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高中数学课本第二册第189页有这样一道习题: “长2a的线段,其端点在两个直角坐标轴上移动,从原点作这线段的垂线,垂足为M,求M的轨迹的极坐标方程,再化为直角坐标方程。”教学参考书从AB在第一象限的情况得出ρ=2acosθ·sinθ=asin2θ然后叙述,“设AB在其它象限,可得与ρ=asin2θ相同的极坐标方程。”在化为直角坐标时,两边同乘以ρ~2得ρ~3=2a·p sinθ·p cosθ求出曲线的直角坐标方程为 相似文献
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由平面直角坐标和极坐标的互化公式x=ρcosθ、y=ρsinθ,可得极坐标系中两点P_1(ρ_1,θ_1)、P_2(ρ_2,θ_2)所决定的直线的斜率公式为: K_(p_1P_2)=(ρ_2sinθ_2)-ρ_1sinθ_1)/(ρ_2cosθ_2)-ρ_1cosθ_1)。本文拟应用这一公式来证明平面几何中有关直线互相垂直的一些问题。 相似文献
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曲线的极坐标方程与直角坐标方程互化时,必须注意两者图形必须一致的原则,例如欲把曲线的极坐标方程ρ=5tgθ,化为直角坐标方程,若由ρ=5tgθ,得ρ=5sinθ/cosθ 相似文献
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把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程,如果化法不当就会化错,例如江苏教育学院,无锡市教学研究室编的高中、数学第二册教学参考书中(以下简称参考书)有两处就发生了错误第一处是习题二十三9题(1),把ρ=5tgθ化为直角坐标方程,参考书中的答案是x(x~2+y~2)~(1/2)=5y。根据答案可知题目的作法是以ρ=(x~2+y~2)~(1/2),tgθ=y/x代到ρ=5tgθ中 相似文献
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从近几年的高考试题来看,极坐标与参数方程始终以选考题的形式出现,主要考查极坐标方程和直角坐标方程的互化,直线、圆及椭圆的参数方程与普通方程的互化等内容.1参数方程、极坐标方程与普通方程的互化极坐标与直角坐标的相互转化中,将直角坐标方程转化为极坐标方程比较容易,只需将公式x=ρcosθ,y=ρsinθ直接代入并化简即可.将极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些,求解此类问题,常用方法有代入法、平方法等,还经常会用到同乘(或除以)ρ等技巧. 相似文献
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现行全日制普通中学数学教科书 (试验修订本·必修 )第二册 (上 )第七章“直线和圆的方程”中有这样一道习题 :求函数 f (θ) =sinθ- 1cosθ- 2 的最大值和最小值 .编者把此题放在这里 ,意图十分明显 ,就是可把 f (θ) =sinθ- 1cosθ- 2 看成是定点 ( 2 ,1 )与单位圆 x2 + y2= 1上的动点 ( cosθ,sinθ)连线的斜率 ,从而问题转化为求斜率的最大值和最小值 .笔者由此得到启发 ,对动点在常见曲线上的“分式三角函数”的最值问题作如下探讨 ,供教与学中参考 .1 构造直线例 1 求 y=3sin x- 1sin x+ 2 的最值 .分析 因为 y=3sin x- 1sin x- … 相似文献
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本文应用极坐标系中过P_1(ρ_1,θ_1),P_2(ρ_2,θ_2)两点的直线方程:sin(θ_2-θ_1)/ρ=sin(θ_2-θ)/ρ_1 sin(θ-θ_1)/ρ_2(ρ_1≠0,ρ_2≠0)来证明几何中关于线段相等的竞赛题。这一直线极坐标两点式可应用坐标互化公式:x=ρcosθ,y=ρsinθ代人直角坐标系两点方程:(x-x_1)/(y-y_1)=(x_2-x_1)/(y_2-y_1)中,通过三角恒等变形得到。例 1 以等边△ABC的边BC作直径向形外作半圆。在这半圆上取点K和L分半圆 相似文献
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题目给定曲线族()22sinθ?cosθ 3x2?(8sinθ cosθ 1)y=0,θ为参数,求该曲线族在直线y=2x上所截得的弦长的最大值.(1995年全国高中数学联赛第2试试题)解曲线族与直线y=2x相交于原点O(0,0)和另一交点为()P x0,y0,显然x0≠0,并且x0,y0满足方程()()2228y0?4x0sinθ y0 2x0cosθ=6x0?y0,构造向量()22a=8y0?4x0,y0 2x0,b=(sinθ,cosθ),由?a b≤a?b≤a b,即a?b2≤a2b2(当且仅当a,b共线时取等号),得[(8y0?4x02)?sinθ (y0 2x02)?cosθ]222222222≤[(8y0?4x0) (y0 2x0)](sinθ cosθ),即(6x02?y0)2≤(8y0?4x02)2 (y0 2x02)2(*),把y0=2x0代入(*)并… 相似文献
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运用极坐标法证明这类问题时,主要利用两点p_1(ρ_1,θ_1)、p_2(ρ_2,θ_2)间的距离公式:|p_1p_2|=(p_1~2+p_2~2-2ρ_1ρ_2cos(θ_1-θ_2))~(1/2)和过这两点的直线p_1p_1的方程:sin(θ_2-θ_1)/ρ=sin(θ_2-θ)/ρ_1+sin(θ-θ_1)/ρ_2。这一公式和方程都可利用坐标互化公式:x=pcosθ、y=ρsinθ代入直角坐标系的相应公式和方程中,结合三角知识得到, 这类问题的证法和步骤是: 第一步,首先按照几何图肜的特点,适当建立极坐标系,并根据题设,设置有关各点的坐标; 第二步,再应用上述公式和方程求出有关线段的 相似文献
