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有关比例式、等积式的证明 ,是平面几何的常见题型 .本文举例给出解决这类问题及与之相关的几何式的思考方法 .1 基本比例式与等积式的证明思路 1 直接寻找相似三角形或被平行线分成的比例线段 ,或其它能给出比例式或等积式的定理的图形条件 . 图 1例 1 在△ＡＢＣ中 ,∠Ａ的外角平分线交直线ＢＣ于Ｅ ,交△ＡＢＣ的外接圆于Ｆ(图 1) ,求证 :ＡＢ·ＡＣ=ＡＥ·ＡＦ .思考 将求证式 图 2写成 ＡＢＡＥ =ＡＦＡＣ.可按竖向寻找相似三角形 ,证△ＡＢＥ ∽△ＡＦＣ ;也可横向寻找相似三角形 ,证△ＡＢＦ ∽△ＡＥＣ .例 2… 相似文献
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证明圆中线段等积式 (或比例式 )是一类综合性较强的几何证明题 .证明这类命题要综合应用相似形和圆的有关知识和方法 ,同时还要作适当的等量代换 .下面介绍证明这类命题的基本思路 .一、应用相似三角形的性质证明应用相似三角形的性质证明线段等积式 ,应先把线段等积式变形为线段比例式 ,然后再证其中四条线段所在的两个三角形相似 .例 1 已知 :如图 1,四边形ＡＢＣＤ是⊙Ｏ的内接四边形 ,Ａ是ＢＤ的中点 ,过Ａ点的切线与ＣＢ的延长线交于点Ｅ .( 1)求证 :ＡＢ·ＤＡ =ＣＤ·ＢＥ ;( 2 )略 .( 2 0 0 0年北京市海淀区中考题 )分析 ( 1)要… 相似文献
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证明比例式或等积式的一般途径是证明比例式或等积式中的四条线段所在的两个三角形相似。而当所证的比例式或等积式中的四条线段不在两个相似三角形中时 ,则需一中间量作媒介 ,进行等量代换 ,举例说明如下 :1 借助相等线段代换例 1 如图 1,在△ＡＢＣ中 ,ＡＢ =ＡＣ ,ＡＤ为中线 ,Ｐ为ＡＤ上一点 ,过点Ｃ作ＣＦ∥ＡＢ ,延长ＢＰ交ＡＣ于Ｅ ,求证ＢＰ2 =ＰＥ·ＰＦ。[分析 ] 由于ＰＢ ,ＰＥ ,ＰＦ在同一直线上 ,不能组成两个相似三角形 ,故应考虑等量代换。连结ＣＰ ,易证△ＡＢＰ≌△ＡＣＰ ,所以ＣＰ =ＢＰ。故可用ＣＰ代替等积式中的Ｂ… 相似文献
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同学们都知道,应用全等三角形可以证明线段相等和角相等．这是全等三角形的基本功能．但具体证题时又感到难以下手,不知道怎样应用全等三角形证题．为了帮助同学们解决这个问题,下面谈两点意见．一、善于从复杂图形中识别全等三角形例１ 如图１,已知ＡＢ＝ＡＣ,ＡＤ＝ＡＥ,∠ＢＡＣ＝∠ＤＡＥ,ＡＣ、ＣＥ分别交ＢＤ于Ｆ、Ｇ,ＡＤ交ＣＥ于Ｈ．求证：∠Ｂ＝∠Ｃ．分析 证明此题时,有部分同学只看到∠Ｂ、∠Ｃ分别是△ＡＢＦ和△ＦＣＧ的一个内角,而这两个三角形又不一定全等,从而便束手无策．我们还应该看到,∠Ｂ、∠Ｃ又分别是… 相似文献
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一题多解对发展学生的思维能力,培养学生应用归纳、演绎和类比的方法进行推理,形成良好的思维品质具有积极作用。下面仅以一道几何题的证明为例,说明之。 例：如图,△ＡＢＣ是 Ｏ的内接三角形,ＡＤ是 Ｏ的直径,ＣＥ⊥ＡＤ于Ｅ,ＣＥ的延长线交ＡＢ于Ｆ。 求证：ＡＣ２＝ＡＦ·ＡＢ ｏ 证法一（分析）：所证等积式的三条线段分属两个三角形,只需证明△ＡＣＦ∽△ＡＢＣ即可。∠Ａ＝∠Ａ,根据同弧所对的圆周角相等,∠Ｂ＝∠Ｄ,根据直径所对的圆周角是直角,知△ＡＤＣ为直角三角形。又因为ＣＥ⊥ＡＤ,可推出∠ＡＣＦ＝∠Ｄ＝∠Ｂ,… 相似文献
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一题多解有利于开拓思路，培养思维能力．本文将研究一道几何题的多种证法，供读者参考．题目如图１，已知ＡＢＣ为等边三角形，延长ＢＣ到Ｄ，又延长ＢＡ到Ｅ，使ＡＥ＝ＢＤ，连结ＣＥ、ＤＥ．求证：ＣＥ＝ＤＥ．分析利用全等三角形证明两条线段相等是最基本而又最常用的方法．但在给定图形中并没有以ＣＥ、ＤＥ为一对对应边的全等三角形，因此必须添加辅助线，构成证题所需的全等三角形．具体添加辅助线的方法有如下六种：（１）在ＡＥ上取一点Ｆ，使ＡＦ＝ＣＤ，连结ＤＦ（如图１），则ＥＦ＝ＢＣ＝ＡＣ，ＢＦ＝ＢＤ．于是，欲证ＣＥ＝Ｄ… 相似文献
