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题:设a、b、c是三个非负实数,求证:亿歹干歹十侧护不奄豆十了歹不砰》侧万(a+b+c)。 证法一(代数法) ,.’a、b、c为非负数,a’+bZ》Zab .’.2(a’+石“)》(a+b)2a’+b’>士(a+b)2 .’.亿石万下石牙>士侧丁(a千b)同理可得亿乒下毛1)士了丁(b+:) 了户百石下>去侧万(‘+a)三式相加得: 了压f不石万+训歹干砰+侧石厄下万1》士斌万(Za+Zb+Zc)二侧了(a+b+c)。 证法二(利用复数) 设z:二a+b‘::=乙+cfz。==e+ai .’.{之:卜了砰下矛}z:卜了孙不砰 }:3}二了户百石下 ,.’有不等式:}z:卜!z:卜}‘。]>}::+z:+x:} .’.侧aZ+cZ+亿b’+cZ+了eZ+a“=}:,}+… 相似文献
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题:函数习=“inxeo:x 。in: eo。。的最大值是,一___,_.。(1990年高考理科数学题) 1。三角法 解法1夕二sinxcosx sinx cos二=专“详2x 了百成n(x十士幻,当x二2寿”十寺二(k任Z)时,sinZx和sin(x 像一二)同时取得最大值,故夕。。二=专十了万。 解法2’.’,=(1 eoox)(1 “inx)一1 =4eos之士xeo32(十兀一士x)一1 =〔eo。十厂 co。(x一去万)〕“一1 《(专了丁十1)2一1=专 训万,=专十了丁。3,.’百=士(5 inx cosx 1)2一1=于〔训丁:in(x 十二) 1〕2一1(一爹(了丁十1)2一1=专十训丁,故y。。:二士 了丁。 2。不等式法 解法4,.’g《于(s inZ丈十c。… 相似文献
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本刊84年第一期曾译介苏联《数学教学》刊登的解法.本文给出方程 侧ax+b士订‘e劣+房=无(1)的另一解法.不妨设无护0.将等式 (a劣+b)一(e劣+d)=(a一c)x+(b一己)两边除以(1)的两边:、而丁不了干、而丁万丁_a一C 无b一‘ 垂(1)十(2),两边平方即得二次方程.(2)4(a劣+b)二(罕·朴竺书二).例1解 (3).解方程侧3x十1一了:+4=1.今3)’袱一;份飞、钟叭‘:=5·验知:=5是原方程的根. 例2.解方程召矛丁牙二及+侧万恋万丽不了二3。 解等式(护一:一2)一(x2一3:+5)=2‘一7两边除以原方程两边,再与原方程相加,平方整理: 8劣2一1 12一19二0。解得:x,=一1,x:=… 相似文献
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《中等数学》1990,(4)
一、填空题 1.若存在实数a,A和正数x’使等式、侧一云二了月成立.则A”____。:.有一辆车,其前轮周长为。兵米, 1‘后轮周长为,1、,,b,布叫术 j贝巧前进米,才能使前轮回转次数比后轮回转次数多99次。 3.在梯形ABCD中,已知下底BC=1991,上底AD=1989夕M在下底BC上,且S△幼,,:S梯形AM。D=1:1989,则CM的长是_ 4。若关于x的二次方程护一Px十口二0的两根的差为1,用P来表示q,则q二_。.已知x=1092亿元一召丁 2,=l。92叼顽士述I,则(:一,) Z 侧牙厂分y一粉2 ,俩值是_. 6.已知三个非负数a,吞,c满足条件: 3a Zb c二5,2口 右一3c=1。记S=3a b一7… 相似文献
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一、证明不等式 例1已知护十5犷一4x,=2,求证:’!x十:}(2了了. 分析:将条件二’十5刀’一4T夕二2的左边配方,得(x一2必’十犷=2.由三角公式sin’8+eo:’口二1,想到(v/丁sins)’+(、/万cos的’二2,故可作如下三角代换,①、②联立解得{X=万二代入}x十川即可。 证明:由x’+5万’一连x万二2得仕一2妇2丫一2刀二了丁s笼no 万二训丁eos口,解得产!、、令 ,曰 一一 万 十令 fx一29== 场二了丁了丁s如力eos白 {认一二了了(51。夕+3cos口) 又夕二了丁co:日.,.}x十刀}=、/丁{5 in夕+3eos夕)=训百。、‘丁6{:;n(口+印)}①②解方程4二、l一“)-(1+x’)侧… 相似文献
