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1.
贝努利不等式 :设 x>- 1 ,且 x≠ 0 ,n是不小于 2的整数 ,则 ( 1 x) n>1 nx.这个不等式的证明方法之一是用数学归纳法 .读者可参考现行课本代数下册 ,也可用均值不等式证明 :对 n∈ N,n≥ 2 ,当 - 1 0 ,1 nx≤ 0 ,因而 ( 1 x ) n>0≥ 1 nx,故不等式成立 ;当 x>- 1n且 x≠ 0时 ,n 1 nx =n ( 1 nx)· 1· 1… 1(n- 1 )个<( 1 nx) 1 1 … 1n =1 x,∴ ( 1 x) n>1 nx.此处不等式严格成立在于 x≠ 0综上 ,只要 x>- 1且 x≠ 0 ,均有 ( 1 x) n>1 nx( n≥ 2 ) .下面给出定理的应用例 1 已知 … 相似文献
2.
从一类对象或一个范畴的研究过渡到更广的一类对象或更广范畴上的研究 ,称为推广。类比是数学命题推广的一个工具。从逻辑上说 ,推广就是将数学命题的外延扩大 ,来研究它的内涵变化特点。在历年高考试题中 ,推广类试题曾多次出现。1 在不等式中的推广例 1 已知x∈ ( 0 ,+∞ ) ,由不等式 x +1x ≥ 2 ,x +4x2 =x2 +x2 +4x2 ≥ 3 ,… ,由此启发我们可以推广为x +axn≥n +1 (n∈N ) ,则a =。分析 首先a >0 ,由基本不等式“A≥G(A为算术平均值、G为几何平均值 )”得x +axn=xn +xn +…+xn +axn ≥ (n +1 )n + 1xn· xn … xn·axn ,对照题设… 相似文献
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王增强 《河北理科教学研究》2009,(5):51-52
贝努利不等式：若x〉-1,n∈N且n≥2,贝4（1＋x）^n≥1＋nx．当且仅当x=0时,等号成立．若在此不等式中,令t=1＋x,就可得变式：若t〉0,n∈N且n≥2,则t^n≥n（t-1）＋1．当且仅当t=1时,等号成立． 相似文献
4.
从一类对象或一个范畴的研究过渡到更广的一类对象或更广范畴上的研究 ,称为推广 ,类比是数学命题推广的一个工具 .从逻辑上说 ,推广就是将数学命题的外延扩大 ,来研究它的内涵变化特点 .在历年高考试题中 ,推广类试题曾多次出现 .一、在不等式中的推广【例 1】 已知x∈ (0 ,+∞ ) ,由不等式x+ 1x ≥ 2 ,x + 4x2 =x2 + x2 + 4x2 ≥ 3,… ,由此启发我们可以推广为x + axn ≥n + 1(n ∈N ) ,则a= .分析 :首先a >0 ,由基本不等式“A≥G(A为算术平均值、G为几何平均值 )”得x+ axn =xn + xn +… + xn + axn≥ (n+ 1)n+ 1 xn · xn …… 相似文献
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常家慧 《中学数学研究(江西师大)》2022,(3)
基本不等式设a≥0,b≥0,则a+b/2≥√ab(当且仅当a=b时等号成立).最值原理设x>0,y>0.(1)若x+y=S(定值),则当且仅当x=y时,xy取得最大值S2/4;(2)若xy=P(定值),则当且仅当x=y时,x+y取得最大值2√P. 相似文献
6.
众所周知,基本不等式(x+y)/2≥、xy~(1/2)(x>0,y>0)是初等数学中的一个极为重要、应用颇广的不等式。现把它推广如下: 若x>0,y>0,a>0,b>0,且a+b=1,则有ax+by≥x~(?)y~b(当且仅当x=y时等号成立)。 相似文献
7.
用初等简洁的方法证明了一个比已有结果更加广泛的分析不等式:设k,n∈N,μ>0,xi>0,i=1,…,n,且∑ni=1xi=λ,则当k≤n-μ+1时有,Ekλx1-μ,…,λxn-μ≥nk(n-μ)k,等号成立当且仅当x1=…=xn=λn. 相似文献
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<正>《数学通报》2014年9月号问题2201如下:问题2201[1]已知a、b、c∈R+,且满足a2/1+a2+b2/1+b2+c2/1+c2=1,求证:abc≤2/4.本文从变元的个数与指数出发,利用均值不等式给出上述条件不等式的一个推广.推广已知n∈N+,n≥2,k∈N+,ai∈n 相似文献
9.
不等式x/x+1≤ln(1+x)≤x(x＞0)(当且仅当x=0时取等号)是一个重要而有用的结论,以它为背景可衍生出许多重要不等式,本文就来谈谈这些不等式在高考中的应用.
