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1.
定理 设ａｉ,ｂｉ 为正数 (ｉ=1,2 ,… ,ｎ) ,则ｎ ∏ｎｉ =1(ａｉ ｂｉ) ≥ｎ ∏ｎｉ=1ａｉ ｎ ∏ｎｉ=1ｂｉ,( )等号当且仅当ａｉ=λｂｉ (λ为常数 ,ｉ =1,2 ,… ,ｎ)时成立 .证 由算术———几何平均不等式 ,有ｎ ∏ｎｉ =1ａｉａｉ ｂｉ ｎ ∏ｎｉ =1ｂｉａｉ ｂｉ≤ 1ｎ ∑ｎｉ =1ａｉａｉ ｂｉ 1ｎ ∑ｎｉ=1ｂｉａｉ ｂｉ=1ｎ ∑ｎｉ =1ａｉａｉ ｂｉ ｂｉａｉ ｂｉ=1ｎ ·ｎ =1, ∴ ｎ ∏ｎｉ =1(ａｉ ｂｉ)≥ｎ ∏ｎｉ=1ａｉ ｎ ∏ｎｉ=1ｂｉ,等号当且仅当ａ1 ａ1 ｂ1=ａ2ａ2 ｂ2=… =ａｎａｎ ｂｎ,ｂ1 ａ1 ｂ1=ｂ2… 相似文献
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文 [1]将不等式 :设ａ1,ａ2 ,ａ3,ａ4 ∈Ｒ ,求证 :ａ31ａ2 ａ3 ａ4 ａ32ａ3 ａ4 ａ1 ａ33ａ4 ａ1 ａ2 ａ34ａ1 ａ2 ａ3≥ (ａ1 ａ2 ａ3 ａ4 ) 212 ,推广为 设ａ1,ａ2 ,ａ3,… ,ａｎ ∈Ｒ ,且ａ1 ａ2 ａ3 … ａｎ =ｓ.则有ａ31ｓ -ａ1 ａ32ｓ -ａ2 … ａ3ｎｓ -ａｎ ≥ ｓ2ｎ(ｎ - 1) (ｎ ≥ 3)(1) 笔者通过对不等式 (1)的探究 ,得到以下命题 设ａｉ ∈Ｒ (ｉ =1,2 ,… ,ｎ ,ｎ≥ 3) ,且∑ｎｉ=1ａｉ =ｓ.如果ｍ ,ｋ满足下列条件之一 :(1)ｋ=0 ,ｍ≥ 1;(2 )ｋ=ｍ≥ 1或ｋ=ｍ ≤ 0 ;(3)ｋ>0 ,ｍ ≤ 0 ;(4 ) 0 <ｋ≤ 1,ｍ… 相似文献
3.
杨涤尘 《湖南师范大学教育科学学报》2001,(6)
柯西不等式的推广定理 1 :设ａｉｊ>0 (其中ｊ=1 ,2 ,… ,ｍ ,ｉ=1 ,2 ,… ,ｎ) ,则( ｎｉ=1∏ｍｊ=1ａｉｊ) ｍ ≤ ∏ｍｊ=1 ｎｉ=1ａｍｉｊ) (1 )当ｍ =2时 ,即为柯西不等式 :( ｎｉ=1ａｉｂｉ) 2 ≤ ( ｎｉ=1ａ2 ｉ) ( ｎｉ=1ｂ2 ｉ) (2 ) 一、引理 (权方和不等式 ) 设ｘｉ、ｙｉ∈Ｒ+,(ｉ=1 ,2 ,… ,ｎ) ,ｍ >0 ,则( ｎｉ=1ｘｉ)ｍ +1≤ ( ｎｉ=1ｙｉ)ｍ · ｎｉ=1ｘｍ+1 ｉｙｍｉ(3 )式中等号当且仅当 ｘ1 ｙ1 =ｘ2ｙ2 =… =ｘｎｙｎ时成立。证明可参见[1 ] 。二、定理的证明对ｍ用数学归纳法。当ｍ =2时 ,即为柯西不等式 ,结论… 相似文献
4.
