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关于三角形外接圆半径的几个不等式 总被引：1，自引：0，他引：1
本文给出几个关于三角形外接圆半径的不等式,这些不等式包含了《数学通报》数学问题解答的1 429题(2003年第5期)与1 531题(2005年第2期).命题1设O为锐角△ABC的外心,△OBC,△OCA,△OAB,△ABC的外接圆半径分别为R1,R2,R3,R,则有不等式R1R2R3≥R3,(1)1R1+1R2+1R3≤3R,(2)1R21+1R22+1R23≥3R2,(3)三式中等号当且仅当△ABC为正三角形时成立.图1证因为O为△ABC的外心,所以∠BOC=2A.于是2R1=BCsin 2A=2R sin Asin 2A=Rcos A.同理2R2=Rcos B,2R3=Rcos C,从而R1R2R3=R38cos A cos B cos C,1R1+1R2+1R3=2R(cos A+cos B+… 相似文献
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设A、B、C表示ΔA BC的三个内角,∑表示循环和,我们有定理在△ABC中,有cos sin cos222∑B C≤∑A,(1)cos sin cos222∑A C≤∑A,(1')sin sin1sin22∑A B≤∑A,(2)sin sin1sin22∑A C≤∑A.(2')当且仅当△ABC为正三角形时等号成立.证明不失一般性,无妨设A≤B≤C,由A,B,C为ΔA BC的三个内角,则,,222A B C∈(0,)2π.由于在区间(0,π/2)内的正弦函数和余弦函数均具有单调性,则0sin sin sin1222相似文献
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正弦定理和余弦定理是解三角形的两个重要定理 ,也是竞赛中重点考查的内容之一 .本文浅谈由这两个定理联袂推出的结论及在竞赛中的应用 .在△ABC中 ,若 a,b,c分别是角 A,B,C的对边 ,由正弦定理可得 a=2 Rsin A,b=2 Rsin B,c=2 Rsin C(R为△ ABC的外接圆半径 ) ,代入余弦定理中 ,可得到它们的联袂结论 :sin2 A=sin2 B sin2 C- 2 sin Bsin Ccos A;sin2 B=sin2 A sin2 C- 2 sin Asin Ccos B;sin2 C=sin2 A sin2 B- 2 sin Asin Bcos C.同时还可以证明当 A B C=kπ(k为奇数 ) ,以上结论也成立 .1 给角求值例 1 求 cos2 73… 相似文献
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文[1]、[2]、[3]等给出了外角平分线构成的三角形几个有趣的性质,本文得到定理如图,△DEF是△ABC三条外角平分线构成的三角形,设BC=a,CA=b,AB=c,2s=a+b+c,I为△ABC的内心,且DI=x,EI=y,FI=z,△ABC的外接圆和内切圆半径分别为R、r,则4sin2sin2sin2x A=y B=z C=R(1)首先给出一个引理.引理设I为△ABC的内心,则AD、BE、CF交于I点,且I为△DEF的垂心.略证∵?DEF是△ABC三条外角平分线构成的三角形,∴D、E、F为△ABC的旁心[4],显然AD、BE、CF为∠A、∠B、∠C的平分线,则它们交于I点;又∵2∠D AC=A,222∠E AC=B+C=π?… 相似文献
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证法 1 如图1,设∠BAD=α,∠ CAD=β(0 <α,β <π2 ) ,过 B作BD⊥ AD交 AC于C,则有cosα=ADAB,cosβ=ADAC.又∵S△ B A C=S△ B A D+S△ D A C,∴ 12 · AB· AC· sin(α+β) =12 AB·AD· sinα+12 AD· AC· sinβ.两边同时除以 12 AB·AC,可得sin(α+β) =ADAC·sinα+ADAB· sinβ=cosβ· sinα+cosα· sinβ.运用诱导公式 ,易证α,β不是锐角时 ,式子仍然成立 .图 2证法 2 如图2 ,设∠BAD=α,∠DAC=β(0 <α,β <π2 ) ,作 BD⊥AD交 AC于 C,作BE⊥ AC于 E,则有 ADAC=cosβ,BDAB=sinα,ADAB=… 相似文献
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关于垂足三角形外接圆半径之间有下面一个恒等式:定理设△DEF是锐角△ABC的垂足三角形,且BC=a,CA=b,AB=c,△ABC的面积,外接圆半径,内切圆半径分别为?,R,r,若△AEF,△BDF,△CDE的外接圆半径依次为R A,BR,RC,则cot cot cotA2B2C2R A+R B+RC2(R r)r=??.(1)证明如图,由文[1]知EF=a cos A,FD=b cos B,DE=c cos C,∵A2sinREF=A cos2sina A=A2sin cos,R A A=A H D AE BFC∴R A=R cos A.同理RB=R cos B,RC=R cos C.令cot cot cot,A2B2C2K=R A+R B+RC在△ABC中应用常见恒等式:?=rs,cot2422∑A=s?R?r?r,csc2422… 相似文献
