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求解复数问题,通常都能化归为复数的代数形式、三角形式、几何形式来解,这就是我们常说的化归思想.但在化归的过程中,有时反而会使问题变得更为复杂,为此必须注意化归的简洁性,即化归后应使问题求解最简.本文介绍几种化归的策略,供读者参考.策略一 先定性,后化归有些复数问题,若能根据题中条件的特征,先确定出所求复数的性质,再进行化归求解,常能使求解过程大为简化.例1 设ｚ∈Ｃ,解方程ｚｚ-3ｉｚ=1 3ｉ.(1992年全国高考理科试题)分析 因ｚｚ=|ｚ|2∈Ｒ,可将方程变形为ｚ=-1 13(|ｚ|2-1)ｉ,从而确定出ｚ的实部为-1.解 ∵ｚｚ=|ｚ|2∈Ｒ… 相似文献
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复数方程是复数有关问题中的一类重要题型 ,近些年来 ,一直活跃于高考 ,竞赛和各地考题中 .由于这类问题概念性强 ,且与相关内容的联系广泛 ,因此学生在解这类题时往往容易丢分 .下面对复数方程的常见题型进行归纳 ,并探析求解的基本方法 .1 复数方程的求解问题1)含ｚ , ｚ或 ｜ｚ｜的方程 ,一般可用复数的代数形式代入 ,转化为实数方程或方程组求解 .例 1 已知ｚ∈Ｃ ,解方程 2ｚ ｜ｚ｜ =2 6ｉ.解 设ｚ=ｘ ｙｉ (ｘ ,ｙ∈Ｒ) ,代入得2ｘ 2 ｙｉ ｘ2 ｙ2 =2 6ｉ. 由 2ｘ ｘ2 ｙ2 =2及 2ｙ=6 ,解得ｘ=4± 313,ｙ=3.… 相似文献
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向爱平 《连云港师范高等专科学校学报》2000,(1)
复数的几何表示和复数运算的几何意义,揭示了复数和平面上图形的对应关系;复数模的大小则指明复数和不等式及最值关系密切;复数的三角表示则又沟通了复数与三角函数之间的内在联系。因此复数知识在解决数学问题中发挥了广泛的作用。一、复数在求最值中的应用功能复数模的范围可用不等式表示,而求最值则要借助于不等式,由此运用复数的这一性质又开辟了一条求最值的新思路。例1已知复数ｚ1、ｚ2满足关系式|ｚ1|2 |ｚ2|2=1,设ｚ=ｚ1·ｚ2,若ｚ=ｘ ｙｉ(ｘ、ｙ∈Ｒ),求ｘ ｙ的最大值和最小值。解:∵|ｚ1|2 |ｚ2|2=1,而|ｚ|=|ｚ1|·|ｚ2|≤|ｚ1|2… 相似文献
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复数辐角主值问题是复数中的重点内容 ,也是高考命题的热点 .但是复数辐角主值问题又是考生容易出错的内容 .下面给出复数辐角主值问题的三种基本处理方法 ,以便大家对复数辐角及其主值有个深刻的认识 ,同时掌握处理复数辐角主值问题的基本策略 ,提高解题能力 .一、利用复数辐角主值的定义求解将复数ｚ化为ｚ=ａ ｂｉ(ａ ,ｂ∈Ｒ)的形式 ,由ｔｇθ=ｂａ(ａ≠ 0 )及θ∈ [0 ,2π)求出θ=ａｒｇｚ;或将复数ｚ化为ｚ =ｃｏｓθ ｉｓｉｎθ(θ∈[0 ,2π)的形式 ,则θ=ａｒｇｚ .例 1 (’93上海 )设ｚ=ｃｏｓ75 π ｉｓｉｎ75 π ,ｉ是虚数单位… 相似文献
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通过复平面可把复数与平面解析几何的某些曲线联系起来 ,而且用复数形式表示曲线方程显得更简单更清晰 .本文就求复点轨迹的常用方法例析如下 .一、利用整体思想方法例 1 设ｚ 1ｚ ∈Ｒ ,求ｚ在复平面上对应点的轨迹 .解 :ｚ 1ｚ ∈Ｒ ｚ 1ｚ =ｚ 1ｚ (ｚ-ｚ) ｚ-ｚｚｚ =0 (ｚ -ｚ) (1- 1｜ｚ｜2 ) =0 ｚ =ｚ且ｚ≠ 0或｜ｚ｜ =1 ｚ∈Ｒ且ｚ≠ 0或｜ｚ｜ =1∴ｚ在复平面上对应点的轨迹是除去原点的实轴或以原点为圆心 ,以 1为半径的圆 .说明 :上题视ｚ 1ｚ 为整体 ,利用性质ｚ∈Ｒ ｚ=ｚ通过复数运算 ,化繁为简 ,寻找出复数… 相似文献
