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变量代换法通过式与式的相互转化,常能达到化难为易、化繁为简的目的。但在解题时极易发生下面错误,现分别举例分析如下。一、忽视原变量可取值范围,造成错误例1.若x+y+z=1,试证:x~2+y~2+z~2≥(1/3)。错解设x=(1/3)-t,y=(1/3)-2t,z=(1/3)+3t(t∈R) ∴ x~2+y~2+z~2=((1/3)-t)~2+((1/3)-2t)~2+((1/3)+3t)~2=(1/3)+14t~2≥(1/3) 当t=0,即x=y=z=1/3时,上式等号成立。剖析粗看,还以为是一个好方法,可细看,能发现其中代换x=(1/3)-t,y=(1/3)-2t,z=(1/3)+3t有欠妥当,因为x=1/ ,y=2/ ,z=4/ 显然适合已知条件x+ 相似文献
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1981年12期数学通报《几种类型的不等式证明》一文中(二): 已知条件为线性方程形式的不等式证明(即条件x+y+z+…A,A为常数)。 4:若x+y+z=1,试证x~2+y~2+z~2≥1/3证明:令x=1/3-t,y=1/3-2t,z=1/3+3t(t为实数)。 x~2+y~2+z~2=[(1/3)-t]~2+[(1/3)-2t]~2+[(1/3)-3t]~2 =1/9-(2/3)t+t~2+1/9-(4/3)t+4t~2+1/9+2t+9t~2 =1/3+14t~2≥1/3 (∵t为实数)。 当t=0时,即x=y=z=1/3时,上式等号成立。 相似文献
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钟焕清 《中学数学教学参考》2003,(9):30-31
代换法在数学解题中有着广泛的应用 ,用它证明不等式 ,不蹈常规 ,见解独到且富有新意 .本文谈谈五种代换方法在不等式证明中的运用 .1 增量代换在题设条件a≥b下 ,令a =b +t(t≥ 0 ) ,这种代换叫做增量代换 .例 1 已知x >y>0 ,求证 x -yy >0入手 ,用增量代换法去证明 ,十分快捷 .证明 :由x >y >0 ,可令x =y +t(t>0 ) .∵ y +t相似文献
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第39届 IMO 预选题:设 x,y,z 是正实数,且 xyz=1,求证:x~3/((1 y)(1 z)) y~3/((1 x)(1 z)) z~3/((1 x)(1 y))≥3/4.文[1]给出了这个不等式的四个推广:命题1 设 x,y,z 是正实数,且 xyz=1,λ是常数且λ≥0,则x~3/((λ y)(λ z)) y~3/((λ x)(λ z)) z~3/((λ x)(λ y))≥3/((1 λ)~2).命题2 设 x,y,z 是正实数,且 xyz=1,m 是正整数且m≥3,则x~m/((1 y)(1 z)) y~m/((1 x)(1 z)) z~m/((1 x)(1 y))≥3/4. 相似文献
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将x＋y=m中的x、y分别用m/2＋t、m/2-t来代换,这种代换通常称为均值代换．用均值代换解一些数学竞赛题可以简化解题步骤,收到理想的解题效果．下面举例予以说明． 相似文献
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一类二元函数的条件最值,如能进行适当的齐次代换转化为分式函数,利用判别式法易于简捷巧妙地获解。例1 已知|3x-y|≥4,求S=2x~2-xy y~2的最小值,并求S取最小值时的x、y值。解:显然x,y不全为零,不妨设x≠0,令t=y/x。 u=S/(3x-y)~2=(2x~2-xy y~2)/(9x~2-6xy y~2)=(2-t t~2)/(9-6t t~2)化为(1-u)t~2 (6u-1)t (2-9u)=0其△=(6u-1)~2-4(1-u)(2-9u)=32u-7≥0,解得u≥7/32。 相似文献
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不等式的证明题中,常常会在给定条件或待证的不等式中含有“1”或与“1”有关的项.因此,熟知“1”的应用技巧并灵活运用,对学生拓宽解题思路、提高解题能力是十分有益的.下面就证明不等式时“1”的几个常用技巧做一总结.※“1”的等量代换法※当给定条件中有含“1”的等量关系式时,常常将“1”用式子等量代换到要证明的不等式中,对原不等式变形.[例1]已知x+y+z=1,证明x2+y2+z2≥13.证明:原不等式可变形为3(x2+y2+z2)≥1.∵x+y+z=1,∴3(x2+y2+z2)≥(x+y+z)2,左-右=3x2+3y2+3z2-(x+y+z)2=2x2+2y2+2z2-2xy-2yz-2zx=(x-y)2+(y-z)2+(z-x)2≥0∴原… 相似文献
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笔者受本刊94 —3期“巧构直角三角形解题”启示,今发现一些不等式证明题运用作图法也比较简单。故举一例: 已知x,y,z∈R~ ,求证(x~2 y~2-xy)~(1/2) (y~2 z~2-yz)~(1/2)>(x~2 z~2-xz)~(1/2)。 证法 作三棱锥(如图),使SA=x,SB=y,SC=z,∠ASB=∠ASC=∠BSC=60°, 相似文献