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证 明线段等积是平面几何的一个重要课题 .证明在同一直线上的四条线段等积 ,是这类问题的一个难点 ,也是中考命题的一个热点 .下面介绍这类问题的四种常见解法 .一、等线段代换例 1 如图 1,⊙Ｏ与⊙Ａ相交于Ｃ、Ｄ两点 ,Ａ点在⊙Ｏ上 ,过Ａ点的直线与ＣＤ、⊙Ａ、⊙Ｏ分别交于Ｆ、Ｅ、Ｂ .求证 :ＡＥ2 =ＡＦ·ＡＢ .(2 0 0 1年甘肃省中考题 )分析 由于要证的几条线段ＡＥ、ＡＦ、ＡＢ在同一直线上 ,无法构成相似三角形 ,故应找线段作等量代换 .因为⊙Ｏ过点Ａ ,所以连结ＡＣ、ＡＤ ,则有ＡＣ=ＡＤ =ＡＥ .故可用ＡＤ(或ＡＣ)来代换ＡＥ .… 相似文献
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在平行线分线段成比例定理中有两种基本图形：“Ａ”型图（图１）和“Ｘ”型图（图２）．它们都是由ＤＥ∥ＢＣ而构成比例线段,在解题中有着重要的作用．下面谈谈相似三角形中的“Ａ”型图的“Ｘ”型图在解题中的应用．图形特征：ＤＥ截△ＡＢＣ两边（或两边的延长线）,且ＤＥ∥ＢＣ,由ＤＥ∥ＢＣ得 ＡＤＡＥ＝ＤＢＥＣ＝ＡＢＡＣ,ＡＤＡＢ＝ＤＥＢＣ＝ＡＥＡＣ．证题方法：以平行线为桥梁,寻找或构造“Ａ”型图和“Ｘ”型图,探求解题思种．例１ 已知：如图３,在△ＡＢＣ中,ＤＥ∥ＢＣ,ＢＥ与ＣＤ相交于点Ｏ,ＡＯ与ＤＥ、ＢＣ… 相似文献
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初中《几何》第三册第 1 2 9页例 4:如图 1 ,⊙Ｏ1 和⊙Ｏ2 外切于点Ａ ,ＢＣ为⊙Ｏ1 、⊙Ｏ2 的外公切线 ,Ｂ、Ｃ为切点 .求证 :ＡＢ⊥ＡＣ .证明略 .我们把上题中的△ＡＢＣ叫做切点三角形 ,显然 ,切点三角形是直角三角形 .巧用切点三角形的这个性质能妙证许多几何问题 ,下面举例说明 .一、用于证明某条线段是某圆的直径图 1图 2 例 1 如图 2 ,⊙Ｏ1 、⊙Ｏ2 外切于点Ａ ,ＢＣ切⊙Ｏ1 、⊙Ｏ2 于Ｂ、Ｃ ,连结ＣＡ并延长交⊙Ｏ2 于Ｄ .求证 :ＢＤ是⊙Ｏ1 的直径 .分析 连结ＡＢ ,则△ＡＢＣ是切点三角形 ,故∠ＢＡＣ =90°.从而∠ＢＡ… 相似文献
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证明线段比例中项是平面几何中常见的问题 .研究此类题的证法 ,有利于培养学生分析问题和解决问题的能力 ,使学生积累一定的技巧和方法 ,提高解题的速度和质量 .现介绍几种证法供读者参考 .1 直接证三角形相似当所证的比例线段 ,分别是两个三角形的对应边时 ,可通过证三角形相似证明 .例 1 已知两圆内切于点Ｐ ,大圆的弦ＡＢ切小圆于Ｃ ,ＰＡ、ＰＢ交小圆于Ｅ、Ｆ .求证 :ＰＣ2 =ＰＥ·ＰＢ .分析 :ＰＣ、ＰＥ在△ＰＣＥ中 ,ＰＢ、ＰＣ在△ＰＢＣ中 .考虑证△ＰＣＥ∽△ＰＢＣ .图 1证明 :如图 1 ,过点Ｐ作两圆的公切线ＰＤ ,则∠ＰＥＣ =… 相似文献
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《中学课程辅导(初三版)》2006,(11):11-11
证明线段的比例式(或等积式)的常用方法是利用相似三角形,但不少同学证题时,不会寻找相似三角形,特别是当图形比较复杂时,更感到眼花缭乱,无从下手.为帮助同学们正确快速寻找相似三角形,本文介绍几种策略.一、三点定型法基本方法就是找出与结论中的线段有关的两个三角形,然后证 相似文献