一个不等式的推广 总被引：2，自引：0，他引：2
从许多相关杂志上都能见到如下不等式 :若ｘ、ｙ∈Ｒ+,则 (ｘ2 +ｙ2 ) 12 >(ｘ3+ｙ3) 13. ( 1 )下面笔者给出式 ( 1 )的两个推广 :推广 1 :若ｘ、ｙ∈Ｒ+,ｍ、ｎ∈Ｎ且ｎ >ｍ ,则 (ｘｍ+ｙｍ) 1ｍ >(ｘｎ+ｙｎ) 1ｎ . ( 2 )推广 2 :若ａ1,ａ2 ,… ,ａｎ∈Ｒ+,且ｓ>ｔ>0 ,则事实上 ,式 ( 3 )又是式 ( 2 )的推广 ,因此我们只证明式 ( 3 ) .证明 :所证不等式等价于下列不等式∑ｎｉ=1ａｔｉ1ｔ∑ｎｉ=1ａｓｉ1ｓ>1 ,即 ａｓ1∑ａｓｉｔｓ +… +ａｓｎ∑ａｓｉｔｓ1ｔ >1 .( 4)令 ａｓ1∑ａｓｉ1ｓ =ｂ1,… ,ａｓｎ∑ａｓｉ1ｓ =ｂｎ,则ｂｉ… 相似文献
5.
关于分式不等式的证明 ,人们已总结了不少方法 .本文利用柯西 (Ｃａｕｃｈｙ)不等式的一种变式再给出一种证法 ,这种证法常被人们所忽视 ,然而它在证明一类分式不等式时却十分凑效 ,现介绍如下 ,以供参考 .柯西不等式的变式 设ａｉ∈Ｒ ,ｂｉ∈Ｒ(ｉ=1,2 ,… ,ｎ) ,则 ( ｎｉ=1ａｉｂｉ) 2 ≤ ( ｎｉ=1ａｉ) ( ｎｉ=1ａｉｂ2 ｉ) ,( )等号成立当且仅当ｂ1=ｂ2 =… =ｂｎ.由柯西不等式易知不等式 ( )成立 ,证明从略 .为书写方便 ,用 表示循环和 .例 1 已知ｘ ,ｙ ,ｚ∈Ｒ ,ｋ为常数 ,ｋ∈Ｒ ,求证 ｘｋｙ ｚ ｙｋｚ ｘ ｚｋｘ … 相似文献
6.
对于问题“若ａ,ｂ为正数 ,并且ａ ｂ =1 ,则有不等式ａ2 1 ｂ2 1≥ 5 .”文 [1 ]给出了较为复杂的代数证法 .之后 ,文 [2 ]给出了简明的几何证法 ,并进行了如下推广 :定理 1 若ａ1 ,ａ2 ,… ,ａｎ ∈Ｒ ,且∑ｎｉ=1ａｉ =1 ,则 ∑ｎｉ =1ａ2ｉ 1≥ｎ2 1 .文 [2 ]对定理 1仍采用了几何证法 现将定理 1再作推广 ,可得 :定理 2 若ａ1 ,ａ2 ,… ,ａｎ 及ｂ1 ,ｂ2 ,… ,ｂｎ 是任意实数 ,则∑ｎｉ =1ａ2ｉ ｂ2ｉ ≥ (∑ｎｉ =1ａｉ) 2 (∑ｎｉ =1ｂｉ) 2 .证明 设复数ｚｋ =ａｋ ｂｋｉ,其中ｋ =1 ,2 ,… ,ｎ.因为 ｜ｚ1 ｜ ｜ｚ2 ｜… 相似文献
7.
