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同学们知道,解分式方程的基本思路是在方程两边同乘以一个整式,将分式方程化为整式方程来解.解无理方程的基本思路是两边分别乘方,将无理方程化为有理方程来解.由于方程两边同乘以一个整式后一般不是原方程的同解方程(扩大了未知数的取值 相似文献
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解分式方程时,由于方程两边同时乘以的最简公分母未知是否为零,故所求出的解可能使分母为零,即为增根。据此可知,分式方程要有增根,未知数的取值必是使最简公分母为零。由此可判断有增根的分式方程其增根是多少,或在知道某一增根的条件下求出分式方程中其它字母的值。例1 若方程2x-1x-1=1+x-ax(x-1)在实数范围内无解,求a分析:此方程无解,有两种情况:其一是化为整式方程后整式方程无解;其二是整式方程的解是分式方程的增根。解:方程两边同时乘以x(x-1)化为整式方程得:x2-x+2-a=0(1)当△<0时方程无解即(-1)2-4×1×(2-a)<0解得a<74(2)当分式… 相似文献
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方程af(x)+f(x)~(1/b)=c,一般用代换法来解。但当a、b、c为整数,a>0时,用观察法来解,显得更为简便,下面介绍这种方法。定理:如果存在平方数m≥0,使 c=am+m~(1/b)则方程af(x)+f(x)~(1/b)=c ①与方程(f(x)-m~(1/2))(f(x)+b/a+m~(1/2)=0同解②其中f(x)为x的解析式。证明:设a是方程①的解,则 af(a)+f(a)~(1/b)=am+m~(1/b)∵ f(x),m≥0, 相似文献
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本刊84年第一期曾译介苏联《数学教学》刊登的解法.本文给出方程 侧ax+b士订‘e劣+房=无(1)的另一解法.不妨设无护0.将等式 (a劣+b)一(e劣+d)=(a一c)x+(b一己)两边除以(1)的两边:、而丁不了干、而丁万丁_a一C 无b一‘ 垂(1)十(2),两边平方即得二次方程.(2)4(a劣+b)二(罕·朴竺书二).例1解 (3).解方程侧3x十1一了:+4=1.今3)’袱一;份飞、钟叭‘:=5·验知:=5是原方程的根. 例2.解方程召矛丁牙二及+侧万恋万丽不了二3。 解等式(护一:一2)一(x2一3:+5)=2‘一7两边除以原方程两边,再与原方程相加,平方整理: 8劣2一1 12一19二0。解得:x,=一1,x:=… 相似文献
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许多书上求方程x1+x2+Λ+xn=m(m∈N鄢)的正整数解都是利用等异元素允许重复的组和数来求的。下面本人用相异元素不允许重复的组和数来求方程x1+x2+Λ+xn=m(m∈N鄢)的正整数解。作为特例,先求方程x1+x2+……+x5=7正整数解。构造模型:设有7个小球排成一排,这7个小球之间有6个空,在这6个空中任选4个画上线,则7个小球将分成5部分,比如:摇00｜00｜0｜0｜0这5部分刚好是方程x1+x2+……+x5=7一个正整数解。其中x1=2,x2=2,x3=1,x4=1,x5=1。比如:摇0｜00｜0｜00｜0这5部分也刚好是方程x1+x2+……+x5=7一个正整数解。其中x1=1,x2=2,x3=1,x4=2,x5=1。… 相似文献
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求有理分函数 y=a1x2 +b1x+c1ax2 +bx+c 的值域 (或最值 )是中学数学中的一个难点 ,由于受到各种资料的影响 ,学生常用一元二次方程根的判别式求解。但由于求解过程中采用了非等价变形 ,易导致解题出错。本文试对这个问题作初步探讨。用一元二次方程根的判别式求函数y =a1x2 +b1x+c1ax2 +bx+c (a≠ 0 ) (1)的值域 ,先作如下变形 :(ay -a1)x2 + (by-b1)x +cy-c1=0 (2 )由于x是实数 ,所以△ ≥ 0 ,即(by-b1) 2 - 4(ay -a1) (cy-c1) ≥ 0 (3)解不等式 (3)即得函数 (1)的值域。其实上述解法 ,求得 (3)中 y的值的集合不… 相似文献
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一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),当有一个根是“1”时,根据方程根的定义得a+b+c=0,反之,如果a+b+c=0时,方程的根又分别是什么呢?证明:∵a+b+c=0∴b=-a-c则ax2+bx+c=0变为ax2+(-a-c)x+c=0可分解为(ax-c)(x-1)=0解得:x1=1x2=ac也就是方程ax2+bx+c=0(a≠0)中,当a+b+c=0时,有一个根是1,另一个根是c/a,借这个特殊性质来巧解题。1、巧求一元二次方程的两个根例1解关于x的方程:mx2-(m-n)x-n=0(m≠0)解:∵m-(m-n)-n=0∴x1=1x2=-(mn).2、巧求代数式的值已知:一元二次方程(ab-2b)x2+2(b-a)x+2a-ab=0有两个相等的实数根,求1a+1b的值。解:方程(ab-2b)x2+2… 相似文献
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高树茂 《山西教育(综合版)》2001,(16)
