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1.
在文 [1 ]中 ,已证明了如下命题 :定理 △ＡＢＣ各角顶点与对边三等分点的连线中 ,相邻两条分别交于Ｐ、Ｑ、Ｒ ,则△ＰＱＲ∽△ＡＢＣ且相似比为 1∶5。我们都知道优美的莫莱定理 :三角形相邻的三等角分线的交点是正三角形的三个顶点。如果说莫莱定理是从三角形角的角度出发的 ,那么上述命题是从三角形边的角度出发的 ,因此 ,这一命题极具特色。本文给出这个命题的推广 ,即如下定理 :推广定理 △ＡＢＣ各角顶点与对边ｎ等分点的连线中 ,相邻两条等分线分别交于Ｐ、Ｑ、Ｒ三点 ,则△ＰＱＲ∽△ＡＢＣ ,且相似比为 (ｎ -2 )∶( 2ｎ -1 ) (… 相似文献
2.
笔者曾建立“Ｐ—Ｑ—Ｒ”法，借以证明研究一类不等式，尤其是研究三角形不等式［１］［２］，张瑞蓉老师在研究该方法的基础上，得到了如下定理［３］： 本文提出与Ｐ＋３Ｑ≥Ｒ等价的四个三角形不等式链：（Ⅱ）、（Ⅲ）、（Ⅳ）、（Ⅳ）． 定理１ａ，ｂ．ｃ为△ＡＢＣ三边，则注意到（ｂ＋ｃ—ａ）＝Ｐ—２Ｑ＋Ｒ，此时，定理 １不等式链（Ⅰ），又可写成为（Ⅱ）： 定理 ２在△ＡＢＣ中，有 ３（－Ｐ—２Ｑ＋Ｒ）≤－Ｐ＋Ｒ ≤（－ Ｐ＋ ６ Ｑ＋ Ｒ） ≤３Ｑ＜Ｐ＋６Ｑ—Ｒ，（Ⅱ） 显然，（Ⅱ）包含的 １０个不等式均可化为 Ｐ＋３Ｑ … 相似文献
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张延卫 《中学数学教学参考》1999,(4)
ｗｈｃ１３６的证明文［１］第２２９页列出杨学枝的如下猜想：ｗｈｃ１３６设Ｐ、Ｑ、Ｒ分别为△ＡＢＣ的边ＢＣ、ＣＡ、ＡＢ上的点,记ＡＱ＋ＡＲ＝ｕ,ＢＲ＋ＢＰ＝λ,ＣＰ＋ＣＱ＝ｖ,则ｐ＋ｑ＋ｒ≥（μ＋λ＋υ）－１２（λυμ＋υμλ＋μλυ）,其中ＱＲ＝ｐ,... 相似文献
4.
《中学数学教学参考》1998,(5)
成果集锦编者按本刊１９９７年第１～２期发表了赵临龙老师推广斯坦纳关于“三角形具有等平分线的角对等边”的定理作出的如下猜想（以下简称赵－猜想）：图１在△ＡＢＣ中,等长分角线ＢＤ、ＣＥ交于Ｐ,延长ＡＰ交ＢＣ于Ｑ（图１）．１．若ＡＢ·ＰＣ＋ＡＣ·ＰＢ,则Ａ... 相似文献
5.