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复数的三角形式沟通了代数与三角间的联系，从而为用三角知识解决代数问题带来了方便，同样某些三角问题若利用复数知识来解，则别有一番风味．下面试举例说明．１ 用复数表示三角函数设ｚ＝ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ，则有－ｚ＝ｃｏｓθ－ｉｓｉｎθ， ｚ·－ｚ＝１．于是可得公式Ⅰ ｃｏｓθ＝ｚ＋－ｚ２＝ｚ２＋１２ｚ，ｓｉｎθ＝ｚ－－ｚ２ｉ＝ｚ２－１２ｉｚ，ｔｇθ＝ｚ２－１ｉ（ｚ２＋１）．又由ｚｎ＝ｃｏｓｎθ＋ｉｓｉｎｎθ，ｚｎ＝ｃｏｓｎθ－ｉｓｉｎｎθ．因此有公式Ⅱ ｃｏｓｎθ＝ｚｎ＋ｚｎ２＝ｚ２ｎ＋１２ｚｎ，ｓｉ… 相似文献
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题目 已知复数ｚ1 =ｉ(1 -ｉ) 3.(Ⅰ )求ａｒｇｚ1 及 ｜ｚ1 ｜ ;(Ⅱ )当复数ｚ满足｜ｚ｜=1 ,求｜ｚ-ｚ1 ｜的最大值 .(Ⅰ )解略 .下面给出 (Ⅱ )的七种解法 :解法 1 (三角形式法 )设ｚ=ｃｏｓα ｉｓｉｎα ,则ｚ-ｚ1 =(ｃｏｓα -2 ) (ｓｉｎα 2 )ｉ;∴ ｜ｚ -ｚ1 ｜=(ｃｏｓα-2 ) 2 (ｓｉｎα 2 ) 2=9 42ｓｉｎ(α-π4)≤ 9 42 =2 2 1 .上式等号当且仅当ｓｉｎ(α-π4) =1时取到 .从而得到｜ｚ-ｚ1 ｜的最大值为 2 2 1 .解法 2 (代数形式法 ) 设ｚ=ａ ｂｉ(ａ ,ｂ∈Ｒ) ,且ａ2 ｂ2 =1 ,则｜ｂ-ａ｜2 =｜ａ2 ｂ2-2ａ… 相似文献
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《〈考试说明〉》要求考生:(1)了解引进复数的必要性,理解复数的有关概念,掌握复数的代数形式和几何意义;(2)掌握复数的代数形式的运算法则,能进行复数代数形式加、减、乘、除法运算,在运算时适当运用复数i;1±i,-12±32i=ω乘方运算结果来简化计算;(3)了解从自然数系到复数系扩充的基本思想,掌握复数问题实数化;(4)注重复习时基本方法(转化思想、分类讨论、数形结合思想)的运用.下面介绍高考复数试题考点及其求解策略.考点1 复数的四则运算例1 (1996年全国高考题)1复数(2+2i)4(1-3i)5等于( )(A)1+3i. (B)-1+3i.(C)1-3i. (… 相似文献
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复数ｚ=ａ ｂｉ(ａ,ｂ∈Ｒ)和它的共轭复数ｚ-=ａ-ｂｉ在教材中已作过介绍。本文将通过一些典型例题介绍共轭复数的性质及应用,便于中学师生对问题的把握和认识。1、设ｚ为复数,则ｚ2=ｚ·ｚ-例1 ｚ1、ｚ2∈Ｃ,试证:ｚ1 ｚ22 ｚ1-ｚ22=2(ｚ12 ｚ22)证明:ｚ1 ｚ22 ｚ1-ｚ22=(ｚ1 ｚ2)(ｚ1 ｚ2) (ｚ1-ｚ2)(ｚ1-ｚ2)=(ｚ1 ｚ2)(ｚ1 ｚ2) (ｚ1-ｚ2)(ｚ1-ｚ2)=ｚ1·ｚ1 ｚ1·ｚ2 ｚ2·ｚ1 ｚ2·ｚ2 ｚ1·ｚ1-ｚ1·ｚ2-ｚ2·ｚ1 ｚ2·ｚ2=2(ｚ1·ｚ1 ｚ2·ｚ2)=2(ｚ12 ｚ22)例2 设ｚ1,ｚ2,ｚ3,为复数,且ｚ1=ｚ2=ｚ3=1求证:ｚ1·ｚ2 ｚ2·ｚ3 ｚ3… 相似文献