一、明确一元二次方程的真实涵义“只含有一个未知数 ,并且未知数的最高次数是 2的整式方程叫做一元二次方程。”要正确理解这一概念 ,必须明确以下几点 :1.方程两边都是整式 ;2 .方程只含有一个未知数 ;3.在满足 1、2的前提条件下 ,方程经整理可化为 ax2 bx c=0 (a≠ 0 )的一般形式。因此 ,凡指方程 ax2 bx c= 0是一元二次方程 ,必有 a≠ 0 ;反之 ,只有当 a≠ 0时 ,方程 ax2 bx c=0才是一元二次方程。例 1.关于 x、y的方程 :(1)x2 - 1x2 =0 ;(2 ) (x 3) (x- 1) =x2 ;(3) (2 x 1) (2 x- 1) =x;(4 )x2 xy- 4 =0 ;(5 ) x2 - mx(2 x-m - 1)… 相似文献
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陈幼民 《开封教育学院学报》1992,(1)
解无理方程的方法很多,技巧性也强,我们应当灵活运用。本文介绍无理方程的十八种解法,仅供参考。1.平方法。用平方法解二次根式方程的过程,实质是把根式方程两边经过一次或多次平方,化为整式方程来解。 相似文献
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⑩一次方程和二次方程的解法一、复习要点1方程的概念(1)含有未知数的叫做方程.(2)能使左右两边的值相等的的值叫做方程的解.一元方程的解又叫做.(3)求方程的解或说明方程无解的过程叫做.2一元一次方程(1)只含有个未知数,并且未知数的次数是的整式方程叫做一元一次方程,它的标准式是ａｘ+ｂ=0(其中是未知数,是已知数且≠0).(2)解一元一次方程的步骤:去分母;去括号;移项;合并同类项,化为ａｘ=ｂ的形式;系数化为1.3一元二次方程(1)只含有个未知数,并且未知数的最高次数是的整式方程叫做一元二次方程,它的一般形式是ａｘ2+ｂｘ+ｃ=0(其中是未知… 相似文献
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林丽娟 《唐山师范学院学报》2023,(6):7-9
利用Pell方程基本解性质、递推序列、同余思想以及二次剩余等初等方法得到并证明了在(M,N)=(1,68)时不定方程Mx(x+1)(x+2)(x+3)=Ny(y+1)(y+2)(y+3)仅有2组非平凡整数解(x,y)=(14,4),(14,-7)。 相似文献
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设函数f(x)=ax2+bx+c(-1≤x≤1),则f(1)=a+b+c,f(0)=c,f(-1)=a-b+c,解得a=1/2f(1)+1/2f(-1)-f(0),b=1/2f(1)-1/2f(-1),c=f(0),从而有f(x)=[1/2f(1)+1/2f(-1)-f(0)]x2+[1/2f(1)-1/2f(-1)]x+f(0),利用这一表示形式可以解下列竞赛题. 相似文献
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众所周知,在解根式方程时,为了去掉方程里含有未知数的根式,把根式方程化为有理方程,必须将方程的两边乘方相同的次数。如解方程(2x~2+7x)~(1/2)-x-2=0 解:移项,得(2x~2+7x)(1/2)=x+2两边平方,得2x~2+7x=x~2+4x+4,整理得 相似文献
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颜禹 《数理天地(初中版)》2003,(12)
看到复杂方程,难免手忙脚乱,其实大可不必紧张,用换元法试一试,一般都能奏效.现在就体验一下. 例1 解整式方程(6x+7)2(3x+4)(x+1)=6. 解在方程两边同时乘以12,得2×6(3x+4)(x+1)(6x+7)2=72,即(6x+7)2(6x+8)(6x+6)=72, 相似文献
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我们知道x3-1=(x-1)(x2+x+1),且对于一元多项式F(x)=a1 xn+a2xn-1+…+axx+an+1,若F(1)=0,则F(x)中一定含因式(x-1),若F(x)中不含因式(x-1),又如何寻求f(x)是否含因式(x2+x+1)?事实上,若F(x)含因式(x2+x+1),而不含因式(x-1)时,令x-1≠0,则有F(x)(x-1)=(x3-1)g(x).显然,当x3=1时,F(x)(x-1)=0,故有F(x)=0,而x3=1可转化为x3-1=0即(x-1)(x2+x+1).若x≠1,则必有x2+x+1=0.所以,把x3=1代入F(x)中,一定有F(x)=k(x2+x+1).若不然F(x)≠0.由此,很容易识别F(x)中是否有因式(x2+x+1)其方法是: 相似文献
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一元二次方程ax~2+bx+c=0(a≠0)有实根的充要条件是判别式△=b~2-4ac≥0,这里a、b、c是与未知数x无关的常数,对于象 1.求x~2+2xsin(xy)+1=0的一切实数解. 2.求x~2-2xsin(π/2)x+1=0的所有实根. 3.证明2sinx=5x~2+2x+3无实数解. 之类问题,是不是也可以应用类似的判别式来解呢?直接应用一元二次方程的根的判别式来解是缺乏理论根据的,本文给出这类问题的一般形式 相似文献