成果集锦关于三角形ｎ等分线的三个命题定理１［１］设△ＡＢＣ的的ｎ（ｎ≥２）等分线交对边ＢＣ于Ｄ１、Ｄ２、…、Ｄｎ－１，则该定理应用面积法易证，此处略．定理２条件同定理１，则特别，当ｎ＝２时，得角平分线公式定理３条件同定理１，则证明：设，则．在△ＡＤＣ... 相似文献
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王淑兰 《中学数学教学参考》1999,(10)
１．ａｎ∶ｂｎ＝ｃ∶ｄ型如果欲证的等式是ａｎ∶ｂｎ＝ｃ∶ｄ形式,一般要考虑证明分别含有ａ、ｂ为对应边的两个三角形相似,然后利用面积关系或射影定理进行证明．图１例１ 从圆外一点Ｐ引圆的切线ＰＡ,割线ＰＣＢ．求证ＡＢ２∶ＡＣ２＝ＰＢ∶ＰＣ．分析：含ＡＢ、ＡＣ、ＰＢ、ＰＣ的三角形是△ＰＡＢ和△ＰＣＡ,而易证△ＰＡＢ∽△ＰＣＡ,∴ＡＢ２ＡＣ２＝Ｓ△ＰＡＢＳ△ＰＣＡ＝１２ＰＢ·ＡＨ１２ＰＣ·ＡＨ＝ＰＢＰＣ．例２ 已知矩形ＣＥＤＦ内接于圆Ｏ,过Ｄ作圆的切线与ＣＥ、ＣＦ的延长线分别交于点Ａ、Ｂ．求证：ＢＣ３Ａ… 相似文献
8.
九年义务教育三年制初中几何第二册２３３页例５是一道探索性题目。原题如下： 已知△ＡＢＣ,Ｐ是边ＡＢ上的一点,连结ＣＰ。 （１）∠ＡＣＰ满足什么条件时,△ＡＣＰ∽△ＡＰＣ; （２）ＡＣ满足什么条件时,△ＡＣＰ∽△ＡＢＣ。 如图１,在引导学生由结论探索出应满足的条件：（１）∠ＡＣＰ＝∠Ｂ,（２）ＡＣ：ＡＰ＝ＡＢ：ＡＣ后,若就此罢手,似太可惜。为充分发挥例题的示范作用及潜在应用价值,还可从条件变化,引导学生探索结论的变化情况。 探索１：在图１的基础上,作∠Ａ的平分线交ＣＰ于Ｆ,交ＢＣ于Ｅ,如图２。（１）在此… 相似文献
9.
谢守宁 《中学数学教学参考》1999,(11)
文［１］给出了三角形内接平行四边形的两个性质定理,笔者发现很容易将其移植到空间中去．为了便于说明,先将文［１］中两个定理抄录如下：定理１ △ＡＢＣ中,Ｄ为ＢＣ上一点,Ｅ、Ｆ分别在ＡＣ、ＡＢ上,且ＤＥ∥ＡＢ,ＤＦ∥ＡＣ,分别记△ＢＦＤ、△ＣＥＤ、ＡＦＤＥ、△ＡＢＣ的面积为Ｓ１,Ｓ２,Ｓ′,Ｓ△,则（１）Ｓ′＝２Ｓ１Ｓ２;（２）Ｓ△＝（Ｓ１＋Ｓ２）２．（图１）定理２ △ＡＢＣ中,四边形ＤＥＦＧ为内接平行四边形,分别记△ＡＤＥ、△ＢＤＧ、△ＥＦＣ、ＥＦＧＤ、△ＡＢＣ的面积为Ｓ１,Ｓ２,Ｓ３,Ｓ′,… 相似文献
10.
ｗｈｃ１７５的限定《初等数学研究的问题与课题》中的ｗｈｃ１７５是叶中豪提出的如下问题：设ＰＱＲＳ是四边形ＡＢＣＤ的内接四边形,Ａ′、Ｂ′、Ｃ′、Ｄ′分别为ＳＰ、ＰＱ、ＱＲ、ＲＳ的中点,则ＡＡ′、ＢＢ′、ＣＣ′、ＤＤ′共点的充要条件是什么？本文将其极特殊化（令Ｄ重合于Ｃ）,得到定理 设△ＰＱＲ内接于△ＡＢＣ,Ａ′、Ｂ′、Ｃ′分别是ＲＰ、ＰＱ、ＱＲ的中点．记ＡＰＰＢ＝λ１,ＢＱＱＣ＝λ２,ＣＲＲＡ＝λ３,则ＡＡ′、ＢＢ′、ＣＣ′共点的充要条件是λ１λ２λ３＝１．ＢＱＣＡＰｙ图１Ａ′′ＣＢ′ｘＲＯ证明… 相似文献
11.