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题:i正明点P(x。,夕。)到直线 仁Ax十B方十C=o的距离 d钊A从+By。十Cj/侧灭万不百顶。 说明:因为当卫=O或B二0时,公式显然成立,以下仅对月x。+刀,。+CI/}川,PN卜{x。+(B穿。十C)/A!钊月x。十B刀。十Cj/!月},}万N卜。爪再颤亘三甄厄石公二.~还不丁百万v’月’““召刀B午o的情况进行证明。二侧万2一万了2!Ax4一召从*口!/!且·川证法一(等积法如图一作尸肛厂y轴交l于M(x。,一(Ax。+C)/B),图一作pN了x轴交门二N(一(By。十C)/月,夕。) d=}PHi_!PMt·}PN{ !MN}_{Ax。+B,:+Cl 、/月2十BZ。{pM!二{万。+(姓x,+C)/Bl证法二。(相似… 相似文献
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题:设z〔R,:/(l+22)〔R。则12卜1。 证法一:利用复数的代数式。设之二a+b云(今今0,a,乙〔R),有z八1+‘2) 、_a+a乙“+as+吞(1一aZ一西2)玄 一_一「而卜--一 丫!1+:名I’>o,由已知得:b(l一a,一bZ)=O,又b斗O, .’.砂十b,二1,故}川=侧妥‘不丢三二1, ·证法二;利用复数的三角式。 设之二犷(coso+isino)·(了)o,‘ino钾0), 有:八1+:’)=下(。050+1 sino).=2,z:=1,故}:卜1。 汀法五:利用二共扼复数的积为一实数 48(1+,·“广。”20一下’sinZ。)小+“’[,由分子的虚部了(x一:“)sino=o,故,=1。 证法三:利用一个实数的共辘复数仍是这个数。 由… 相似文献
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‘一:蔫万=“尤,(“>。)①与直线夕二二一、.;②相交于点只(一2,2)、B。从点且、刀弓!平行 1于y轴的直线与二轴分别交于』饭C、刀。点一1.(数的计算)计井l:列行题:自)(一5,‘一5’x3(2)(了爪十5、(5一歇万)蔚分’、暇二打2了了召丁一1.﹃一一2一3.训(3)2(4)苍-2,(因式分解,展开,连比,二次方径,一次不等式,不等式组的整数解)解答一厂列各题: (1)因式分解‘’一2万,一2、+2驴十l。 (2)化简(“一b,2)2一(a一b)‘(a一吞+3)。 ~、、,.男万之,,卜_劣一称十之,、 气O少三!一干二不了一二,“U,弓、凡二二一一芍曰一分蕊t几}利 ’j)O石x十y一乙之__… 相似文献
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第一试一、选择题 ‘·(”,·取特殊值“一子,“一0代入,否定‘、t),‘B),(C),从而肯定(D)对. 2.(B). ,.’z为复数,…:一l也为复数. 令‘=“一l=“一卜bt’,则已知条件可变为中不共面的棱共三对,如图中的AB与cD,AC与BD,BC与、ID.这三对棱长分别相等时为此题所求,故应选(A). 5.(刀). 此题可用画图作出,如下图所示. 故x一。或、二:. 从而,。一b一。或b~o,此,二二:十l为实数. 3.(D). 了az一be一吕a一卜7=O,得x为实数.因Lb“+c艺+bc一6a+6=0。②一①,整理得 b+。=士(a一」).又由卫,得 b。=aZ一sa+7_ 此题还可通过分析导出一般的公式: 若… 相似文献
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《中学数学教学》1988,(4)