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极坐标的应用十分广泛,涉及圆锥曲线焦点弦的有关问题,可建立焦点极坐标系,利用椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程ρ=ep/1-ecosθ,或建立直角坐标系,运用坐标关系x=ρcosθ y=ρsinθ,把问题转化为极坐标,用极坐标法解.此法使问题化难为易、化繁就简,具有解法新颖巧妙、过程简单等特征. 一、求值问题:求圆锥曲线焦点弦长,与焦点弦有关的角、线段、点线距离、图形面积等,用极坐标法解,可避免解方程组求交点坐标、运用直标公式作繁琐运算. 例1 椭圆长轴|A_1A_2|=6,焦距 相似文献
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在曲线的极坐标方程化到曲线的直角坐标方程时,常用到ρ~2=x~2+y~2。故ρ=±(x~2+y~2)~(1/2)。怎样确定“+”、“-”号?现在举例说明如下: 1.用ρ=(x~2+y~2)~(1/2)的情况。例1.化极坐标方程e~ρ=2+cosθ为直角坐标方程。解.因为2+cosθ≥1,所以原方程中ρ≥0,因此ρ=(x~2+y~2)~(1/2)。由e~ρ=2+cosθ得ρe~ρ=2ρ+ρcosθ。从而原方程可化为 (x~2+y~2)~(1/2)e~((x~2+y~2)~(1/2))=2(x~2+y~2)~(1/2)+x。例2.把极坐标方程ρ=1+cosθ化为直角坐标方程。 相似文献
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文[1]及文[2]全国高中数学联赛模拟试题(二)第二试(题一):在直角坐标系xOy中,设点P的坐标为(3,4),点Q和点R分别在x轴的正半轴上及y轴的正半轴上,使得PQ=QR=RP,试求PQ的长度.文[1]及文[2]分别讨论了它的解,本文进一步探讨并给出更为简洁的解法及命题的推广.解法一(三角法)如图,记PQ=QR=RP=a.作PE⊥x轴于点E,PF⊥y轴于点F,记∠R PF=θ,则∠R PE=900?θ,∠Q PE=600?∠R PE=θ?300,所以cos3,cos(30)4.aaθθ?????=?°=②①P(3,4)Q R xy O F E由②得a?cosθ?cos300+a?sinθ?sin300=4,并由①,即33sin14?2+a?θ?2=.从而a?sinθ=8?… 相似文献
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于晓茹 《数理化学习(高中版)》2007,(Z1)
题目已知sinθ+cosθ=51,θ∈(0,π),则cotθ=·这是1994年的一道高考题·该题解法颇多,除了通常的平方法,求sinθ、cosθ值外,本文再给出其它几种转化法·解法1:(定义法)设sinθ=5y,cosθ=5x,则有y5+5x=51,(5y)2+(5x)2=1·化为y2-y-12=0·由θ∈(0,π),知y>0,x<0,可解得y=4,x=-3·从而cotθ=yx=-43·解法2:(辅助式)设sinθ-cosθ=m,与sinθ+cosθ=51联立,两式平方后相加,可得m2=4259·由题设可知θ∈(2π,34π),则sinθ>cosθ,故m=57·再将sinθ-cosθ=75与sinθ+cosθ=51相加减,得sinθ=54,cosθ=-53,从而cotθ=-43·解法3:(巧设等差数列)… 相似文献
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张全合 《中学生数理化(高中版)》2006,(4)
高中数学(人教版)第一册(下)第88页题19:已知sinθ+cosθ=2/3, 求sin2θ的值．现将sinθ+cosθ=2/3两边平方,易得sin2θ=-5/9．顺水推舟,由2sinθcosθ=-5/9两边乘以-1后再加1得(sinθ-cosθ)2=14/9,解方 相似文献
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玉邴图 《数理化学习(高中版)》2008,(4):4-5
我们把结构优美的三角公式sin(x y)sin(x-y)=sin2x-sin2y叫做正弦平方差公式.它是人教版高中数学课本第一册(下)习题4.6第7题的第(4)题,它和它的变式具有广泛的应用.一、原式的应用例1(湖南高考题)已知sin(π4 2x)sin(4π-2x)=41,x∈(4π,2π),y=2sin2x tanx-cotx-1,则y=.解:可 相似文献
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现行中学三角课本中有形如sin f(x)=sin φ(x),cos f(x)=cos φ(x),tg f(x)=tg φ(x)的三角方程、如60节的例3例4以及习题二十一的4(2)(3)等题,书中是借助于和差化积公式将它归在使方程一边为零而把另一边分解因式的解法之中,本文拟提出另 相似文献
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我们把结构优美的三角公式sin（x＋y）sin（x-Y）=sin^2x-sin^2y叫做正弦平方差公式．它是人教版原高中数学课本第一册（下）习题4．6第7题的第（4）题,它和它的变式具有广泛的应用． 相似文献
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复数的三角式r(cosθ+isinθ)是用一对有序实数r、θ确定复数Z及其在复平面上的对应点(r≥0,0≤θ<2π).在平面极坐标系中,也是用一对有序实数p、θ(p≥0,0≤θ<2π)来确定点的位置,而且化成直角坐标后x=p·cosθ,y=p·sinθ恰与复数的实部、虚部的系数类同.于是,有些复数问题,在某种条件下,应用极坐标法解更为简 相似文献