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1.
武红斋 《中学生数理化(高中版)》2005,(Z1)
由组合数Cn0,Cn1,Cn2,…,Cnk,…,Cnn可组成很多有趣的恒等式,叫做组合恒等式. 有些组合恒等式,若用代数推导来证明,其繁杂程度令人生畏,如果构建恰当的实物模型,问题即可迎刃而解. 例1求证(cn0)2+(Cn1)2+…+(Cnn)2=(2n)!/n!n!. 相似文献
2.
《中学生数理化(高中版)》2006,(5)
一、赋值法例1证明下列等式:(1)C0n C1n C2n … Cnn=2n;(2)C0n C2n C4n …=C1n C3n C5n …=2n-1.证明:由二项展开式知(1 x)n=C0n C1n·x C2n·x2 … Cnn·xn.(1)令x=1,则(1 1)n=C0n C1n C2n … Cnn.即C0n Cn1 C2n … Cnn=2n.(2)令x=-1,则(1-1)n=C0n-C1n Cn2-Cn3 … (-1)n·Cnn. 相似文献
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一个有关组合数的恒等式是 :C1 n+ 2C2 n+3C3n+… +nCnn =n· 2 n- 1 (n∈N ) .下面给出它的三种不同证法 ,其中第三种证法出人意料 ,简洁优美 ,有绝妙之处 .证法 1 倒序相加法 .设Sn =C1 n + 2C2 n + 3C3n +… + (n-1)Cn - 1 n +nCnn,则Sn =nC0 n+ (n -1)C1 n+ (n-2 )C2 n+… +Cn- 1 n ,两式相加 ,得2Sn =n(C0 n+C1 n+C2 n+… +Cn - 1 n +Cnn)=n· 2 n.∴Sn =n· 2 n- 1 .证法 2 逐项转化法 .mCmn =m· n !m !(n -m) !=n· (n -1) !(m-1) !(n -m) !=nCm - 1 n- 1 ,分别令m =1,2 ,3 ,… ,n并分别相加得 .C1 n+ 2C2 n + 3C3n+… 相似文献
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赵振华 《中学生数理化(高中版)》2006,(5):89-90
14.证明:(C0n)2 (C1n)2 (C2n)2 … (Cnn)2=C2nn.(ji m15363@sina.com)证明:C2nn可以看成是从2n个不同元素中选出n个元素的组合数,而若将这2n个不同元素分为各有n个元素的A、B两个?集合,则从A∪B中任取n个元素的组合可分为以下情况:(1)从A中取0个,从B中取n个,有C0n·Cnn种取法; 相似文献
5.
导数是高中数学新增内容 ,引入导数后增加了我们研究函数的工具 ,使有的用传统方法研究感到困难的问题变得简单 .我们应努力开发“导数”的解题功能 ,使它发挥更大作用 .现就几方面的应用 ,举例说明 ,以期抛砖引玉一、巧用导数求和例 1 求 C1n+2 C2n+… +r Crn+… +n Cnn,n∈ N*的和解 :根据 ( xn )′=nxn- 1可联想到它是另外一个和式的导数 .∵ ( 1+x) n =1+C1nx +… +Crnxr +Cnnxn两边都是关于 x的可导函数 ,求导得 :n( 1+x) n- 1=C1n +2 C2nx +… +r Crnxr- 1+r Cnnxn- 1令 x =1得 :C1n +2 C2n+… +r Crn +… +n Cnn=n . 2 n- 1.… 相似文献
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谢斌 《四川教育学院学报》2002,18(12):34-35
用构造思想解决问题具有一定的创造性和启发性。一些数学问题用构造思想作为辅助手段来解决 ,使解题变得简单、快捷。本文第举一些实例对构造思想解题做一些探讨。一、构造函数解题构造函数法是运用函数思想 ,对问题进行观察、分析 ,构造也与问题有一定联系的函数 ,利用函数的知识来解决问题的一种方法。1、构造函数证明不等式构造二次函数模型Ｆ(ｘ) =(ａ1 ｘ -ｂ1 ) 2 +(ａ2 ｘ -ｂ2 ) 2 +… +(ａｎｘ -ｂｎ) 2 考虑到Ｆ(ｘ)≥ 0 ,有△≤ 0 ,即 (ａ1 ｂ1 +ａ2 ｂ2+… +ａｎｂｎ) 2 ≤ (ａ12 +ａ22 +… +ａｎ2 )·(ｂ12 +ｂ22 +… +ｂｎ2 )… 相似文献
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8.