四川蓬澳县教师进修学校周余孝题:、长函数夕=x+了Ib牙二乏5二无万的值 (封一x)三二10x一23一名望即Zx资一2(g+。)劣+(,,·厂23)二o⑤ ,.’劣是实数,又 .,.△==4(奋+5)2一心xZ(升子+23)势0解得3《肚‘7 将沙==3代入③得:=4满足②,,’.甘‘.,a’ 将,=7代入③得:=6满足②,稿。来.域解t‘.’夕=x+认10x一23一x,10x一23一劣2奋O5一斌万《丫《5+了万由①可得①②令得少。.二了。函数夕=x,亿1石无二乏丁而百的值域是〔3,7〕。 解答错了!错在哪里? 因为方程③是方程①的结果,即方程①的解都是方程③的解,但方程③的解不一定是方程①的解。事实上,… 相似文献
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一元二次方程根与系数的关系定理又称为韦达定理:若一元二次方。。六卜 c一o(。、O)两缈根为!卜、;则%1 、一二含,xl’劣2一去其逆定理也成立续口果两个实数与 二沪一含丙、二舍测卜翔是方程i青文点注: 题中a尹b不可少,不然叭石不一定是二2 4劣二3二。的才民 蘸肇设、‘为撇漆L矛 4“一3一味“2士升-3=o(“一兴妇产办仰b’的值---。的篡黯霭髯默猛壤猛雾东万b二一4,。石二一3._一_所以r龙2石 赫2=。b(, b)二(一3)x(一4)=12二、解分式方程敛翻解方程2%2 4‘ 5 1xZ十2无 2=4解:原方程整理,得2(妙 Zx 2)十 l_劣2 二2% 23又2(扩 2二十2)与 1… 相似文献
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这是熟知的著名不等式—H61der不等式a,m牛a,,产‘+…+a_’“_/a,+aZ+一+a.、成 刀一\月I此处:a*(R+,i=1,2,…,:,。、,:(N.求证(瓦十会)’+(凡十士)三十二十(付彩 巧用H61der不等式,可以使一类代数、三角、只何不等式的证明显得特别简洁明燎.+资。)’知小十封’例1证明若正数a+b=1,则a‘。一卜b,‘,》512一,.依H6lder不等式,aio+b‘o 2、/a+b\10户多妞--气二-~I一、乙j证明依H6lder不等式,了K.+李丫、.了K,长上)’一。,.r汀人一。一1、、一二‘K:/‘、一“凡/’‘又一“‘龙/ 打卫K 1.‘不丁= 11024’!“才 一 一 一。。‘二al。+b10… 相似文献
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《中等数学》1990,(4)
一、填空题1.分母有理化:5.必}}望,AC=且D=DE=EA二BD3十2训丁一v丁一、/万乙BDC=28。,止ADB=421 侧丁一了丁则乙B刀C 2.设a,乙是整数,有一个根是了7一4侧丁,方程x“一*ax b=0则a 石二_. 3.分解因式:xZ P口(P g)(P一口)=_ 4.已知191.4=a,一(P“ 92)x1 93。5=b,则1 976.把(x“一x 1)6展开后得a;:x’2二1,上a;,x’‘十…于a:x“ a,x 口。,则a,:一夕冈十as片一a匕 a4十a一 a。= 7.在正方形ABCD中,E在BC上,BE=2,CE二1,尸在BD上,则P刃和尸C的长度之和最小可达到___. A__._一D五F=2,则矩形ABCD的面积是((A)吸C、4了丁.(D (B)3… 相似文献
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题设z是一个复数,且{z卜1,求122 训了一3f’1的最大值与最小值,并求取得相应最大值与最小值的复数:。1。代教法 解法1.设刁==a bi(a、b〔R),财由!21=1,得a么 bZ=1。由此得 122 了丁一3i{=2了4十7了厅二息乙。令犷二4 斌了a一3b,(,>0) 则有夕=4 训丁a士3侧1一砂,移项得梦一了丁a一4=士3、/I二一砂,两边平方整理得 12‘, (8了丁一2了丁,)a 92一8召 7 二O。① 由于}a}《1,。〔刀,关于a的一元二次方程①的判别式△二(8训丁一2、/丁妇“一48(g,一8夕 7)》0即万1一8封 4《0,②.’.4一2记丁《对《4 2侧丁,③.,.当,二4 2、/丁时,}22 、/丁一31}。… 相似文献