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高考中的复数题,重点考查复数的概念和运算。解这类问题,若不加分析就设出复数的代数形式或三角形式,联立方程组去求解,往往运算繁琐,影响到解题的速度和正确性。如果认真研究其结构特征,充分利用复数的几何意义,利用数形结合思想求解,则可化难为易,简化解题过程（２）设复数Ｚ满足｜Ｚ -ｉ｜＝１,且Ｚ≠０,Ｚ≠Ｚｉ,又复 点的轨迹是以（０,１）为圆心,以１为半径的圆（除去点（０,２））数形结合思想解复数题运用例说@薛建西 相似文献
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先看一个问题 :例 1 对于任意两个复数ｚ1 =ｘ1 + ｙ1 ｉ,ｚ2 =ｘ2 + ｙ2 ｉ(ｘ1 ,ｙ1 ,ｘ2 ,ｙ2 为实数 ) ,定义运算“⊙”为 :ｚ1 ⊙ｚ2 =ｘ1 ｘ2 + ｙ1 ｙ2 .设非零复数ｗ1 ,ｗ2 在复平面内对应的点分别为Ｐ1 ,Ｐ2 ,点Ｏ为坐标原点 .如果ｗ1 ⊙ｗ2 =0 ,那么在 Ｐ1 ＯＰ2 中 ,∠Ｐ1 ＯＰ2 的大小为 .分析 本题是 2 0 0 2年全国春季高考数学理科卷第 1 6题 ,题中定义了一种复数运算“⊙” ,表示两个复数的实部与虚部乘积的和 .理解了该运算的含义 ,便有下述解法 :令 ｗ1 =ｘ1 +ｙ1 ｉ, ｗ2 =ｘ2 +ｙ2 ｉ,由ｗ1 ⊙ｗ2 =0 ,得ｘ1 ｘ2 +… 相似文献
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我们知道在复平面内相同的向量表示相同的复数 ,因此当复数对应的向量平移后它对所应的复数不变 ,但是在平时的教学中许多学生对此未给予足够的重视而常常犯一些错误 ,其主要原因是没有弄清楚复数对应的点的平移与复数对应的向量平移有何区别 ,试比较下面两个问题 :例 1 设复数ｚ在复平面内对应的点为Ｚ ,将点Ｚ绕坐标原点逆时针方向旋转 π4 ,再沿实轴正方向平移 1个单位 ,得到点Ｚ1,若点Ｚ1与点Ｚ重合 ,求复数ｚ .解 由题意可得ｚ(ｃｏｓπ4 ｉｓｉｎ π4) 1=ｚ,解得ｚ=- 22 2 22 ｉ.例 2 设向量ＯＺ(Ｏ是坐标原点 )对应的复数为ｚ… 相似文献
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陈智勇 《湖南师范大学教育科学学报》2000,(Z3)
复数与三角,平面几何,解析几何均有内在联系,运算复杂,对能力要求高,若能总结规律,掌握解复数问题的方法和技巧,定能左右逢源,使学习更上一层楼。 一、用习题中的重要结论解复数题。 复数习题中有许多重要结论,例如｜ｚ１＋ｚ２｜２＋｜ｚ１－ｚ２｜２＝２（｜ｚ１｜２＋｜ｚ２｜２）,若ｚ∈ｃ,且ｚ≠±１,则是纯虚数｜ｚ｜＝１…若能灵活运用这些结论,会收到事半功倍之效。 例１：设ｚ∈ｃ,｜ｚ｜＝５,则｜ｚ＋３－４ｉ｜２＋｜ｚ－（３－４ｉ）｜２＝？ 解：｜ｚ＋３－４ｉ｜２＋ ｜ｚ－３＋４ｉ｜２＝｜ｚ＋（３－４ｉ）… 相似文献
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复数问题是随着数的概念的扩展而渗入的 .处理复数问题能否做到从整体角度分析入手,灵活处理,关键取决于对复数的概念和性质掌握得 如何 .在实际运作中,学生往往是一遇到复数就设 z=a＋ bi,盲目入手,这样不但给自己带来诸多运算麻烦,而且问题也还未必能得到解决,常常是事倍而功半 .处理复杂的复数问题何以做到思维快捷,方法灵活 ?现举例一 . 例：设 z∈ C,且 (a∈ R,a≠ 0)为纯虚数,求 |z|。 解法 (1)∵为纯虚数,∴ z不可能为实数,故设 z=x＋ yi(x、 y∈ R,且 y≠ 0), 整理得 = 由纯虚数的定义得 y≠ 0,且 x2＋ y2－ a2=0,… 相似文献
