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一、求等差数列的通项公式例1是否存在这样的等差数列狖an狚,它的首项为1,公差不为零,它的前3n项中,前n项的和与后2n项的和的比对任意自然数n都等于常数λ?若存在,求出数列狖an狚的通项公式及常数λ;若不存在,说明理由.解设存在这样的等差数列狖an狚,它的公差为d,前n项的和为Sn,则它的前3n项中的后2n项的和为S3n-Sn.记SnS3n-Sn=λ(λ为常数),将其变形得(λ+1)Sn=λS3n.(1)将Sn=n2犤2+(n-1)d犦和S3n=3n2犤2+(3n-1)d犦代入(1),化简整理得d(1-8λ)n+2-4λ+(2λ-… 相似文献
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例1计算(1)a12÷a4;(2)x3n+4÷x3n+1.错解:(1)a12÷a4=a3;(2)x3n+4÷x3n+1=x3n+4-3n+1=x5.剖析:同底数幂相除的法则是“底数不变,指数相减”.(1)式的计算中,错把“指数相减”变成了“指数相除”;(2)式的计算中,法则虽没有用错,但在3n+1的外面没有加上括号,导致符号错误,正确答案是:(1)a8;(2)x3.例2计算:(-2x)4÷(-4x)3错解:(-2x)4÷(-4x)3=犤(-2)÷(-4)犦·x4-3=12x.剖析:-2和-4是括号内单项式的系数,可将(-… 相似文献
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一、填空题1.把方程3a3x+(a2+1)y=5写成用含x的代数式表示y的形式是.2.当x时,代数式3-2x的值不小于1.3.若|x-y+3|+(x+y-7)2=0,则xy=.4.已知a+b=9,ab=14,则a2-ab+b2=.5.把命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式:.6.线段AB=5cm,延长AB到C,使BC=2AB,若D为AB的中点,则DC的长为.7.若2x-y=a,x+2y= (a≠0),则x∶y=.8.若n为整数,且x2n=7,则(x3n)2-(x2)2n=.9.不等式5x-7≤0的正整数解是.10.关于x的方程2… 相似文献
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分解因式:x3-6x2+11x-6对于这样的三次四项式,既无公因式可提取,又不能用公式法、十字相乘法或分组分解法分解因式.因此,必须将它的某一项(常数项、一次项、二次项或三次项)拆成两项,然后用分组分解法分解因式.拆项分组的目的是使各组可分别用公式法、提公因式法或十字相乘法分解因式.一、拆常数项解1原式=(x3-1)-(6x2-11x+5)=(x-1)(x2+x+1)-(6x-5)(x-1)=(x-1)(x2-5x+6)=(x-1)(x-2)(x-3).解2原式=(x3-8)-(6x2-11x-… 相似文献
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某些二次根式的化简,如能注意根据题目本身的特点,灵活施以技巧化简的方法,往往可以事半功倍.下面列举几例说明.一、逆用运算性质例1计算(2√+3√)1990(2√-3√)1991.解:原式=[(2√+3√)(2√-3√)]1990·(2√-3√)=(-1)1990(2√-3√)=2√-3√.评注:根据底数的特点,逆用了幂的运算性质,使运算简捷.二、巧用因式分解例2化简1+32√-23√2√+3√+6√.解:原式=2√+3√+6√解:原式=(3√+2√)(3√-2√)+18√-12√2√+3√+6√… 相似文献
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一、含有绝对值的一次函数的图象例1画出下列各函数的图象.(1)y=12|x|+1;(2)y=|2x+1|+|x-1|.解:(1)原函数可化为y=12x+1,(x≥0),-12x+1.(x<0).因此,原函数图象是由射线y=12x+1(x≥0)和y=-12x+1(x<0)组成的一条折线,转折点是(0,1),如图(1).整个图象关于y轴对称.(2)当x≤-12时,y=-(2x+1)-(x-1)=-3x;当-12<x≤1时,y=2x+1-(x-1)=x+2;当x>1时,y=2x+1+x-1=3x.即… 相似文献
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晁朔 《初中生世界(初三物理版)》2002,(28)
运用整体思想解题,是指解题时把注意力和着眼点放在问题的整体结构上,从而触及问题的本质,达到求解的目的.它是数学解题中一个极其重要的策略,是提高解题速度及效率的有效途径.现和初一同学谈谈这一思想在解题中的应用.例1计算(1+12+13+14)(12+13+14+15)-(1+12+13+14+15)(12+13+14).(1990年全国少年数学邀请赛初赛试题)解设1+12+13+14=a,12+13+14=b,则有a-b=1,将其代入原式,有原式=a(b+15)-(a+15)b=ab+15a-ab-15b=15… 相似文献