金卫雄 《连云港师范高等专科学校学报》2000,(2)
《数学通报》99年第 9期“从一道习题到两个优美的不等式”一文的结尾给出了如下的一个猜想 :设ａｉ,ｂｉ∈Ｒ (ｉ =1、2 ,… ,ｎ) ,ｎ≥ 2 ;α >0 ,则Σｎｉ=1ａα 1 ｉｂαｉ≥Σｎｉ =1ａｉ) α 1(Σｎｉ=1ｂｉ) α当且仅当 ａｉΣｎｉ =1ａｉ=ｂｉΣｎｉ =1ｂｉ时等号成立。本文将给出严格的证明 ,并用它将《数学通报》问题 893作广泛的推广 ,从中可初步看出它的应用前景。一、不等式的证明证明 :原不等式等价于(Σｎｉ=1ａｉα 1ｂαｉ) (Σｎｉ =1ｂｉ) α≥ (Σｎｉ=1ａｉ) α 1 ( 1)若记λ =Σｎｉ =1ｂｉ,则(Σｎｉ=1·ａｉ… 相似文献
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第 3 0届ＩＭＯ训练题中有一道试题 :对满足ｘ2 +ｙ2 +ｚ2 =1的正数ｘ、ｙ、ｚ,求ｘ1 -ｘ2 +ｙ1 -ｙ2 +ｚ1 -ｚ2 的最小值 .安振平先生将其推广为[1] :已知ａｉ ∈Ｒ+(ｉ =1 ,2 ,… ,ｎ ,ｎ≥ 3 ) ,∑ｎｉ=1ａｎ - 1ｉ =1 .则 ∑ｎｉ=1ａｎ - 2ｉ1 -ａｎ- 1ｉ≥ ｎｎ -1ｎ - 1ｎ .受其启发 ,笔者发现可将其进一步推广为 :已知ａｉ∈Ｒ+(ｉ=1 ,2 ,… ,ｎ ,ｎ≥ 3 ) ,α1、α2 、ｋ∈Ｎ ,ｃ>ａｋα2ｉ ,且∑ｎｉ=1ａα1+α2ｉ =ｎ ｃｋ +1α1+α2ｋα2 .则∑ｎｉ=1ａα1ｉｃ-ａｋα2ｉ≥ ｎｋｃｋ +1α1-ｋα2ｋα2 .证明 :令ｘｉ=ａα2ｉ(ｃ … 相似文献
9.
对于数列型恒等式和不等式的证明 ,通常都采用数学归纳法 ,但如果用构造数列的方法来证明 ,往往更简洁 ,并且也容易被学生所接受 .1 “ａ1 ａ2 ａ3 … ａｎ ≤Ｓｎ(或≥Ｓｎ)”型对这种类型的恒等式和不等式 ,可以构造数列{ｂｋ} ,使得ｂｋ =Ｓｋ-Ｓｋ- 1(规定Ｓ0 =0 ) ,这样 ,ｂ1 ｂ2 ｂ3 … ｂｎ =(Ｓ1-Ｓ0 ) (Ｓ2 -Ｓ1) (Ｓ3-Ｓ2 ) … (Ｓｎ-Ｓｎ- 1) =Ｓｎ.对ｋ∈Ｎ ,如果有ａｋ ≤ｂｋ(或ａｋ ≥ｂｋ) ,那么ａ1 ａ2 ａ3 … ａｎ ≤Ｓｎ(或≥Ｓｎ)成立 .例 1 (1993年全国高考题改编 )证明 8· 112 · 32 8· 232 · 52 … 相似文献
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文 [1 ]用“均分组合法”巧妙解决了一类竞赛题。文 [2 ]指出文 [1 ]中例 1 ,3 ,5 ,8论证过程有不当之处 ,并用排序原理逐一重新予以证明 ,读后深受启发。但笔者发现 ,这类不等式还可应用柯西 (Ｃａｕｃｈｙ)不等式获证 ,且证明更简洁 ,还能加以推广得到一般性的结论。柯西不等式为 (∑ｎｉ=1ａ2 ｉ) (∑ｎｉ=1ｂ2 ｉ)≥ (∑ｎｉ=1ａｉｂｉ) 2(ａｉ、ｂｉ∈Ｒ ,ｉ=1 ,2 ,… ,ｎ) ,当且仅当ａｉ=λｂｉ,ｉ=1 ,2 ,… ,ｎ时等号成立。 (证略 )例 1 (文 [1 ]例 1 ,1 963年莫斯科数学竞赛题 )设ａ、ｂ、ｃ∈Ｒ ,求证 ａｂ ｃ ｂａ ｃ ｃａ … 相似文献
