,导出一个有趣的十二点圆定理.现介绍如下,供读者赏析.本文约定:在任意四边形A1A2A3A4中,除任一顶点Aj外,以其余三顶点为顶点的三角形,称为四边形A1A2A3A4的子三角形,记作△j(j=1,2,3,4).定义设四边形A1A2A3A4内接于⊙(O,R),若点E满足OE=21∑i=41OAi(1)则点E称为四边形A1A2A3A4的欧拉圆心[4];以线段OE的第二个三等分点P为圆心、3R为半径的圆,称为四边形A1A2A3A4的普鲁海圆,记作⊙P,3R.其中,... 相似文献
8.
美国数学家R.A.约翰逊在其名著[1]中,介绍了如下两个奇妙的共圆点定理:定理1在三角形中,以高的垂足为圆心,作通过外心的圆,与垂足所在的边相交,则这样得到的6个交点在同一个圆上,圆心是这三角形的垂心.定理2在三角形中,以各边的中点为圆心,作通过垂心的圆,与这条边相交,则这样得到的6个交点在同一个圆上,圆心是这三角形的外心.这两个定理中的“6点圆”,都称为杜洛斯——凡利(Droz—Farny)圆.有趣的是,对于同一个三角形来说,这两个“6点圆”还是等圆!本文拟将定理1和定理2推广到一般圆内接闭折线中.为了叙述简便起见,本文约定:(i)符号A(n)… 相似文献
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球内接多面体的伪垂心及其性质 总被引：1，自引：0，他引：1
本文拟应用向量方法,建立球内接多面体的“伪垂心”概念,并探讨其性质.为了叙述简便起见,本文约定:(i)字母V表示任意一个多面体,它的所有顶点组成的集合为{A_1,A_2…A_n},称为V的顶点全集;(ii)从多面体V的n个顶点中,任意除去一个顶点(1)jAjn≤≤,其余1-n个顶点组成的集合,称为V 相似文献
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在拙文[1]～[4]中,我们已经揭示了圆内接闭折线垂心的众多有趣性质,这里再作点补充. 定理1 设闭折线A1A2A3…AnA1内接于⊙(0,R),其垂心为H,则 (这个等式不妨称为“垂心与外心的距离公式”.) 证明以外心O为原点建立直角坐标系xOy(图略),设顶点Ai的坐标为(x1,yi)(i=1,2,…n),垂心H的坐标为(xH,yH),则由[1]可知 相似文献
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美国数学家R.A.约翰逊在其名著[1]中,介绍了如下一个优美的三角形定理:定理1如果两个同底的三角形内接于同一个圆,那么它们垂心的连线平行且等于它们顶点的连线.本文拟应用向量方法,将这定理多方位地推广到一般平面闭折线中.为了叙述简便起见,本文约定:(1)符号A(n)和B(n)表示同 相似文献
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尹广金 《中学数学教学参考》2006,(9)
称过球内接三角形一顶点而平行于球心与对边中点连线的直线为三角形的伪高线.我们有定理球内接三角形的三条伪高线交于一点(称为伪垂心),这点到顶点的距离是球心到对边中点距离的2倍. 相似文献
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贵刊[1]、[2]、[3]研究了圆内接闭折线垂线的一系列性质.笔者在研究这一问题时,发现其中有一种奇特的中心对称关系.利用这种中心对称性,较为简洁地证明了圆内接闭折线垂心的几个性质.为节省篇幅,本文沿 相似文献
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在拙文[1]~[6]中,我们对圆内接闭折线垂心的性质已作过多方面的探讨.这里再作点补充. 为了叙述简便起见,本文约定:符号()An表示内接于⊙(,)OR的任意一条闭折线 1231nAAAAAL. 从闭折线()An的n个顶点中,任意除去两个顶点jA和mA,其余(2)n-个顶点组成的集合,称为()An的二级顶点子集,记作(1jmV j)mn相似文献
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美国数学家R.A.约翰逊在其名著[1]中,介绍了如下一个优美的三角形命题:定理1设△ABC内接于⊙(O,R),其重心为G,则221(222)OG=R?9AB+BC+CA.本文拟应用向量方法,将这个定理多方位地推广到一般圆内接闭折线中,并举例说明推广命题的若干应用.为此,我们约定:符号A(n)表示任意一条平面闭折线A1A2A3L An A1.定义设闭折线A(n)内接于(O,R),对任意给定的正整数k,若点Q满足11niiOQ OAuuur=k∑=uuuur,①则点Q称为闭折线A(n)关于点O的k号心.按这个定义,容易验证:圆内接闭折线A(n)关于其外心O的1号心、2号心和n号心,就是A(n)的垂心[2]、欧… 相似文献
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正1引言与主要结果文献[1]介绍了三角形中一个优美的六点共圆定理,即定理0(Hagge定理)从三角形的顶点到对边引共点的线段,以它们为直径作圆;过三角形的垂心作这些线的垂线,与相应的圆相交,所得的六个交点共圆,且圆心就是共点线的公共点.本文将这个优美的六点共圆定理推广至三维空间,得到了一个关于垂心四面体的四圆共球定理:定理1设垂心四面体A1A2A3A4的垂心H在四面体内部,从顶点Ai到所对面引线段AiBi(i=1,2,3,4),四条线段交于一点P;以线段AiBi为直径作球面Si,过H作平面与线段AiBi垂直,且与球面Si相交于圆Oi(i=1,2,3,4),则所得 相似文献
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在拙文[1]和[2]中,我们曾将三角形垂心定理先后推广为定理1设闭折线A(n)内接于⊙O,其二级顶点子集Vjm的垂心为Hjm,过点Hmj作直线AjAm的垂线ljm,则诸直线ljm(1≤j相似文献
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在拙文[1]中,我们曾利用坐标法,将三角形垂心定理推广为定理1设闭折线A(n)内接于⊙O,其二级顶点子集V jm的垂心为H jm,过点H jm作直线A j Am的垂线l jm,则诸直线l jm(1≤j相似文献
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在拙文[1]中,我们定义了“垂心闭折线”概念,并揭示了它的几个有趣性质.这里作点补充.为此,先建立如下概念: 定义1 在△OAB所在的平面内,以顶点O为 相似文献
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在文[1]中,我们定义了三角形的“1号心”概念(它是三角形的垂心、奈格尔点和伪垂心诸概念的统一推广),并揭示了它的一些有趣性质.这里作点补充. 定理1 设△ABC关于点P的1号心为Q,则 222QAQBQC 2222()PQPAPBPC= . 证明 以点P为原点建立直角坐标系,xPy设顶点A、B、C的坐标分别为11(,)xy、22(,)xy、33(,)xy,则点Q的坐标为[1] 123123(,)xxxyyy . 注意到点P为原点(0,0),由两点间的距离公式可知 222123123()()PQxxxyyy= , 22211,PAxy= 22222,PBxy= 22233.PCxy= 将这四个等式两边分别相加,就得 2222()PQPAPBPC … 相似文献