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三角形三边关系定理及其推论有多方面的应用,现举例分述如下：一、证明线段间的不等关系．常用于证明两线段的和（差）大于（小于）第三线段．一般是选择或构造三角形,使这个三角形以相关线段为边,然后用定理或推论证明．例１如图,已知Ｄ、Ｅ是△ＡＢＣ内的两点．求证：ＡＢ＋ＡＣ＞ＢＤ＋ＤＥ＋ＥＣ．证明延长ＤＥ交ＡＣ于点Ｇ,延长ＥＤ交ＡＢ于点Ｆ．在△ＡＦＧ中,ＡＦ＋ＡＧ＞ＦＧ．（１）在△ＦＢＤ中,ＦＢ＋ＦＤ＞ＢＤ．（２）在△ＧＣＥ中,ＧＣ十ＥＧ＞ＥＣ．（３）将（１）、（２）、（３）式相加,得ＡＦ＋ＡＧ＋ＦＢ＋ＦＤ… 相似文献
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几何题中有不少问题的证明都是通过全等三角形来实现的．这里，如何构造全等三角形自然成为解决问题的关键．本文就角平分线条件构建全等三角形谈些思路．思路Ｉ过已知边上一点作角平分线的垂线，延长此垂线段与另一边相交得全等三角形，例１如图１，在西△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝３∠Ｃ，∠Ａ的平分线为ＡＤ，ＢＰ⊥ＡＤ，Ｐ是垂足．求证：ＢＰ＝１／２（ＡＣ－ＡＢ）．证明延长ＢＰ交ＡＣ于Ｑ．∵ＡＰ平分∠ＢＡＣ，且ＡＰ⊥ＢＱ，∴Ｒｔ△ＡＰＢ≌Ｒｔ△ＡＰＱ．∵∠１＝∠２，∴∠ＡＢＣ＝∠１＋∠３＝∠２＋∠３＝（∠３＋∠Ｃ）＋∠３＝… 相似文献
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罗锦海 《语数外学习(初中版)》2000,(6):32-34
利用三角形相似证明线段的等积式(或比例式)及角相等是几何证题中的重要内容,其关键在于寻找所需的相似三角形．下面介绍寻找相似三角形的几种常用方法． 相似文献
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任军 《初中生世界(初三物理版)》2003,(14)
证明线段的比例式（或等积式）的常用方法是利用相似三角形，但不少同学证题时，不会寻找相似三角形，特别是当图形比较复杂时，更感到眼花缭乱，无从下手．为帮助同学们正确快速寻找相似三角形，本文介绍几种常用策略．一、三点定型法基本方法就是找出与结论中的线段有关的两个三角形，然后证明这两个三角形相似，利用“相似三角形对应边成比例”推出结论．例１如图所示，AD是直角三角形ABC斜边上的高，DE⊥DF，且DE和DF分别交AB、AC于E、F．求证：AFAD＝BEBD．（２００２年安徽省中考试题）分析横找：这两个比的前项中的线段A… 相似文献
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阎建德 《中学数学教学参考》1999,(11)
题目 已知点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ顺次在⊙Ｏ上,ＡＢ＝ＢＤ,ＢＭ垂直于ＡＣ,垂足为Ｍ．证明：ＡＭ＝ＤＣ＋ＣＭ．（１９９７年江苏省初中竞赛题,著名的“阿基米德折弦定理”）．贵刊１９９９年第３期第３２页张昕老师《一道初中竞赛题的证法探讨》给出了多种证题思路,读后受益非浅．但张老师认为“证明本题必须通过截长补短的辅助线将证ＡＭ＝ＣＭ＋ＤＣ转化为证两线段相等”．而我对本题的特征又进行了分析．得出了下面的代数证法,以供参考．解法探索：因欲证ＡＭ＝ＤＣ＋ＣＭ,而ＡＭ、ＤＣ、ＣＭ都为线段的长,即均为正值．故只要证明Ａ… 相似文献
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初中平面几何中关于证明线段等积式的问题 ,是常见的一种题型 ,它是教学的一个重点．现举例介绍八种常用方法．一、利用平行线分线段成比例定理例１ 如图（１） ,ＡＤ是△ＡＢＣ的∠Ａ的平分线 ,交ＢＣ于Ｄ点 ,求证ＡＢ·ＤＣ＝ＢＤ·ＡＣ．ＡＢ２∶ＡＣ２＝ＰＢ∶ＰＣ．四、利用射影定理例４ 如图（４） ,△ＡＢＣ中 ,ＡＢ＝ＡＣ ,以ＡＢ为直径作圆交ＢＣ于Ｄ ,Ｏ是圆心 ,ＤＭ是⊙Ｏ的切线交ＡＣ于Ｍ ,求证ＤＣ２ ＝ＡＣ·ＣＭ．思路分析 :证明△ＡＤＣ是Ｒｔ△ ,并且ＤＭ⊥ＡＣ ,就可利用射影定理证得结论．五、利用圆幂定理例５ 如图（５… 相似文献