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1.
命题试证对任意a、b∈R,有max{|a b|,|a-b|,|1-b|}≥(1)/(2). 分析 (1)题目含义:在题设条件下,要证明|a b|,|a-b|,|1-b|三者之中的最大数不小于(1)/(2),由于a、b取值的任意性,即是要证明三者之中至少有一个不小于(1)/(2).因此可以得到. 相似文献
2.
命题1:若|a|<1,|b|<1,则|a+b|+|a-b|<2.命题2:若|a|<1,|b|<1,则|a+b|+|a-b|<2. 以上两个命题条件和结论形式相似,往往误认为它们都成立,实则前真后假,并且命题1的证明较为容易,命题2的否定较为困难.下面对前者予以证明,对后者给出常常出现的误证和正确的否定,希望能对正确区别它们和进一步理解绝对值不等式、向量的数量积性质有所裨益. 相似文献
3.
在高中数学教材中有定理||a|-|b||≤|a±b|≤|a| |b|,其中||a|-|b||≤|a b|,||a|-|b||≤|a-b|,|a b|≤|a| |b|,|a-b|≤|a| |b|取等号的充要条件分别是ab≤0,ab≥0,ab≥0,ab≤0,在解题过程中利用||a|-|b||≤|a±b|≤|a| |b|等号成立的条件解某些题,将得到解法 相似文献
4.
卞京宝 《数理天地(高中版)》2003,(11)
教材中的定理: ||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|,也称为“三角形不等式”,由此容易得到|a+b|≥||a|-|b||,|a+b|≤|a|+|b|,|a-b|≥||a|-|b||,|a-b|≤|a|+|b|,取等号的充要条件分别是ab≤0,ab≥0,ab≤0,ab≤0. 利用这些规律解题,常会带来很多方便. 1.求值域例1 函数y=x+1/x的值域. 解因为 相似文献
5.
1简单结论
若a,b均为正数,则有
a3 +b3≥a2b+ab2.(1)
这是一道容易的试题,只要作差即可得证,证明过程如下:
a3 +b3-a2b-ab2
=(a2-b2)(a-b)
=(a+b)(a-b)2≥0.
当且仅当a=b时上述等号成立.我们把它称为结论(1).
2精彩应用
案例1 (2017年高考全国Ⅱ卷文科数学试题)已知a＞0,b＞0,a3 +b3 =2,证明:a+b≤2. 相似文献
6.
有这样一道题:已知a、b在数轴上对应的点的位置如图:且M=a+b,N=-a+b,P=a-b,Q=-a-b,则M、N、P、Q的大小关系是()A.M|b|,所以-a>0、-b>0,M=a+b=-(|a|+|b|)<0N=-a+b=+(|a|-|b|)>0P=a-b=a+(-b)=-(|a|-|b|)<0Q=-a-b=(-a)+(-b)=+(|a|+|b|… 相似文献
7.
设a,b都是正整数.本文证明了:对不小于b+2/2的正整数m,n,若f(n)=[1/2((a+n2-b)～(1/2))]+[1/2(a-n)],g(m)=[1/2(a-((m2-b)～(1/2))]+[1/2(a+m)],则必有f(n)=g(m). 相似文献
8.
霍二东 《中学数学研究(江西师大)》2005,(1):30-31
若a,b∈R,则(a-b)2≥0,展开括号并整理得:a(a-b)-b(a-b)≥0,即a(a-b)≥b(a-b)(*),式中当且仅当a=b时,取等号. 这个不等式说明:两实数差与被减数之积不小于此差与减数之积.用它来证明某些类型的不等式,方法简捷,颇有新意.今举例说明. 相似文献
9.
数学思维问题是数学教学中的核心问题.要使学生掌握数学知识并培养能力,发展智力,就不仅需要学习数学知识本身,更重要的是学习获得这些知识的思想和方法.也就是说教师要更注重对学生思维意识的培养.笔者在不等式的复习教学中,通过与学生共同探讨某一习题的解法,注意对学生思维方面的培养.现举一例,供读者鉴赏.引题:证明:若f(x)=1+x2,a≠b,则｜f(a)-f(b)｜<｜a-b｜.1找通法培养探究意识由题意直接把已知函数代入,通过观察、分析和猜想等手段可以找到解法.证法1要证明｜f(a)-f(b)｜<｜a-b｜,可改证(1+a2-1+b2)2<(a-b)2,为此只须证明1+ab<(1+a2… 相似文献
10.