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一个新发现的三角不等式 总被引：2，自引：2，他引：0
苏张延卫、陕西苟春鹏两位老师分别证明 3以下三角不等式 :在△ ABC中 ,有sin A 2 sin B2 3sin C3≤ 3,(1)cos A 2 cos B2 3cos C3≤ 3 3 . (2 )受文 [1]的启发 ,本文作者证得一个类似的新结果 :cot A 2 cot B2 3cot C3≥ 6 3. (3)其实 ,我们有下述定理 在△ABC中 ,对 k≥ 1有cot Ak 2 cot B2 k 3cot C3k≥ 6 cotπ6 k,(4 )等号成立当且仅当 A=π6 ,B=π3.证明 若 x>0 ,y>,且 x y<π,则cotx coty=sin(x y)sinxsiny=2 sin(x y)cos(x- y) - cos(x y)≥ 2 sin(x y)1- cos(x y) =2 cotx y2 .∴cot AR 2 cot B2 … 相似文献
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涉及三等分角线的又一定理 总被引：1，自引：0，他引：1
莫勒定理是涉及三等分角线的著名定理,类比三角形的内心与旁心,可得到一个令人吃惊而又全然意外的结论: 定理如图,设AE和AF,BD和BF,CD和CE分别是∠A,∠QBC,∠PCB的三等分线,则△DEF是正三角形,且其边长为8RsinA/3sin(60°-B/3)sin(60°-C/3),其中R为△ABC的外接圆半径。证明:需引入下列两个三角恒等式: (1)sinθ =4sinθ/3sin(60°-θ/3)sin(60°+θ/3). (2)sin~2α+sin~2β十2sinαsinβcos(α+β) =sin~2(α+β). 在△BCD中,由正弦定理得 相似文献
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如图1,△ABC的角A,B,C所对之边分别为a,b,c.AD,BE,CF为三条高,H为垂心,则△DEF是垂足三角形.又命R和Δ分别为△ABC的外接圆半径和面积,文[1]给出了垂足三角形的周长l0和面积Δ0的公式:l0=4Rsin Asin Bsin C,(1)Δ0=2Δcos Acos Bcos C.(2)可惜其证明太长,现简证如下:先证(1)式.注意到B,C,E,F四点共圆,故有∠AFE=∠C.在△AEF中运用正弦定理,有EFsin A=sin∠AEAFE=cscions C A,所以EF=sinc C·sin Acos A.至此,EF与l0有两种表达式:其一,由于sinc C=sina A,所以EF=acos A.同理,FD=bcos B,DE=ccos C,因而l0=acos A b… 相似文献
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《数学爱好者(高二版)》2007,(4)
高一数学专题复习月考卷(一)一、选择题1.C2.A3.B4.D5.D6.C7.B8.D9.C10.A11.A12.B二、填空题13.a14.-4115.60m16.0三、解答题17.证明:由cos2B cos2C=1 cos2A,得1-sin2B 1-sin2C=2-sin2A,所以sin2A=sin2B sin2C.由正弦定理得a2=b2 c2,所以A=90°.又sinA=2sinBcosC,cosC=sinB,2sin2B=1,sinB=!22,所以B=45°,C=45°.所以b=c且A=90°.18.解:如图,在△ACD中,S△ACD=21AC·ADsin∠1,所以sin∠1=A2CS·△AACDD=53.所以sin∠2=5!143.在△ABC中,由正弦定理BCsin∠2=siAn6C0°,所以BC=5.cos∠2=!1-sin2∠2=1114.所以BC2=… 相似文献
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丁丽芳 《数学大世界(高中辅导)》2005,(4):10-11,27
一、a·b=｜a｜｜b｜cosθ中的cosθ与S=12｜a｜｜b｜sinθ中的sinθ是建立起数量积与面积关系的桥梁.【例1】设i,j是平面直角坐标系内x轴,y轴正方向上的单位向量,且AB=4i 2j,AC=3i 4j,则△ABC的面积等于()(A)15(B)10(C)7.5(D)5分析:①由题意可知:AB=(4,2),AC=(3,4),所以｜AB｜=25,｜AC｜=5,AB·AC=4×3 2×4=20②由S△ABC=12｜AB｜｜AC｜sin∠BAC,故知必须先求sin∠BAC.由AB·AC=｜AB｜｜AC｜cos∠BAC,可得cos∠BAC=25从而由sin2∠BAC cos2∠BAC=1可求出∠BAC=55,S△ABC=5,故选D.二、利用a⊥bZx1x2 y1y2=0来实… 相似文献
