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14 最近笔者对椭圆和双曲线作了些研究,得到两个重要的有趣的结论,现说明如下. 定义 以椭圆或双曲线上的一点和两个焦点组成的三角形叫做焦点三角形. 定理1 椭圆焦点三角形的内心轨迹仍为椭圆,且此椭圆与原椭圆的长轴之比为e,短轴之比为/(1)ee (e是原椭圆的离心率). 证明 不妨设椭圆方程为22221xyab =(a 0)b>>,P是椭圆上任一点,E、F是左、右焦点,c、e是半焦距和离心率,(,)Axy是△PEF的内心,PA交x轴于点B,如下图,由三角形内角平分线性质定理知 ||||||||||||BAEBFBAPEPFP== ||||2||||2EBFBcePEPFa === . 由定比分点公式知 ABPAy… 相似文献
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文[1]介绍双曲线焦点三角形的性质,作为补充,本文将介绍椭圆焦点三角形的几个性质. 如图,设12,FF是椭 圆22221(xyabab =>>0) 的焦点,P是椭圆上的任 意一点(异于长轴端点), 则称△12FPF为椭圆的焦点三角形. 设121221,,FPFPFFPFFqab==?,椭圆的离心率为e,则△12FPF有如下的性质. 性质1 12||||PFPF22cos(/2)bq=. 证明 在△12FPF中由余弦定理有 221212||||2||||cosPFPFPFPFq -?24c=. (1) 由椭圆的定义有 12||||2PFPFa =, ∴221212||||2||||PFPFPFPF ?24a=, (2) (2)(1)-得 122… 相似文献
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玉邴图 《中学数学教学参考》2003,(9):29-29
笔者最近对椭圆和双曲线焦点三角形做了些研究 ,得到了两个十分有趣的重要的轨迹 ,现说明如下 ,供读者参考 .定义 以椭圆或双曲线上一点和两焦点组成的三角形叫焦点三角形 .1 椭圆焦点三角形内心轨迹定理 1 设P是椭圆b2 x2 +a2 y2 =a2 b2 (a >b >0 )上的一点 ,E( -c,0 )、F(c,0 )分别是左、右焦点 ,e是椭圆的离心率 ,则△PEF的内心轨迹是椭圆 x2c2 +y2( eb1 +e) 2=1 ,且该椭圆长轴与原椭圆长轴之比等于原椭圆的离心率e.证明 :设A (x ,y)是△PEF的内心 ,PA交x轴于点B ,如图1 .由三角形内角平分线性质知|BA||AP|=|EB||EP|=|FB||F… 相似文献
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离心率是反映椭圆、双曲线、抛物线的一个共性的数值,通过它把圆锥曲线统一起来,即到定点的距离与到定直线的距离之比是常数的点的轨迹是圆锥曲线,这个常数就是离心率e.如果e>1,则轨迹是双曲线;如果e=1,则轨迹是抛物线;如果00)的右准线与两渐近线交于A、B两点,点F是其右焦点,若以AB为直径的圆过点F,则双曲线的离心率是()A.233B.2C.3D.2解由题意知|MF|=|MA|,即c-ac2=ac2×ab,知a=b,则e=2.2.已知椭圆过原点,且焦点为F1(1,0)、… 相似文献
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文[1]给出了椭圆切线的几个典型性质.受其启发,笔者探究了双曲线切线的一些性质.定理1双曲线的任意一条切线与切点处的两条焦半径所成角相等.图1证如图1,设双曲线方程为x2a2-by22=1(a>0,b>0),不妨在双曲线右支上任取一点为P(x0,y0),F1(-c,0),F2(c,0)为左右焦点,离心率为e,则|PF 相似文献
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以椭圆上一点与椭圆两焦点为顶点的三角形叫椭圆焦点三角形.它具有下面的一些性质.若椭圆x~2/a~2 y~2/b~2=1(a>b>)中,F_1、F_2是两焦点,P为椭圆上任一点,∠PF_1F_2=α,∠PF_2F_1=β,e为离心率,则 相似文献
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1例题呈现设椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的两个焦点为F1、F2,若椭圆上存在一点P,使PF1⊥PF2,则椭圆的离心率e的取值范围为__ . 相似文献
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本刊文[1]推出了如下两个重要定理: 定理1 设,GH是椭圆2222//xayb+= 1(ab>>0)的两条准线与x轴的交点,P是椭圆上的一点,e是离心率,c是半焦距,GPH q=,则q为钝角,且当2(51)/2e?时有coteq?(当且仅当22||/Pyabc=时等号成立). 定理2 设,GH是双曲线2222//xayb- 1(a=>0,0)b>的两条准线与x轴的交点,P是双曲线上的一点,e是离心率,c是半焦距, GPHq=,则q为锐角,且有coteq(当且仅当22||/Pyabc=时等号成立). 有了这两个定理我们可容易推得 推论1 条件同定理1,当coteq?时,三角形PGH的面积 2224(cotcot)/Sbeeqq=-?. 证明 由对称性,不妨设点(,)Pxy在… 相似文献
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文[1]中给出如下两个结论: 定理1 设直线l经过双曲线x2/a2-y2/b2=1(a＞0,b＞0)的焦点F,直线l交双曲线的两条准线于A、B,点O是双曲线的中心,e是离心率,l的倾斜角为θ(θ∈(0,π)),则OA⊥OB的充要条件是sinθ=1/e2. 相似文献
