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朱美香 《中小学数学(初中教师版)》2013,(Z1):106-107
原题已知AB=AC,CD⊥AB于点D,BE上AC于点E,BE与CD相交于点O,(1)求证:AD=AE.(2)连接OA、BC,试判断直线OA、BC的位置关系并说明理由.提供的标准答案:(1)证明:如图1中,在△ACD与△ABE中,∵.∠ADC=∠A EB=90°,∠A=∠A,AC=AB,∴△ACD≌△ABE.∴AD=AE.(2)互相垂直;证明连接OA、BC,如图2,在Rt△ADO与Rt△AEO中, 相似文献
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靳秀清 《山西教育(综合版)》2001,(6)
在△ ABC中 ,∠ C=90°,CD⊥ AB于 D,AM是∠ BAC的平分线 ,交 CD于 E,交 BC于 M,过E作 EF∥ AB交 BC于 F。求证 :CM=BF。证法一 :(运用三角形知识 )证明 :过 M作 MN⊥ AB于点 N。∵∠ 1=∠ 2 ,易证△ ACM≌△ ANM,∴CM=MN。 ( 1)又 CD⊥ ABMN⊥ AB CD∥ MN, ∠ 3=∠ 5∠ 4 =∠ 5 ∠ 3=∠ 4 CE=CM。 ( 2 )由 ( 1)、( 2 )得 CE=MN。在 Rt△ EFC和 Rt△ NBM中 ,EF∥ AB ∠ B=∠ CFE,∠ CEF=∠ MNB,CE=MN Rt△ EFC≌ Rt△ NBM,∴ CF=BM,∴ CM=BF。 证法二 :(运用四边形知识 )证明 :过 M… 相似文献
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全等三角形中的开放题大致有如下几类一、补充条件型例1如图1,△ABC中,AD⊥BC于D,CE⊥AB于E,AD、CE交于H,请你添加一个适当的条件:__,例△AEH≌△CEB. 分析:此题明确了结论,要求同学们逆向探求使结论成立所需的条件,是一道条件开放性试题,而且所图1 相似文献
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一、试题1.试题1已知:如图1,四边形ABCD中,CB⊥BA于B,DA⊥BA于A,BC=2AD,DE⊥CD交AB于E,连接CE,求证:DE~2=AE·CE证明延长BA、CD相交于点F∵CB⊥BA,DA⊥BA(已知)∴DA//CB(同垂直于一条直线的二直线平行)在Rt△DAF与Rt△CBF中,∠CFB=∠DFA(公共角)∴ADAF~ACBF又∴DA=1/2CB(已知)∴CD=DF又∵ED⊥CF(已知) 相似文献
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黄细把 《中学课程辅导(初二版)》2006,(9):18-19
利用三角形全等可证明线段相等,以及证明与线段相等有关的线段和、差、倍、分等问题;还可证明两角相等,以及证明与两角相等有关的线段平行、线段垂直等问题.例1如图,∠BAC=90°,AB=AC,F是BC上一点,BD⊥AF于D,E为AF延长线上一点,CE⊥AE,求证:DE=AE-CE.证明:∵CE⊥AE,BD⊥AF于D,∴∠AEC=∠BDA=90°.∴∠1=90°-∠3=∠2.在△AEC和△BDA中,∵∠1=∠2,∠AEC=∠BDA,AC=AB,∴△AEC≌△BDA.∴CE=AD.∵DE=AE-AD,∴DE=AE-CE.例2如图,在△ABC中,D是AB的中点,DE∥BC交AC于E,F是BC上的点,BF=DE,求证:DF∥AC.证… 相似文献
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暑假数学兴趣小组正常开课了 .一天 ,老师出了一道文字证明题“求证 :有两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等 .”经过分析讨论 ,老师证明如下 :已知 :如图 1 ,△ABC与△A1 B1 C1 中 ,AB =A1 B1 ,BC =B1 C1 ,AD⊥BC于点D ,A1 D1 ⊥B1 C1 于点D1 ,且AD =A1 D1 .图 1求证 :△ABC≌△A1 B1 C1 .证明 在Rt△ABD与Rt△A1 B1 D1 中 ,AB =A1 B1 ,AD =A1 D1 ,∴Rt△ABD ≌Rt△A1 B1 D1 ,∴∠B =∠B1 ,又∵AB =A1 B1 ,BC =B1 C1 ,∴△ABC≌△A1 B1 C1 .老师证明时画的是锐角三角形 ,而我在分析时画的是钝… 相似文献
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已知 :如图 1点C是线段AB上一点 ,△ACM、△CBN是等边三角形 ,求证 :AN =BM .(人教版现行初中几何第二册P113第 13题 )。1 设AN与BM的交点是P、AN与MC的交点是G、BM与CN的交点是F ,连结GF、除了可以证明AN =BM外 ,我们还能发现 :(1)由于△ACN≌MCB ,得∠ANC =∠MBC ,易证明△CGN≌△CFB ,可得CG =CF .(2 )在△PFN和△CFB中 ,∠PFN =∠CFB、∠PNF =∠CBF ,利用三角形内角和定理易得∠NPF =∠BCF ,即AN与BM的夹角∠BPN =∠BCN .(3)由于CG =CF、∠GCF =6 0° ,所以△CGF也是等边三角形。(4 )由∠CFG… 相似文献
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俞连山 《初中生学习指导(初三版)》2022,(26):36-38