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刘伟 《第二课堂(小学)》2006,(7)
解题时,通过换元引参,常可使问题简捷获解,但应注意换元引参的合理性和等价性,否则将出现这样或那样的错误．下面剖析四种常见错误,供同学们参考．一、忽略代换的合理性致错例1 若x+y+z=1,求证:x2+y2+z2≥1/3． 相似文献
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1.若遇a≤x~2 y~2≤b(a,b∈R~ ),可作代换x=t·cosφ,y=tsinφ,其中a~(1/2)≤t≤b~(1/2) 例1 已知1≤x~2 y~2≤2,求w=x~2 xy y~2的最值. 解:∵1≤x~2 y~2≤2,∴设x=tcosθ,y=tsinθ,其中1≤t≤2~(1/2),∴w=t~2cos~2θ t~2cosθsinθ t~2sin~2θ=t~2·(1 (1/2)sin2θ),而(1/2)≤1 sin2θ≤(3/2),∴(1/2)≤w≤3. 2.若遇b~2x~2 a~2y~2=a~2b~2(a,b∈R~ ),可作代换x=acosθ,y=bsinθ(此处要注意解析几何中椭圆、双曲线的参数方程的应用) 例2 已知x、y满足x~2 4y~2=4,求w=x~2 2xy 4y~2 x 2y的最值. 相似文献
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利用一元二次方程根的分布的充要条件 ,可以证明以下一类不等式 .例 1 设 x>0 ,y>0 ,且 x3 - x2 - 2 xy-y2 y3 =0 ,求证 :10 ,t>0 ,t2 - 4× t2 - t3>0 ,即 115 ,b>15 ,ab=22 5 ,求证 :a b<35 .证明 设 a b=t,ab=22 5 ,∴ a,b为一元二次方程 f (x) =x2 - tx 22 5 =0的两个根 .由于 a>15 ,b>15 ,f (15 ) >0 t<35 ,… 相似文献
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第31届IMO有一道预选题为: 已知:x≥y≥z>0,x,y,z∈R。求证: x~2y/z y~2z/x z~2x/y≥x~2 y~2 z~2。 (1) 本文给出它的推广及证明。 相似文献
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初等数学中常见的解题思维方法有下列几种. 一、欲擒故纵,先退后进 为了解决问题,有时需要先退一步,这里的退是为了更好的进. 例1 设x、y、z是三个互不相等的实数,且x 1/y=y 1/z=z 1/x。求x~2y~2z~2的值。 相似文献
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本刊文[1]对方程组x y z=3 (1)x~2 y~2 z~2=3 (2)x~5 y~5 z~5=3 (3)(1973年美国奥林匹克竞赛题)给出一种简便解法.今再用代数代换给出其它简便解法.解法1 因为对三元方程 x y z=3右端等于 相似文献
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再谈分式不等式证明中的代换法 总被引：2，自引：0，他引：2
笔者在文[1] 中介绍了用分母代换法证明分式不等式的方法 ,作为其续篇 ,这里再介绍用分子代换 ,分式代换以及整体代换来证明分式不等式的思想方法 ,以便我们对证明分式不等式有一个较完整的思想方法体系 .1 分子代换如果所证不等式的分子比分母复杂 ,那么应考虑将分子代换 .例 1 (《数学教学》问题栏第 5 48题 )已知三角形的三边为a、b、c ,求证 : b +c-aa + c +a-bb + a +b-cc >22 .证明 设b+c -a=x ,c +a-b=y ,a +b-c=z ,则x、y、z>0 ,且a =y +z2 ,b =z +x2 ,c =x+ y2 ,于是b +c-aa + c +a-bb + a +b-cc=2xy+z+ 2 yz+x+ 2zx+ y=2 xx… 相似文献
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题目:已知:x、y、z∈R~ ,且xyz=1。 求证:((x~3)/((1 y)(1 z))) ((y~3)/((1 z)(1 x))) ((z~3)/((1 x)(1 y)))≥3/4。 (第39届IMO预选题) 本文给出其两个推广。 相似文献
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《中学生数理化(高中版)》2016,(12)
<正>函数是高中数学的重要内容之一,也是高考中的核心考点。运用函数与方程思想解题可以大大简化问题,提高综合解题能力。一、解数列问题例1若(z-x)2-4(x-y)(y-z)=0,求证:x、y、z成等差数列。解析:观察题目条件,容易发现题设与判别式b2-4ac=0形式相似,联想到构造一元二次方程来证明。分两种情况进行讨论,当x=y时,(z-x)2=0,得到z=x,此时x=y=z,x、y、z成等差数列;当x≠y时,引入参 相似文献