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现行高中教材《代数》下册 12页 2题 ( 1) :设ｘ ,ｙ都是正数 ,求证 :ｘｙ ｙｘ ≥ 2 .将此不等式变形 ,得ｘｙ - 1≥ 1- ｙｘ ,( )等号当且仅当ｘ =ｙ时成立 .应用 ( )可简便地证明一类分式不等式 .例 1 设ａ1,ａ2 ,… ,ａｎ 均为正数 ,且ａ1 ａ2 … ａｎ=1 (ｎ >1) ,求证 : ｎｉ=1ａ2ｉ 1ａｉ≥ｎ2 1. 证 ｎｉ =1ａ2ｉ 1ａｉ- (ｎ2 1) = ｎｉ=11ａｉ-ｎ=ｎ ｎｉ =11ｎａｉ- 1≥ｎ ｎｉ=1( 1-ｎａｉ) =0 .∴ ｎｉ =1ａ2ｉ 1ａｉ≥ｎ2 1.例 2 设ａｉ∈Ｒ (ｉ =1,2 ,… ,ｎ) ,ｎ≥ 2 ,且 ｎｉ=1ａｉ=1.求证 : ｎｉ=1… 相似文献
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对于以下不等式问题 ,本文将它们作统一的推广 ,从而较好地揭示了问题的实质和它们相互间的联系 .问题 1[1] (第 2 6届独联体数学奥林匹克试题 )证明 :对任意实数ａ>1,ｂ>1,有不等式 ａ2ｂ- 1+ｂ2 ａ- 1≥ 8.问题 2 [2 ] 设ａ1,ａ2 ,… ,ａｎ 是大于 1的实数 ,且ｋ≥ 2 ,ｋ∈Ｎ ,则有不等式ａｋ1ａｉ1- 1+ ａｋ2ａｉ2 - 1+… + ａｋｎａｉｎ - 1≥ ｎｋｋ(ｋ- 1) ｋ- 1,(其中ｉ1,ｉ2 ,… ,ｉｎ 是 1,2 ,… ,ｎ的一个排列 )问题 3[3] (《数学通报》2 0 0 0年第 11期数学问题 12 84 )已知实数ａ >1,ｂ>1,ｃ>1,求证 :ａ3ｂ2 - 1+ ｂ3ｃ2 - 1… 相似文献
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一道国际竞赛题的新推广 总被引：3，自引：0，他引：3
题目 对所有的正实数ａ、ｂ、ｃ,证明 :ａａ2 + 8ｂｃ+ ｂｂ2 + 8ｃａ+ ｃｃ2 + 8ａｂ≥ 1 .①(第 42届ＩＭＯ 2 )对此题本文给出 3个新推广 .命题 1 (个数推广 )对正实数ａ1,ａ2 ,… ,ａｎ(ｎ≥ 3 ) ,有∑ｎｉ=1ａｎ - 12ｉａｎ- 1ｉ +(ｎ2 - 1)ａ1…ａｉ- 1ａｉ+ 1…ａｎ≥ 1.②命题 2 (指数推广 )对正实数ａ1,ａ2 ,ａｎ(ｎ≥ 3 )及正整数ｍ(ｍ≥ 2 ) ,有∑ｎｉ=1ａｉｍａｍｉ + (ｎｍ-1 )ａｍ2ｉ+ 1ａｍ2ｉ+ 2≥ 1 ,③其中ａｎ+ 1=ａ1,ａｎ+ 2 =ａ2 .把以上两个命题结合起来 ,可得命题 3 对正实数ａ1,ａ2 ,… ,ａｎ(ｎ≥ 3 )及正整… 相似文献