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一个三角形中不等式的简证及应用 总被引：2，自引：2，他引：0
在△ABC中,求证:
sin2A+sin2B+sin2C≤9/4.(1)
证明 由柯西不等式,得
sin2C=sin2(A+B)
(sin Acos B+sin Bcos A)2
≤(sin2A+sin2 B)(cos2+cos2B),
从而由二元均值不等式得
sin2A+sin2B+sin2C≤(sin2A+sin2B)(cos2A+cos2B+1)≤[(sin2A+sin2B)+(cos2A+cos2B+1)/2]2=9/4.得证. 相似文献
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设△ABC的三内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,外接圆半径为R,则有正弦定理(a/sin A)=(b/sin B)=(c/sin C)=2R.余弦定理a~2=b~2+c~2-2bccos A,b~2\c~2+a~2-2cacos B,c~2=a~2+b~2-2abcos C.在学完正余弦定理后,老师给我们提出了这样的间题:由于正弦定理可变形为α=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2RsinC三种形式,而余弦定理也有三种形式,因此,对于余弦定理是否也有类似于正 相似文献
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初三学生学过锐角三角函数定义和正弦定理、余弦定理后,在复习小结时,若能将这些三角知识运用于解平凡题,则一方面可以让学生加深对这些三角知识的理解和掌握,另一方面可以激发学生的学习兴趣,使解平几题多一种方法,提高解题能力。 用三角知识解平几题,其要领就是把平几问题归结为三角形中的边角关系,进而转化为三角函数式的运算问题去解决。可以不作或少作辅助线,思路清楚,关系明显,运算简单,收到事半功倍的效果。下面举例说明。 例1 △ABC中,E是内心,∠A的平分线和△ABC的外接圆相交于点D,求证:BD=CD=DE。 证 如图1,△ABD的外接圆和△ACD的个接圆是同一个圆,设其半径为R,设∠BAD=∠CAD=α,∠EBA=∠EBC=β。在△ABD和△ACD中,由正弦定理得BD=2Rsinα,CD=2Rsinα,∴BD=CD。 在△BDE中,由正弦定理得:BD/sin∠BED=DE/sin∠DBE∵∠BED=α+β,∠DBE=∠CBD+β,而∠CBD=∠CAD=α,即∠DBE=α+β,∴sin∠BED=sin∠DBE,∴BD=DE,故BD=CD=DE。 相似文献
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文[1]给出如下结论:在△ABC中,设I是它的内心,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边,R是△ABC的外接圆半径,则有AI BI CI≤ab bc ca.(1)1AI 1BI 1CI≥3R.(2)bcAI caBI abCI≥33.(3)本文给出两个更一般的结论:定理 在△ABC中,设I是它的内心,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边,对于正数x,y,z有xAI yBI zCI≤abx2 bcy2 caz2.(4)xAI yBI zCI≥333xyzabc.(5)证明 设s,R,r分别是△ABC的半周长、外接圆半径、内切圆半径.易知:AI=rsinA2=2rcosA2sinA=4RrcosA2a,同理 BI=4RrcosB2b,CI=4RrcosC2c.所以 xAI yBI zCI=4Rrabc(xbcc… 相似文献
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宿晓阳 《中学数学教学参考》2003,(6):60-61
定理 设P、Q为△ABC内两点 ,则AP·AQAB·AC +BP·BQBA·BC+CP·CQCA·CB≥ 1 . ( )等式当且仅当P、Q为△ABC等角共轭点 (即∠PAB=∠QAC ,∠PBC =∠QBA ,∠PCB =∠QCA)时成立 .证明 :如图 ,顺次以BC、CA、AB为对称轴作△PBC、△PCA、△PAB的对称图形 ,分别为△A′BC ,△B′CA ,△C′AB ,连结A′Q、B′Q、C′Q ,则易知 (以S△ 表示面积 ) :S△AC′Q+S△AB′Q=12 AC′·AQsin∠C′AQ +12 AQ·AB′sin∠B′AQ =12 AP·AQ(sin∠C′AQ +sin∠B′AQ)=12 AP·AQ·2sin ∠C′AQ +∠B′AQ2 ·c… 相似文献
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一、填空题（每小题3分,共30分）1.在△ABC中,∠A=30°,且∠A ∠C=2∠B,则sin C=_.2.计算:2sin30°-2cos60° tan45°=_.3.已知半径为6cm的圆中,垂直平分半径的弦长为_cm.4.圆内接四边形ABCD中,∠A:∠B:∠C=2:4: 相似文献