李耀文 《中学数学教学参考》2001,(6)
给定△ＡＢＣ和一点Ｐ ,满足∠ＱＡＣ =∠ＰＡＢ ,∠ＱＢＡ =∠ＰＢＣ ,∠ＱＣＢ =∠ＰＣＡ的点 (如图 )Ｑ叫做Ｐ关于△ＡＢＣ的等角共轭点[1] [2 ] .我们发现了等角共轭点的一条新性质 :定理 设Ｐ、Ｑ是△ＡＢＣ的等角共轭点 ,则ＡＰ·ＡＱＡＢ·ＡＣ ＢＰ·ＢＱＢＣ·ＢＡ ＣＰ·ＣＱＣＡ·ＣＢ=1 .证明 :如图 ,在射线ＡＱ上取点Ｄ ,使∠ＡＣＤ =∠ＡＰＢ ,因∠ＡＰＢ >∠ＡＣＢ ,故Ｄ在△ＡＢＣ外 .又因∠ＰＡＢ =∠ＣＡＤ ,从而△ＡＢＰ∽△ＡＤＣ ,故ＡＢＡＤ=ＡＰＡＣ=ＢＰＣＤ,ＣＤ =ＢＰ·ＡＣＡＰ .①又由∠ＱＡＢ =∠ＰＡＣ ,Ａ… 相似文献
12.
唐录义 《中学数学教学参考》2001,(9)
本刊 2 0 0 1年第 1～ 2合期刊登了吴家驷先生“十五点共圆”一文 ,证明了有 1 2个特殊点在三角形外接圆上 .事实上还有 6个点 ,合为 2 1点共圆 .定理 不等边三角形的每个顶点的内外角平分线与对边中垂线的两个交点 ,在其外接圆上 .证明 : 如图 ,ＰＱ为△ＡＢＣ的边ＡＣ的中垂线 ,ＢＰ平分∠ＤＢＣ ,ＢＱ平分∠ＡＢＣ ,作ＰＭ⊥ＢＤ ,垂足为Ｍ ,ＰＮ⊥ＢＣ ,垂足为Ｎ ,ＱＥ⊥ＢＡ ,垂足为Ｅ ,ＱＦ⊥ＢＣ ,垂足为Ｆ ,易知ＱＡ =ＱＣ ,ＱＥ =ＱＦ ,Ｒｔ△ＱＥＡ≌Ｒｔ△ＱＦＣ ,∠ＥＡＱ =∠ＱＣＦ ,Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｑ共圆 ,即Ｑ在△ＡＢＣ的外… 相似文献
13.
丁柏川 《中学数学教学参考》2000,(10)
1999年全国初中数学联合竞赛第二试第二题 :ＡＤ是△ＡＢＣ的高 ,以Ｄ为圆心 ,ＡＤ为半径作⊙Ｄ交ＡＢ于Ｅ ,交ＡＣ于Ｆ ,ＡＢ =5,ＡＥ =2 ,ＡＦ =3 .求ＡＣ的长 .本文对该题做如下几方面的思考和探讨 .一、一题多解解法 1.如图 1,过Ｄ分别作ＤＰ⊥ＡＢ ,垂足为Ｐ ,ＤＱ⊥ＡＣ ,垂足为Ｑ ,由垂径定理得ＡＰ =1,ＡＱ= 32 .易得△ＡＤＰ∽△ＡＢＤ ＡＤＡＢ= ＡＰＡＤ ＡＤ =5.同样有△ＡＤＱ∽△ＡＣＤ ＡＤＡＣ =ＡＱＡＤ ＡＣ =103 .解法 2 .如图 1,延长ＡＤ交⊙Ｄ于Ｍ ,连结ＭＥ及ＭＦ ,可得ＡＤ =5 ＡＭ =2 5,易得Ｒｔ△ＡＭＦ∽Ｒｔ… 相似文献
14.