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设△ＡＢＣ的三边长为ａ,ｂ,ｃ,其内切圆为⊙(Ｉ,ｒ),则有下面的不等式(证略):ＡＩ2+ＢＩ2+ＣＩ2≥14(ａ2+ｂ2+ｃ2)+3ｒ2(1)文献[1]中还有以下不等式:ＡＩ+ＢＩ+ＣＩ≥6ｒ(2)(1),(2)中等号成立当且仅当ａ=ｂ=ｃ.定理1 设平面闭折线Ａ1Ａ2Ａ3…ＡｎＡ1有内切圆为⊙(Ｉ,ｒ),其边长为|ＡｉＡｉ+1|=ａｉ(ｉ=1,2,…,ｎ,且Ａｎ+1为Ａ1),则有:∑ｎｉ=1ＡｉＩ2≥14∑ｎｉ=1ａ2ｉ+ｎｒ2(3)当且仅当ａ1=ａ2=…=ａｎ时取等号. 证明 设已知闭折线的边ＡｉＡｉ-1,ＡｉＡｉ+1分别与内切圆切于点Ｂｉ-1,Ｂｉ(如图1),设|ＡｉＢｉ-1|=|ＡｉＢｉ|=ｘｉ(ｉ… 相似文献
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对于某些不等式的证明 ,若认真分析题目的条件和结论 ,构造适当的向量 ,然后借助向量的数量积的性质｜ｍ·ｎ｜≤｜ｍ｜·｜ｎ｜ ,往往可以使某些不等式得到证明 .例 1 已知ａ ,ｂ∈Ｒ ,求证 :ａ +ｂ22 ≤ ａ2 +ｂ22 .证明 设ｍ =(ａ ,ｂ) ,ｎ =( 1,1) .由 ｜ｍ·ｎ｜2 ≤｜ｍ｜2 ·｜ｎ｜2 ,得(ａ +ｂ) 2 ≤ (ａ2 +ｂ2 )· 2 ,∴ ａ +ｂ22 ≤ ａ2 +ｂ22 .例 2 设ａ ,ｂ ,ｃ,ｄ∈Ｒ .证明 :ａｃ+ｂｄ≤ ａ2 +ｂ2 · ｃ2 +ｄ2 .证明 设ｍ =(ａ ,ｂ) ,ｎ =(ｃ,ｄ) .由｜ｍ·ｎ｜≤｜ｍ｜·｜ｎ｜ ,得｜ｃａ+ｂｄ｜≤ ａ2 +ｂ2 ·ｃ2 +ｄ2 … 相似文献
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柯西不等式的一个推论及应用洪凰翔（湖北武穴师范４３６４００）柯西不等式如下：∑ｎｉ＝１ｐ２ｉ∑ｎｉ＝１ｑ２ｉ≥∑ｎｉ＝１ｐｉｑｉ２当且仅当ｐ１ｑ１＝ｐ２ｑ２＝…＝ｐｎｑｎ时等号成立．在柯西不等式中，如令ｐｉ＝ａｉ，ｑｉ＝ｍｋｉａｉ（ａｉ，ｍｉ∈Ｒ＋，... 相似文献
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运用分母代换法证明不等式举例 总被引：1，自引：1，他引：1
对于分母是多项式的分式不等式 ,采用将分母进行整体代换后 ,便于应用基本不等式或常见的“( ｎｉ=1ａｉ) ( ｎｉ=11ａｉ)≥ｎ2 (ａｉ >0 )”结论来证明 .下面分类举例 .1 分子为常数型例 1 若ｘ、ｙ、ｚ∈ (0 ,1) ,求证 :11-ｘ+ ｙ+ 11- ｙ+ｚ+ 11-ｚ+ｘ ≥ 3.证明 设 1-ｘ + ｙ=ａ ,1- ｙ+ｚ=ｂ ,1-ｚ+ｘ=ｃ,则ａ >0 ,ｂ>0 ,ｃ>0 ,且ａ +ｂ+ｃ =3.∵ (ａ+ｂ +ｃ) (1ａ + 1ｂ + 1ｃ) ≥ 9,∴ 1ａ + 1ｂ + 1ｃ ≥ 3.故 11-ｘ+ ｙ+ 11- ｙ+ｚ+ 11-ｚ+ｘ ≥ 3.例 2 (第 19届莫斯科奥林匹克竞赛题 )设任意的实数ｘ、ｙ满足 ｜ｘ｜ <1,｜… 相似文献