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求了1979一了不万而百百厄灰万丁丽而弓一了I可而十了丁不而万百而而不花丽了呈之值命x=了1979一了不石百万可砚而万丁丽而厄一了1979十了乏咬万石万百贾厄石石了二厄丽石厄,二2二2 x 1979一2杯19792一2x1979x20丽十2000“=2Xi979一2亿(而79一200石砰解则=3958一2义21”3916-而x<0,.’.x=一了感亏16.k为什么实数时,二次方程(妙一5左+6)x2十(3左一7)x+2二。的两根都是整数?解原方程可分解为〔(*一2)x+1〕〔(k一3)x十2夕=0..’.两根为x,= 12一掩’ 23一左.显然x飞今。,xZ斗。.由此得出2一1一=k一3一一里一, Xl当xl十l=士1,士2时,即x、=o,一2… 相似文献
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题目:为正变数,小值。 解:’:已知a、b为正常数,x、g_ab且万+下二1,求x+夕的极 四沙a西了+了=1~a乙_月二—十一二子‘2 不y.{a乙丫Xy, 一一b一夕 去ia一x尹!!、t .’.了x女)2侧ab, 又x+刀》2了x岁)4侧时,.’.x十y的最小值为4训助. 题目及解答均选自陕西科学技术出版社出版的《中学代数解题方法》一书P 359例27。笔者认为解答是错误的.剖析如下: 上面的解答中两次使用了重要不等式A十B)2侧且B,但都忽视了等号成立的条件(当且仅当A二B时取等号),、砂今厂岁》重要不等式求函数的极值应注意等号成立的条件.下面给出两种正确解法。 解法一(重… 相似文献
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.1...J一、代入法代入计算是求代数式位的呆常用的方解:原式一l(a l))2一4a乡(a一b)2 4abL(a一b)a 乙 一一飞....J法,一般都是化简后,再代入求值=将求(a 乙)(a一乙)=aZ a一b(a b)2a一乃一一bZ卜例1已知创53,,4a乡\z、“一”十不侧_气“十占一刀 了5a=二2乙二一粤代入 ‘即求得原式的值飞7P qi一夕 一i一户为1. 有时利用分母有理化,往往可以简化运算过程. 例2已知:解:由_卫几很夕士旦- P十q”P qP=1’“F工十万一万-1“1,.工_生以二七q二=这里土玉迄_,. 亿3一了2’,’‘ xZ十xxZ一4x一5的值。(层一 韵’一(备一韵’十4一5.及十卫二士了… 相似文献
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本文结合实例说明平方差公式(a 乙)·(。一乙)=aZ一乙2的变形:由变形公式,得(x一1)’一1’<-23。。一(宁)’一(宁)’麒应用.即(x一1),1火,不 O一夸<一1<宁 一、在计算中的应用 例1计算:(训了 侧石十侧初(侧了 侧万一侧丁)(了了十训丁一侧万)(训万 侧丁一侧了)(1986年美国中学生数学邀请赛试题) 解:由变形公式,得 原式=〔(侧亏 训石)2一(了丁)2〕〔(侧万)“一(侧亏一了石)2〕=(4 2侧30)(2侧30一4)=(2训30)’一42=104. 二、在分解因式中的应用 例2分解因式:(a b一Zab)(。十白一2), (1一a乙)2.咬1985年长沙市初中数学竞赛试题) 解:由变形公式… 相似文献
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《中学数学教学》1988,(1)
题:劣2上海市崇明县新风中学曾川来稿过刀(o,b)作椭圆1(a>b>0>)的弦,求弦最大值。 解设P(x,劝尸_椭圆上任一点则上几{BP!2=xZ+了份一b)2厂 二x“十y’一Zb,十乙”、、叹九_由xZ/护十犷/l>’二1得) 一︸尹一尸二’二(a’/b’)(6’一岁’),代入卜式不({ !BP】’=一(e丫bZ)夕2一Zb夕+a“+b’(.) 一(CZ/bZ)<0 }B尸12有最大值 l/}O刀}+l/!OB!了 1!O月!2 1OB!=〔(乙’一aZ)/(a 2b2)2一+一}+(2/ 2O且·}0君{a 2b2)4·(一cZ/b2)(aZ+b:4.(一c’/(Zb)一鱿 C州+训含(aZ+b’)’。in’20一a 2b2门一/b }BP}的最小值为aZ/c。 解答错了!错在那… 相似文献