用导数证明不等式是证不等式的一种重要方法,证明过程往往简捷、明快,特别是证明超越不等式,更是如鱼得水.证明的第一步要考虑如何构造函数,是证明的关键.若函数构造恰当,把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值,从而证得不等式.本文谈谈在用导数证明不等式时,构造辅助函数的几种常用途径.途径一构造差函数直接作差,即构造差函数,是构造辅助函数的最主要方法.例1求证:不等式x-x22<1n(1+x)0,所以y=f(x)在(0,+∞)上单调递增,因为x>0,且f(x)在… 相似文献
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根据题设条件和题意要求 ,巧构函数 ,活用函数的单调性 ,实现问题转化 .由此 ,既可简化运算过程 ,又可明快证明结论 ;既可探索解题捷径 ,又可发现解题方法 .本文就此举例探究 .1 构造函数方程例 1 解方程 4x +2 -7-x +3 =0解 :由观察可知 ,x的取值范围为 :-2≤ x≤ 7令 F ( x) =4x +2 -7-x +3 ,因为在区间 [-2 ,7]上 ,f ( x) =4x +2单调递增 ,g( x) =7-x单调递减 .所以 F ( x) =4x +2 -7-x +3在 [-2 ,7]上单调递增 ,又 F ( -2 ) =0 ,所以由函数单调性可知 ,原方程的解为 x =-2 .2 构造函数解不等式例 2 解不等式 3 x +1>3 -x解 :构造… 相似文献
10.
2005年数学高考浙江理科卷压轴题(第(20)题)如下:设点A n(xn,0),Pn(xn,2n-1)和抛物线Cn:y=x2+anx+bn(n∈N*),其中an=-2-4n-12n-1,xn由以下方法得到:x1=1,点P(2x2,2)在抛物线C1:y=x2+a1x+b1上,点A(1x1,0)到P2的距离是A1到C1上点的最短距离,…,点Pn+(1xn+1,2n)在抛物线Cn:y=x2+anx+bn上,点A(nxn,0)到Pn+1的距离是An到Cn上点的最短距离.(Ⅰ)求x2及C1的方程.(Ⅱ)证明｛xn｝是等差数列.此题主要考查多项式函数的导数、导数的应用、等差数列、数学归纳法等基础知识,以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力.关注知识网络的交汇点,强调知… 相似文献
11.
排列、组合是中学代数中一块相对独立的内容 ,学好这部分知识对提高学生的数学思维能力有积极的促进作用 .而解决这类问题的思考方法与其它代数内容有所不同 ,不能仅靠代数的逻辑推理 .本文就这部分知识中组合恒等式的证明谈几种常用的方法 .1 通项研究法通项研究法是指从研究其通项入手 ,通过变形、化简 ,显现出所证恒等式的内在规律 ,从而使原恒等式得证 .例 1 求证 :C0n+ 12 C1 n+ 13C2n+… +1n+ 1 Cnn=1n+ 1 ( 2 n+1 - 1 ) ,证明 左边第 k项为1k Ck- 1 n =1k· n!( k- 1 ) ![n- ( k- 1 ) !]=1n+ 1 · ( n+ 1 ) !k![( n+ 1 ) - k]!=… 相似文献
12.
李家煜 《数学大世界(高中辅导)》2006,(Z1)
等比数列求和公式Sn=a1(11--qqn)(q≠1),其结构优美、和谐.若用此公式证明不等式可简捷求解.既可培养学生思维的灵活性、创造性,又可缩短思维的回路、优化解题过程.下面举例说明.一、直接公式【例1】证明1 21! 31! 41! … n1!<2(n≥2,n∈N )证明:1 21! 31! 41! … n1!<1 12 212 相似文献
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关于C_n⊙k_1的(r_0,r_1,r_2,…,r_n)-冠的优美性(n=3,4) 总被引：2，自引：0，他引：2
给出了Cn⊙k1的(r0,r1,r2,…,rn)-冠的定义,讨论了(当n=3,4时)Cn⊙k1的(r0,r1,r2,…,rn)-冠的优美性,用构造性的方法给出了(当n=3,4时)一些特殊的Cn⊙k1的(r0,r1,r2,…,rn)-冠的优美标号.证明了(当n=4时)一些特殊的Cn⊙k1的(r0,r1,r2,…,rn)-冠是交错图. 相似文献
14.
