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本刊82年第6期宗岳老师编译的《几何重观§1.9(下简称文[Ⅰ])中指出:从△ABC内任意点P分别作BC、CA、AB的垂线,则垂足A′、B′、C′组成的△A′B′C′叫做△ABC关于点P的垂足三角形.在文[Ⅰ]的启发下,我们得到了关于点P的垂足三角形中的几个不等 相似文献
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《中学数学教学参考》2007,(7)
文[1]研究了三角形2号心的性质,本文做进一步探讨.定理1 设 P 为△ABC 所在平面内任一点,P 关于△ABC 的边 BC、CA、AB 的中点 D、E、F 的对称点分别为 A′、B′、C′,则(Ⅰ)AA′、BB′、CC′交于一点; 相似文献
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宿晓阳 《中学数学教学参考》2003,(6):60-61
定理 设P、Q为△ABC内两点 ,则AP·AQAB·AC +BP·BQBA·BC+CP·CQCA·CB≥ 1 . ( )等式当且仅当P、Q为△ABC等角共轭点 (即∠PAB=∠QAC ,∠PBC =∠QBA ,∠PCB =∠QCA)时成立 .证明 :如图 ,顺次以BC、CA、AB为对称轴作△PBC、△PCA、△PAB的对称图形 ,分别为△A′BC ,△B′CA ,△C′AB ,连结A′Q、B′Q、C′Q ,则易知 (以S△ 表示面积 ) :S△AC′Q+S△AB′Q=12 AC′·AQsin∠C′AQ +12 AQ·AB′sin∠B′AQ =12 AP·AQ(sin∠C′AQ +sin∠B′AQ)=12 AP·AQ·2sin ∠C′AQ +∠B′AQ2 ·c… 相似文献
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沈文选 《中学数学教学参考》2003,(7):52-55
1 基础知识梅涅劳斯定理 设A′、B′、C′分别是△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上的点 .若A′、B′、C′三点共线 ,则 BA′A′C·CB′B′A·AC′C′B=1 .①证明 :如图 1 ,过A作AD∥C′A′交BC延长线于D ,则 CB′B′A=CA′A′D,AC′C′B =DA′A′B ,故 BA′A′C·CB′B′A·AC′C′B =BA′A′C·CA′A′D·DA′A′B=1 .梅涅劳斯定理的逆定理 设A′、B′、C′分别是△ABC的三边BC ,CA ,AB或其延长线上的点 ,若BA′A′C·CB′B′A·AC′C′B =1 ,②则A′、B′、C′三点共线 .证明 :设直线A… 相似文献
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题目 已知A1、B1、C1分别是△ABC的边BC、CA、AB上的点,△AB1C1、△BC1A1、△CA1B1的外接圆与△ABC的外接圆分别交于点A2、B2、C2（A2≠A,B2≠B,C2≠C）,A3、B3、C3分别是A1、B1、C1关于边BC、CA、AB的中点的对称点．证明： 相似文献
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对于能够完全重合的三角形,要使两个三角形重合,则需要搬动图形,通常是以某个三角形为基准(不动),把与其全等的另一个三角形通过平移、旋转或翻折三种方法使其与基准三角形重合。一、平移变形找全等三角形例1如图1,已知AB∥A′B′,AC∥A′C′,BB′∥CC′,求证△ABC≌△A′B′C′.分析:将△A′B′C′沿箭头方向平移使A′与A;B′与B,C′与C分别重合,记为A′→A;B′→B;C′→C.例2如图2,B、C、E在一条直线上,CE=BC,AB⊥BE,DC⊥BE,B、C为垂足,AC∥DE.求证△ABC≌△DCE.分析:将△ABC沿箭头方向平移后使A→D,B→C,C→… 相似文献
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沈文选． 《中学数学教学参考》2003,(8):55-59
1 基础知识塞瓦定理 设A′、B′、C′分别是△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上的点 .若AA′、BB′、CC′三线平行或共点 ,则 BA′A′C·CB′B′A·AC′C′B=1 .①证明 :若AA′、BB′、CC′交于一点P ,如图 1 (b) ,过A作BC的平行线 ,分别交BB′、CC′的延长线于D、E ,得 CB′B′A=BCAD,AC′C′B=EABC .又由 BA′AD =A′PPA =A′CEA ,有 BA′A′C=ADEA .从而 BA′A′C·CB′B′A·AC′C′B=ADEA·BCAD·EABC =1 .若AA′、BB′、CC′三线平行 ,可类似证明 (略 ) .注 :对于图 1 (b)也有如下面… 相似文献
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1971年,Ju.I.Gerasimov给出了下述三角形不等式: 设△ABC内部任一点P至边BC、CA、AB的距离分别为r_1、r_2、r_3,边BC、CA、AB分别为a、b、c.则 (r_2r_3)/(bc) (r_3r_1)/(ca) (r_1r_2)/(ab)≤1/4. (1)等号仅当P为△ABC的外心时成立. 在已知的有关△ABC、△A′B′C′及任意正数x、y、z的不等式 (1 y z)~2≥4(yzsinAsinA′ zxsinBsinB′ xysinCsinC′)(2) 相似文献
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1 问题 △ABC中,A1、B1、C1分别在边BC、CA、AB上,且AA1、BB1、CC1相交于点P.证明:P是△ABC的重心当且仅当P是△A1B1C1的重心. 相似文献
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三角形对称外心的性质及其应用 总被引：1，自引：0，他引：1
关于三角形内特殊点的发现及其性质的挖掘 ,可见文 [1 ]和文 [2 ] ,经过研究 ,本文得到了三角形的对称外心的性质及其应用 .定义 设△ ABC的外心为 O,点 O关于边图 1BC、CA、AB的对称点分别为 A′、B′、C′,连接AA′、BB′、CC′,则 AA′、BB′、CC′相交于一点O′,称此点 O′为△ ABC的对称外心 .证明 :如图 1 ,由平行四边形 OBA′C对角线互相平分知 A′C∥ OB,且 AC′=OB,同理得AC′∥ OB,且 AC =DB,故四边形 AC′A′C是平行四边形 ,所以 AA′和 CC′相交于中点 O′,同理可知 BB′也过点 O′,所以 AA′、BB… 相似文献
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在测量不易直接度量的物体的高度时,有很多的方法和依据.在此以测量旗杆的高度为例,给同学们介绍利用相似三角形来解决这此类问题的一些方法.方法1:利用阳光下的影子(如图1),只需卷尺一个即可.步骤:(1)先测量观测者的身高———A′B′的长度;(2)在同一时刻分别测出旗杆AB的影长BC和身体的影长B′C′;(3)利用相似三角形性质可求AB之长.依据:如图1,因为太阳光线可看作平行光线,所以∠A′C′B′=∠ACB,又因为∠A′B′C′=∠ABC=90°,所以△A′B′C′∽△ABC,所以AA′BB′=BB′CC′.又因为A′B′,B′C′,BC都可测量,从而AB可… 相似文献