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若ａ ,ｂ ,ｃ >0 ,则(ａ ｂ ｃ) ( 1ａ 1ｂ 1ｃ)≥ 9( )是初等数学中的一个基本不等式 ,利用平均不等式可容易得证 .本文讨论它的引申与推广形式 .首先 ,容易得到该不等式的一般推广形式 .若ａｉ>0 (ｉ =1,2 ,… ,ｎ) ,则(ａ1 ａ2 … ａｎ) ( 1ａ1 1ａ2 … 1ａｎ)≥ｎ2 .( 1)( 1)可变形为1ａ1 ａ2 … ａｎ≤ 1ｎ21ａ1 1ａ2 … 1ａｎ.( 1’)利用以上结果 ,我们可以对不等式 ( )进行以下一系列的引申和推广 .设ａ ,ｂ ,ｃ >0 ,则〔(ａ ｂ) (ｂ ｃ) (ｃ ａ)〕( 1ａ ｂ 1ｂ ｃ 1ｃ ａ)≥ 9, ( )于是 1ａ ｂ 1ｂ … 相似文献
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张贇 《中学数学教学参考》2001,(11)
定理 设 ｐ、Ｒ、ｒ分别表示双圆四边形Ａ1Ａ2 Ａ3 Ａ4 的半周长、外接圆和内切圆半径 ;Ａ1Ａ2 =ａ ,Ａ2 Ａ3 =ｂ,Ａ3 Ａ4 =ｃ ,Ａ4 Ａ1=ｄ ;ｐａ=ｐ -ａ ,等等 ,则 ａ3ｐａｐｃｐｄ≥ (8ｒ4Ｒ2 ｒ ｒ) 2 . ( )证明 :由算术———几何平均不等式 ,ｐｂｐｃｐｄ≤ [13 (ｐｂ ｐｃ ｐｄ) ]3 =(ｐ ａ3 ) 3 ,∴ ( )式左端≥ (3ａｐ ａ) 3 .由不等式1ｎ ｎｉ=1ｘｉｍ≥ (1ｎ ｎｉ=1ｘｉ) ｍ (ｘｉ∈Ｒ ) ,得 (3ａｐ ａ) 3 ≥ 2 7× 4[14 ａｐ ａ]3=2 71 6( ａｐ ａ) 3 .在柯西不等式 ａｋｂｋ≤ ( ａｋ2 ｂｋ2 ) 12 (ａｋ,ｂ… 相似文献
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安振平 《中学数学教学参考》2001,(9)
柯西不等式是一个十分重要的不等式定理 ,从近年来国内外各级竞赛中不难看出 ,许多涉及不等式的赛题 ,若能运用柯西不等式进行求解 ,便可获得较为简明的解法 .一、基础知识1 柯西 (Ｃａｕｃｈｙ)不等式定理 设ａ1、ａ2 、…、ａｎ,ｂ1、ｂ2 、…、ｂｎ 均是实数 ,则(ａ1ｂ1 ａ2 ｂ2 … ａｎｂｎ) 2≤ (ａ12 ａ2 2 … ａｎ2 ) (ｂ12 ｂ2 2 … ｂｎ2 ) ,等号当且仅当ａｉ=λｂｉ(λ为常数 ,ｉ=1 ,2 ,… ,ｎ)时成立 .这个命题的证明在一般的竞赛教程中都可以查找到 ,这里从略 .2 柯西不等式的推论推论 1 设ａ1、ａ2 、…、ａｎ,ｂ1… 相似文献