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文 [1]～ [4 ]给出了与圆锥曲线有关的一些不等式 ,本文再给出与双曲线有关的一个不等式 ,然后介绍它的应用 .定理 设F是双曲线的一个焦点 ,l是过焦点F且垂直实轴的直线 ,A1、A2 是双曲线与实轴的两个交点 ,P∈l,∠A1PA2 =α ,e是双曲线的离心率 ,则α为锐角 ,且sinα≤ 1e.当且仅当点P到双曲线实轴的距离是双曲线虚半轴长时取等号 .证明 不妨设双曲线方程为 x2a2 - y2b2 =1,F(c,0 )为右焦点 ,P位于x轴上方 ,如图 1所示 .易知过点F垂直于x轴的直线l的方程为x =c,从而可设点P的坐标为 (c ,y) (y>0 ) .又知A1(-a ,0 ) ,A2 (a ,0 ) ,由… 相似文献
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本刊文[1]探索了椭圆和双曲线上的点对两焦点张角的性质及应用,在它的启示下,笔者将两焦点引申为两顶点,进行探索,得 定理1 00(,)Pxy是椭圆 2222bxay+= 22(0)abab>>上除去左、右顶点(,0)Aa-、(,0)Ba外的任一点,p是焦点到相应准线的距离,c、e是半焦距和离心率,APBq?,则q为钝角且有 (1) 02||cotpyeq=-? (2) 222cotPABbSeqD=-? 证明 不妨设 00(,)Pxy在x轴上 方,如图,则有 tan1PBPAPBPAkkkkq-=+. ①又知00PBykxa=-,00PAykxa=+, 将它们代入①化简得 0222002tanayxyaq=+-. ②由概圆方程2222002axayb=-,代入②… 相似文献
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玉邴图 《数理化学习(高中版)》2005,(24)
定义椭圆或双曲线上一点和两焦点组成的三角形叫做焦点三角形;有一个角为直角的焦点三角形叫做焦点直角三角形．为了减少篇幅和方便叙述,先介绍几个一般性结论．性质P是椭圆x2/a2 y2/b2=1(a>c≥b>0,c是半焦距)或双曲线x2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0,c是半焦距)上的一点,O是原点,E,F是椭圆 相似文献
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杨先义 《中学数学研究(江西师大)》2005,(7):21-21
笔者在教学中发现了圆锥曲线的两个有趣性质,介绍如下,供参考. 性质1 P(x0,y0)是椭圆x2/a2 y/b2=1(a＞b＞0)上一点,y0≠0,F1、F2分别是椭圆的左、右焦点,I是△PF1F2的内心,I的横坐标为xI,则xI/x0=e,其中e是椭圆的离心率. 相似文献
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周斌 《数学大世界(高中辅导)》2003,(12):21-22
下面介绍三角法在解圆锥曲线题中的运用,供同学们学习时参考. [例1] 设P是椭圆上一点,F1、F2为焦点,如果∠PF2F1=75°,∠PF1F2=15°,求椭圆的离心率. 相似文献
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文[1]给出了椭圆、双曲线及抛物线的一组性质,并分别证明了它们.本文给出它们的统一形式,并给出了它们统一性证明,显得简洁明了.定理经过横向型圆锥曲线的准线与对称轴的交点E作直经l交圆锥曲线于A、B两点,过A(或B)作平行于准线的直线交圆锥曲线于M(或N),F为圆锥曲线与准线相对应的焦点.若EA=λEB,则FM=?λFB(或FA=?λFN).证明以EF所在直线为x轴,F为坐标原点建立直角坐标系.设焦点到相应准线的距离为p,则得F(0,0)、E(?p,0),经过E点的准线方程为x=?p.设P(x,y)是横向型圆锥曲线上的一点,它到准线的距离为d,则由题设及圆锥曲线统一… 相似文献
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圆锥曲线上一点与其两焦点构成的三角形俗称焦点三角形.本文将介绍椭圆与双曲线的焦点三角形的几个性质.1与椭圆的焦点三角形有关的性质设椭圆x_2/a_2 y_2/b_2=1(a>b>0)上任一点P,两焦点F_1(-c,0)F_2(c,0)Fc,12PFFα∠=,21PFF∠β=,12FPFθ∠=.性质12cos12eθ≥?.证明由正弦定理,有1212sinsinsinPFPFFFβαθ==.由等比性质,且考虑到122PFPFa =和122FFc=有2sinsinsinsin2sinsin()acαβαβθαβ == 2sincos222sincos22αβαβαβαβ ?= 1111coscossin222αβθθ≤== ?,即有22(1cos)/2/caθ?≤.由/eca=,整理立得:2cos12eθ… 相似文献
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玉邴图 《河北理科教学研究》2004,(1):50-51
文[1]推出了如下两个重要定理: 定理1 设G,H是椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的两条准线与x轴的交点,P是椭圆上的一点,e是离心率,c是半焦距,∠GPH=θ,则θ为钝角,且当e2≥1/2(5~(1/2)-1)时有cotθ≤-e(当且仅当|yp|=ab2/c2时等号成立). 相似文献
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文[1]给出了双曲线平行弦的两个优美性质:性质1:过双曲线ax22-yb22=1(a>0,b>0)的顶点A的弦AQ交y轴于点R,过双曲线中心O的半弦OP∥AQ,则|OP|2=21|AR|·|AQ|.性质2:MN是过双曲线xa22-by22=1(a>0,b>0)的焦点F的弦,过双曲线中心O的半弦OP∥MN,则|OP|2=2a|MN|.在其基础上,笔者对椭圆 相似文献