文［１］中Ｗｈｃ１７５提出了以下问题：Ａ′、Ｂ′、Ｃ′、Ｄ′是四边形ＡＢＣＤ的内接四边形ＰＱＲＳ的各边中点,问ＡＡ′、ＢＢ′、ＣＣ′、ＤＤ′共点的充要条件是什么？ 文［２］对三角形中的类似问题给出了一个一般结论。本文将给出四边形ＡＢＣＤ为平行四边形时,ＡＡ 相似文献
15.
一、设凸四边形ＡＢＣＤ的两组对边所在的直线分别交于Ｅ、Ｆ两点 ,两对角线的交点为Ｐ ,过Ｐ作ＰＯ⊥ＥＦ于Ｏ .求证 :∠ＢＯＣ =∠ＡＯＤ .图 1解 :如图 1,只需证明ＯＰ既是∠ＡＯＣ的平分线 ,也是∠ＤＯＢ的平分线即可 .不妨设ＡＣ交ＥＦ于Ｑ ,考虑△ＡＥＣ和点Ｆ ,由塞瓦定理可得ＥＢＢＡ·ＡＱＱＣ·ＣＤＤＥ=1.① 再考虑△ＡＥＣ与截线ＢＰＤ ,由梅涅劳斯定理有ＥＤＤＣ·ＣＰＰＡ·ＡＢＢＥ=1.② 比较①、②两式可得ＡＰＡＱ=ＰＣＱＣ.③过Ｐ作ＥＦ的平行线分别交ＯＡ、ＯＣ于Ｉ、Ｊ ,则有ＰＩＱＯ=ＡＰＡＱ,ＪＰＱＯ=ＰＣＱＣ… 相似文献
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贝嘉禄 《中学数学教学参考》1999,(6)
文［１］给出以下不等式：设△ＡＢＣ的三边长为ａ、ｂ、ｃ,旁切圆半径为ｒａ、ｒｂ、ｒｃ,则∑ａｒａ≥２３（∑表示循环和）．（１）文［２］给出上述不等式的加强形式：∑ａｒａ≥２（４Ｒ＋ｒ）４Ｒ２＋４Ｒｒ＋３ｒ２．（２）笔者在文［３］中曾给出不等式（１）的... 相似文献
18.
金耀辉 《中学数学教学参考》1997,(12)
非相似三角形中成比例线段定理安徽省舒城秦桥中学金耀辉相似三角形的对应边成比例是众所周知的，然而在符合某些条件下的非相似三角形中也有成比例线段．如图１，△ＡＢＣ∽△ＤＥＦ，则ＡＢＤＥ＝ＢＣＥＦ，如果ＡＢ≠ＢＣ，不妨设ＡＢ＞ＢＣ，我们把图１中△ＡＢＣ的Ｂ... 相似文献
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一个猜想的否定 总被引：2，自引：0，他引：2
刘才华 《中学数学教学参考》2000,(5)
文 [1]提出了如下猜想 .猜想 准平行六边形的周长不大于它的伴随三角形周长的 23.笔者发现 ,这个猜想不正确 .下面的性质及其证明就是对这个猜想的否定 .性质 如图 ,设△ＰＱＲ为准平行六边形ＡＢＣＤＥＦ的伴随三角形 ,且 ＡＢＱＲ=λＰ,ＣＤＲＰ=λＱ,ＥＦＰＱ=λＲ,则( 1) 相似文献
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定理在凸四边形ＡＢＣＤ中,对角线ＡＣ与ＢＤ交于Ｏ点,设△ＡＯＢ、△ＢＯＣ、△ＣＯＤ、△ＤＯＡ的面积分别为Ｓ１、Ｓ２、Ｓ３、Ｓ４,则有Ｓ１·Ｓ３＝Ｓ２·Ｓ４．图１证明如图１,∵Ｓ１Ｓ２＝ＡＯＯＣ,Ｓ４Ｓ３＝ＡＯＯＣ,∴Ｓ１Ｓ２＝Ｓ４Ｓ３,即Ｓ１·Ｓ３＝... 相似文献