<正>一、平移全等模型例1如图1,点A,B,D,E在同一条直线上,AB=DE,AC//DF,BC//EF.求证：△ABC≌△DEF.解析：根据已知条件,利用“ASA”即可证出△ABC≌△DEF.∵AC//DF,∴∠CAB=∠FDE.∵BC//EF,∴∠CBA=∠FED.∵∠CAB=∠FDE,AB=DE,∠CBA=∠FED,∴△ABC≌△DEF(ASA).反思：可将图1看作是△ABC沿AB方向平移AD的长度得到的全等三角形模型.常见的平移全等三角形模型的呈现形式有图1、图2两种. 相似文献
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一、利用全等三角形的性质证明例1 已知:如图1,D、E在线段BC上,AD=AE,BD=CE.求证:∠B=∠C.证明:∵AD=AE,∴∠1=∠2,∴∠ADB=∠AEC在△ABD和△ACE中,BD=CE,∠ADB=∠AEC,AD=AE,∴△ABD≌△ACE(SAS).∴∠B=∠C. 相似文献
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在解梯形问题时,常常需要添作辅助线,其目的就是将梯形问题转化为同学们所熟悉的平行四边形和三角形来解决.下面举例说明梯形中常用的辅助线的作法郾一、作梯形的高例1如图1,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠D=∠C=90°,MA=MB,∠BMC=75°,∠AMD=45°.求证:BC=CD郾证明作AE⊥BC于E郾∵AD∥BC,∴DC=AE郾∵∠AMB=180°-75°-45°=60°,MA=MB,∴△AMB为正三角形郾∴AB=BM郾又∵∠ABE=60°+15°=75°=∠BMC,∴Rt△ABE≌Rt△BMC郾∴AE=BC郾∴BC=CD郾二、作梯形的中位线例2如图2,在梯形ABCD中,AD∥BC,AC⊥BD,垂足为O… 相似文献
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《时代数学学习》2005,(12)
1.4.2.(1)AB=CD.(2)∠AEB=∠CFD.3.12a.4.15°.5.10.6.①②.7.41a.8.①②③.9.D.10.A.11.A.12.D.13.D.14.D.15.证法一:在△BRP和△CPQ中,∵∠B=∠C=60°,BP=CQ,∠BPR=∠CQP=90°,∴△BRP≌△CPQ,∴RP=PQ.同理,PQ=QR.∴△RPQ为等力三角形.证法二:∵AB=BC=AC,∴∠B=∠C=∠A=60°.又BP=CQ=AR,∴△BRP≌△CPQ≌△AQR.∴PR=PQ=RQ.16.(1)连结AD,∵D为BC中点,△ABC为等腰三角形,∴∠DAE=∠DAF,∴△ADE≌△ADF,∴DE=DF.(2)在Rt△BDE和Rt△CDF中∠BED=∠CFD=90°,∵AB=AC,∴∠B=∠C.又ED=DF,∴… 相似文献
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题目1:已知,如图1,在矩形 ABCD 中,点E,F 分别在 BC、CD 上,且 CE=AB,CF=BE求证:AE⊥EF.证明:由条件可得△ABE≌△ECF,所以∠1=∠2,又∠B ∠1 ∠3=180°,∠AEF ∠3 ∠2=180°,所以∠AEF=∠B=∠C=90°,所以 AE⊥EF. 相似文献
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三角形三条高相交于一点，这点称为三角形的垂心。由此可得：△ABC任意两条高线AD、BE相交于H，则CH⊥AB。运用这个性质，可巧妙地解决一些几何问题。例1 CD是Rt△ABC斜边上的高，∠BAC的平分线AE交CD于H，交∠BCD的平分线CF于G，求证：FH∥BC。本题一般的证明思路是利用三角形的内角平分线的性质定理，得出DH∶HC=DF∶FB，推出HF∥BC。如果本题采用垂心性质来解，则别有味道，不失巧妙。证明：由AC⊥BC、CD⊥AB，得∠CAD=∠DCB，又因为∠DAH=∠CAH,∠DCF=∠BCF，因此，∠DCF=∠DAH,又∠ADH=Rt∠，得∠A… 相似文献
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在中学数学学习过程中 ,将一些题目进行变式练习 ,有利于开阔同学们的思路 ,培养创造性思维能力 ,提高归纳、总结、发现规律的能力。图 1问题 :如图 1 ,C是线段AB上的一点 ,分别以AC、BC为边在AB的同侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE ,边接AE、BD 求证 :AE =BD 证明 :△ACD和△BCE是等边三角形 ∠ 1 =∠ 3=6 0° ∠ACE =∠BCDAC =CD ,BC =CE △ACE≌△DCB图 2 AE =BD 变式一 :将点C改在AB的延长线上 ,如图 2。证明 :△ACD与△BCE是等边三角形 AC =CD ,BC =CE∠C =∠C △ACE≌△DCB AE =BD 变式二 :点C… 相似文献
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冯星 《山西教育(综合版)》2001,(14)
例 1 .求证等腰三角形底边上任意一点与两腰的距离和等于腰上的高。已知 :△ ABC中 ,AB=AC,P为 BC上任意一点 ,PE⊥ AB,PF⊥ AC,CD⊥ AB。如图 1。求证 :PE PF=CD。证明 :过 P点作 PM⊥ CD,∵ PE⊥ AB,CD⊥ AB,∴四边形 PMDE是矩形 ,∴PE=DM。∵PM⊥ CD,CD⊥AB,∴AB∥PM,∴∠ B=∠ MPC。∵AB=AC,∴∠ B=∠ ACB,∴∠ MPC=∠ ACB。在△ MPC和△ FCP中 , ∠ PMC=∠ CFP, ∠ MPC=∠ ACB, PC=CP,∴△ MPC≌△ FCP,∴PF=CM,∴CD=DM CM=PE PF。反思 1 .此题条件等腰三角形可变为等边三角形。… 相似文献