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在解与一元二次方程相关的问题时 ,如果考虑问题不全面 ,思维欠缜密 ,就常常出现错误解答 .例 1 已知关于ｘ的方程 (ｍ - 1 )ｘ2 +2ｍｘ +ｍ =0有实数根 .求实数ｍ的取值范围 .错解 :∵方程 (ｍ - 1 )ｘ2 + 2ｍｘ +ｍ =0有实根 ,∴ ｍ - 1 ≠0 ,( 2ｍ) 2 - 4·(ｍ - 1 )·ｍ≥0 .解得ｍ≥0且ｍ≠1 .故所求的取值范围是ｍ≥0且ｍ≠1 .评析 :解答中忽视了两点 :一是已知条件没有肯定已知方程是二次的 ,而解答是按二次方程考虑的 ;二是方程有实根但题设没有指明有几个实根 ,因而有一个实根也应当是符合题意的 .正解 :分两种情况 :( 1 )当ｍ - … 相似文献
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袁海波 《数理化学习(高中版)》2004,(16)
求解复数问题时,通常都是设出z=x yi,代入问题中,经过复杂的运算转化为实数问题,然后继续求解.实际上,在许多情况下,复数问题可以不设而解.而等式zz=|z|2在这方面扮演着重要角色.该式沟通了复数的模与共轭的关系,可实现虚实互化,简化求解过程. 相似文献
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周荣诰 《中学数学教学参考》2000,(12)
本文给出复数的一个命题及其推论 ,并用它来解决复数和三角中的一些问题 .读者将会发现 ,利用文中的命题和推论使复数及三角的某些问题的求解过程大大简化 .命题 两个模相等的非零复数ｚ1 、ｚ2 ,满足 (ｚ1 ｚ2 ) 2 =λ2 ｚ1 ·ｚ2 的充要条件是|ｚ1 ｚ2 | =λ|ｚｋ| .(其中 相似文献
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<正>高考中复数的考查侧重于复数的有关概念及代数形式运算、运算的几何意义,难度系数不大.由于虚数不同于实数的某些运算性质,学习中宜与实数运算对比总结其异同,其加减运算几何意义可与向量加减对比.本文结合教材与高考要求,对复数相关题型加以归类解析,供大家参考.一、复数问题转化为实数问题例1若z∈C,且满足z(3+4i)=2-i,求z.分析利用复数相等的条件待定系数,将复数问题转化为实数问题是解决这类问题的常规方法. 相似文献
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复数的概念 (辐角、主值 )、向量表示、三角形式沟通了复数与三角之间的关系 .在复数与三角交汇点上设计试题已成为近年高考命题的热点 .本文就此问题探究如下 .一、以复数化三角形式的背景出现 .此类问题需正确理解复数与点集及起点为原点的向量之间的一一对应关系 ,把握三角形式的特征 ,运用三角有关知识和三角变换来解 .例 1 (1 993年高考题 )设复数ｚ=ｃｏｓθ ｉｓｉｎθ(0 <θ <π) ,ｗ =1 -(ｚ) 41 ｚ4 ,并且｜ｗ｜=33,ａｒｇω <π2 ,求θ .简析 :以｜ｗ｜=33,ａｒｇｗ =π2 为切入点 ,将ｗ化为三角形式 ,由模定θ ,再验ａｒｇｗ… 相似文献