构造函数解决与不等式相关问题是很常见的,但通常都是构造单调函数,并利用其单调性来完成解答.本文介绍一种新的构造方法,它不是利用函数的单调性,而是应用函数值在其变量取值范围内有确定符号来解题.下面举例来加以说明.例1已知a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn∈[1,2],且∑ni=1ai2=∑ni=1bi2.求证:∑ni=1ai3bi≤1107∑i=n1bi2.证明:构造函数f(x)=(x-12)(x-2)(x+25),则当21≤x≤2时,f(x)≤0故x3-2101x2+52≤0,即x3≤2101x2-52.又21≤abii≤2,所以abi33i≤1210ba2ii2-52,所以ab3ii≤2101ai3-25bi2.故∑ni=1ai3bi≤2110∑i=n1a2i-52∑i=n1bi2=2101∑i… 相似文献
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“构造法”是一种重要而灵活的思维方式,它没有固定的模式,需要有敏锐的观察;丰富的联想、灵活的构思和创造性的思维等能力,故有一定的难度.应用构造法解题关键有两点:(1)要有明确的方向,即为什么目的而构造;(2)必须弄清条件的本质特点,必须进行构造,从而达到解题的目的.本文通过具体的实例来说明构造法在解题中的应用.1构造函数式构造函数式是指构造一个函数表达式,利用函数的性质进行解题.例1设ai、bi∈R(i=1,2,3,L,n),求证:(a1 a2 L an)(b1 b2 L bn)222222≥(a1b1 a2b2 L anbn)2(柯西不等式).分析从不等式的形式来看与一元二次不等式中… 相似文献
16.
《中学数学杂志》2005,(7)
构造函数,将不等式问题化为函数问题,再利用导数来解决,这为简化解题思路提供了新的方法.例1(2004全国卷二22题)已知函数f(x)=ln(1 x)-x,g(x)=xlnx,(Ⅰ)求函数f(x)的最大值.(Ⅱ)设0相似文献
17.
何宗祥 《中学数学教学参考》2000,(4):33-34
有些不等式的证明 ,如果采用常规方法 ,往往不易下手或比较冗繁 ,但若从函数思想考虑 ,按照函数的某些性质适当地构造函数模型 ,问题可能容易解决 .一、利用单调性构造函数模型证不等式构造一个函数 ,使原不等式 (或经等价变形后 )的左右两边是这个函数在其一个单调区间上的两个值 ,就可以利用函数的单调性证明不等式 .例 1 已知ｘ >0 ,求证 :ｘ 1ｘ-ｘ 1ｘ 1≤ 2 - 3.证明 :设ｕ =ｘ 1ｘ,则ｕ≥ 2 .又ｕ2 =ｘ 1ｘ 2 ,∴ ｆ(ｘ) =ｘ 1ｘ-ｘ 1ｘ 1=ｕ -ｕ2 - 1=1ｕ ｕ2 - 1.当ｕ≥ 2时 ,这是一个关于ｕ的减函数 ,故当ｕ… 相似文献
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构造函数法是证不等式的一种重要方法 ,本文谈谈构造函数法证不等式的几种思考途径 .途径一 利用函数的单调性构造一个函数 ,使原不等式 (或经等价变形后 )的左右两边是这个函数在某一个单调区间上的两个值 ,就可以利用函数的单调性证明不等式 .例 1 已知ａ、ｂ、ｃ∈Ｒ ,且ａ ｂ ｃ =1,求证 :ａｂｃ 1ａｂｃ≥ 2 712 7.证明 令 ｆ(ｘ) =ｘ 1ｘ ,取 0 <ｘ1<ｘ2 <1,则ｆ(ｘ2 ) - ｆ(ｘ1) =(ｘ2 -ｘ1) 1ｘ2 - 1ｘ1=(ｘ2 -ｘ1) 1- 1ｘ1ｘ2 <0 ,所以 ｆ(ｘ)在 (0 ,1)上为减函数 .又 0 <ａｂｃ≤ ａ ｂ ｃ33=12 7,∴ｆ(ａｂｃ) ≥ ｆ 12 … 相似文献
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题设xi>0(i=1,2,3…,n),x1+x2+…+xn=1,n≥2,n∈N+,证明或否定:(x1+x2+…+xn)11+1+3x1+11+1+3x2+…+11+1+3xn≤n2n+n+3.(注供题人对第一个给出正确证明与否定的人提供100元的奖金)有奖解题擂台(80)@孙文彩$广东省深圳市平冈中学!邮编:518000 相似文献
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兵法说:凡战者,以正合,以奇胜.数学解题中的“正”即指常规思维、方法、解法,“奇”即指发散思维、巧解、妙解.在数学解题时若能充分挖掘题目隐含信息,整合学科知识,大胆构造,就会起到“山重水复疑无路,柳暗花明又一村”的效果. 1 构造函数 在证明不等式时,通常采用作差法构造函数,通过判定函数值与0的关系达到证明不等式的目的.某些代数式直接化简较困难,合理构造函数,就能化繁为简. 例1 已知0a>,211ba= ,求证:3在2a和2b之间(包括边界). 分析 本题的常规解法是分类讨论,但我们可以根据“若()()0abac--?则a在,bc之间(包括,bc)”,构造… 相似文献