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代数式的求值问题是各类竞赛中的常见题型,其基本方法是代入法.灵活、恰当地变形,巧妙地进行整体代入,既是一种重要的解题思想,又是一种化难为易的解题技巧.下面以一些竞赛题为例加以说明.例1已知x2+xy=3,xy+y2=-2,则2x2-xy-3y2=().(2001年湖北初中数学竞赛试题)解:∵x2+xy=3,xy+y2=-2,∴2x2-xy-3y2=2(x2+xy)-3(xy+y2)=6+6=12.例2已知x2-x-1=0,则x3-2x+1的值是().(2001年香港初中数学竞赛试题)解:∵x2-x-1=0,∴x2=x+1,则x3… 相似文献
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张树涛 《少年天地(小学)》2003,(5)
学习了一元二次方程的有关知识后,对于某些求值问题,考虑构造一元二次方程来解,非常巧妙、简捷.下面举例说明.一、利用去分母构造例1如果x+1x=3,求x4+3x3-16x2+3x-17的值.解:已知等式去分母,得x2-3x+1=0,∴x2=3x-1,x2-3x=-1.∴x4+3x3-16x2+3x-17=(3x-1)2+3x(3x-1)-16x2+3x-17=2x2-6x-16=2(x2-3x)-16=2×(-1)-16=-18.二、利用主元构造例2已知实数x、y满足5x2+8xy+4y2-4x+4=0,求x2+y2的值.解:以x… 相似文献
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用字母表示数或式时,常用到“n”,但往往对“n”有特殊的规定,如:①当n为自然数时,2n、2n-1分别表示正偶数和正奇数;②观察1+2=2(2+1)2,1+2+3=3(3+1)2,…,则有1+2+3+…+n=n(n+1)2例1(2001年南昌市)由火柴棒拼出的下列图形中,第n个图形由n个正方形组成.通过观察可以发现:第4个图形中,火柴棒有根,第n个图形中,火柴棒有根.解析:同学们首先观察前3个图形:当n=1时,火柴棒有3×1+1=4(根);当n=2时,火柴棒有3×2+1=7(根);当n=3时,火柴棒有3×3+… 相似文献
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所谓换元法,就是把某个代数式看成一个新的未知数(元)来实行变量替换,其实质就是转化.通过转化常能化繁为简、化难为易、化陌生为熟悉.下面通过实例加以说明.一、整体换元例1分解因式:(x2+x-1)(x2+x-3)-15.分析我们可视x3+x-1为整体,令其为y,则x2+x-3=y-2.这样便转化为我们所熟悉的二次三项式.解令x2+x-1=y,则原式=y(y-2)-15=Y2-2y-15=(y-5)(y+3)=(x2+x-6)(x2+x+2)=(x-2)(x+3)(x2+x+2).注也可视X2+X或X2+… 相似文献
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用拆项法求一类特殊数列的和贾彩军(甘肃省农业机械化学校733006)在下面叙述中,均设数列的通项为ai,前n项和为Sn,所有各项之和为S.高中《代数》第二册复习参考题二18:求11·2,12·3,13·4,…,1n(n+1),…的前n项的和,是用拆项... 相似文献
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二次函数是初中数学的重要内容之一,现将学习二次函数常见的解题错误归类剖析如下,供同学们复习时参考.一、忽视参数的取值范围例1x1、x2是关于x的方程14x2-(m+1)x+m2+m=0的两个实数根,设S=x12+x22.当m为何值时,S有最小值?最小值是多少?错解:由题意得x1+x2=4(m+1),x1x2=4(m2+m).∴S=x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=犤4(m+1)犦2-8(m2+m)=8m2+24m+16=8(m+32)2-2.∴当m=-32时,S有最小值-2.剖析:从上述解题过程中,很难发现有错误,… 相似文献
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数学公式是数学现象及其本质规律的揭示,因而在一个公式的结构特征中,往往蕴涵着潜在的规律,只要我们用心观察,认真分析研究,就会从中挖掘出新的使用价值。这无疑能激发学生强烈的求知欲与探索精神,有利于提高数学素养,培养创新精神。现以数列中的公式为例说明之。首项为a1,公差为d的等差数列{an}的前n项和Sn=na1+n(n-1)2d=12dn2+(a1-12d)n,若令p=12d,q=a1-12d,则Sn=pn2+qn(1)不难证明公式(1)是数列{an}为等差数列的充要条件。定理1一个数列的前n项和Sn=pn2+qn是此数列为等差数… 相似文献