例1 (2008年山东高考理科21题)已知函数f(x)=1/(1-x)n+aln(x-1),其中x∈N*,a为常数. 相似文献
10.
《数学通报》2020年9期数学问题2562给出了不等式:已知a,b,c>0满足a+b+c=3,则1-ab 1+ab+1-bc 1+bc+1-ca 1+ca≥0(1).不等式结构对称,值得关注.为此,本文拟对不等式(1)的证明方法、变式、推广等方面作一探究.为了表述方便,由∑n k=1 x k y k·∑n k=1 x ky k=∑n k=1 x k y k 2·∑n k=1 x ky k 2≥∑n k=1 x k 2,可得柯西不等式的一个变式:引理设x 1,x 2,…,x n>0,y 1,y 2,…,y n>0,则有∑n k=1 x k y k≥(∑n k=1 x k)2∑n k=1 x ky k(2),等号当且仅当y 1=y 2=…=y n时成立. 相似文献
11.
一类无理不等式的证明 总被引：3，自引：1，他引：3
若 a,b∈ R ,λ≥ 0 ,n∈N,n≥ 2 ,且 a≤b,则有n a λ- n λa ≥n b λ- n λb . (1 )等号当且仅当 a=b时成立 .证明 根据公式 an- bn=(a- b) (an- 1 an- 2 b … bn- 1 ) ,知n a λ- n λa =(na λ- n λ ) (n (a λ) n- 1 … n λn- 1 )a(n (a λ) n- 1 … n λn- 1 )= 1n (a λ) n- 1 n (a λ) n- 2 λ … n λn- 1≥ 1n (b λ) n- 1 n (a λ) n- 2 λ … n λn- 1=n b λ- n λb .其中等号当且仅当 a=b时成立 ,故 (1 )得证 .利用不等式 (1 ) ,可以使一大批这类不等式获得简证 .例 1 已知正数 a,b,c满足 a b c=3 ,求证 :4a … 相似文献
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文[1]探讨了如下问题[2]:设x、y、z为非负实数,且x y z=32,求式子x3y y3z z3x的最大值;并猜想:设x、y、z为非负实数,n∈N*,n≥2,则xny ynz znx≤(n n1n)n 1(x y z)n 1.经笔者研究,有如下更一般的结果(本文中,xm 1=x1)定理设∑mi=1xi=1,xi≥0,m,n∈N*,m≥3,n≥2,则∑mi=1xinxi 1≤nn/(n 1)n 1.证明(数学归纳法)当m=3时,需证x1nx2 x2nx3 xn3x1≤nn/(n 1)n 1;考虑到不等式中字母的轮换性,不妨设x1=max(xi):1)若x1≥x2≥x3,则x1nx2 x2nx3 x3nx1≤x1nx2 2x1n-1x3x2≤(x1n nx1n-1x3)x2≤(x1 x3)nx2=(1-x2)n×nx2/n≤[n/(n 1)]n 1/n=nn/(n 1)n 1;2… 相似文献
13.
邓朝华 《数学学习与研究(教研版)》2014,(1):70
最近,笔者在研究lnx的性质偶然获得了lnx的一个上界估计,本文将证明这个不等式并给出它的一个应用.定理lnx≤2x-2(x2+1槡)(x>0),当且仅当x=2不等式取等号.证明设f(x)=lnx-2x+2(x2+1槡)(x>0),则f’(x)=1x-2+槡2x x2+槡1, 相似文献
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李凤清 《四川职业技术学院学报》2014,24(5)
本文通过构建函数将文[1]中无理不等式"α,b0,n≥2,n∈N,λ≥2n-1,则a/a+λb n+b/b+λa n≥21+λn"与文[2]中无理不等式猜想"a,b0,n≥2,n∈N,0λ≤n,则a/a+λb n+b/b+λa n≤21+λn"这对姊妹不等式进行整体探究,得到如下结论:设a,b0,n≥2,n∈N,α是关于t的方程λt n-1-n-1i=0Σt2i=0的正根,那么当0λ≤n,则1a/a+λb n+b/b+λa n≤21+λn;当nλ2n-1,则1a/a+λb n+b b+λa n≤f(αn+1);当λ≥2n-1,则21+λn/≤a a+λb n+b/b+λa n≤f(αn+1). 相似文献
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甘志国 《河北理科教学研究》2013,(1):39-40
用导数容易证得定理1lnx≤x-1(x>0)(当且仅当x=1时取等号).普通高中课程标准实验教科书《数学·选修2-2·A版》(人民教育出版社2007年第2版)第32页的习题第1题的第(3)小题"证明不等式:ex>1+x(x≠0)"的结论与该不等式是等价的.笔者认为,该不等式因其形式简 相似文献