由完全平方公式,得(a-b)2=a2-2ab+b2,(b-c)2=b2-2bc+c2,(c-a)2=c2-2ca+a2,∴(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=2(a2+b2+c2+ab-bc-ca),∴a2+b2+c2-ab-bc-ca=12[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2].这是一个非常重要的等式,巧用它,某些代数题的解答可变得简易、迅捷.例1如果a=1999x+2001,b=1999x+2002,c=1999x+2003,那么a2+b2+c2-ab-bc-ca的值是().(A)1;(B)2;(C)3;(D)4.解:已知三等式两两相减,得a-b=-1,b-c=-1,c-a=2.原式=12[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]=3.例2若a、b、c是不全相等的任意有理数,且x=a2-bc,y=b2-ca,z=c2-ab,则x、y、z().(A)都小于0;(B)都大于0;(C)至少有… 相似文献
11.
12.
不等式处在代数、三角、几何等知识的交汇处,是高考的重要内容.根据近年高考不等式试题的分析研究,不难发现下面考点是高考的重点内容,预测它们还是今后高考命题的首选题材.下面探求这几类试题的考点及其求解思路和方法.考点1 综合法证明不等式例1 (1993年全国高考题)已知关于x的实系数二次方程x2+ax+b=0有两个实数根α,β,证明:如果2|a|<4+b且|b|<4,那么|α|<2,|β|<2.解析:综合法的证明思路是“由因导果”,即从题设条件或已经证明的结论、公式出发,逐步推理,得到欲证的不等式.这种证明方法条理清楚,易表述.证明:设f(x)=x2+ax+b,由2|a|<4… 相似文献
13.
<正> 若a、b是实数.则(a-b)2是非负数.由此性质,我们很容易推导出以下几个推论:若a、b是实数,则(1)a2+b2≥2 |ab|;(2)(a+b)2≥4ab;(3)2(a2+b2)≥(a+b)2.灵活地运用它,能方便地解 相似文献
14.
高中《数学》(试验修订本·必修)第二册(上)第11页习题6.2第1题是:求证:(a2+b)2≤a22+b2.将上述不等式变形可得a2+b2≥(a+2b)2.(*)不等式(*)可利用均值不等式直接证明,也可借助恒等式2(a2+b2)=(a+b)2+(a-b)2及(a-b)2≥0证明.不等式(*)有着广泛的使用价值,本文略举数例加以说明.一、证明不等式【例1】设c是直角三角形的斜边,a、b是两条直角边,求证:a+b≤2c.证明:由题设得a2+b2=c2,由不等式(*)得c2=a2+b2≥(a+2b)2,即(a+b)2≤2c2,亦即a+b≤2c.【例2】己知a、b∈R+,且a+b=1,求证:a+21+b+21≤2.证明:由不等式(*)及已知有2=(a+21)+(b+21)≥(a+21… 相似文献
15.
玉邴图 《数理化学习(高中版)》2002,(23)
高级中学老教材代数下册P7例2和新编教材数学第二册(上)P13例3是:已知a、b∈R+且a≠6,求证:a5+b5>a3b2+a2b3. 课本运用比较法证明了此题,下面再给出两种别证以及原题的推广,供读者参考. 别证1 由对称性,不妨设a>b>0,则有a2>b2>0,a3>b3>0,也即有a2-b2>0,a3-b3>0,故(a2-b2)(a3-b3)>0A5+b5-a3b2-a2b3 相似文献
16.
田小萍 《中学数学研究(江西师大)》2015,(2):18-20
文[1]在文末给出了几个猜想不等式,其中有如下:猜想若a,b,c是满足a+b+c=1的正数,则(2-a)/(2+a)+(2-b)/(2+b)+(2-c)/(2+c)≥(15)/7.文[2]给出了上面猜想的证明,笔者阅读后对此不等式进行了探究,现叙述如下:1猜想的另证另证1:由柯西不等式,得((2-a)/(2+a)+(2-b)/(2+b)+(2-c)/(2+c))[(2-a)(2+a)+(2-b)(2+b)+(2-c)(2+c)]≥[(2-a)+(2-b)+(2-c)]~2,即 相似文献
17.
对于不等式|a|-|b|≤|a b|≤|a| |b|,高中教材的证明如下: ∵-|a|≤a≤|a|,-|b|≤b≤|b|,∴-(|a| |b|)≤a b≤|a| |b|,即|a b|≤|a| |b|,(1)又 a=a b-b;|-b|=|6|,由(1)得|a|=|a b-b|≤|a b| |-b|即|a|-|b|≤|a b|,(2)由(1),(2)得|a|-|b|≤|a b|≤|a| |b|.显然上面证明中的(2)的证法不容易想到,本人在教学实践中采用了下面的证法,不但思路自然,且证明过程更为简捷,教学效果好,现提供同行参考. 相似文献
18.
黄细把 《中学课程辅导(初一版)》2002,(Z1)
一、用于比较大小例1 若a6<0,(a-b)2与(a+b)2的大小关系是 ( ) A.(a-b)2<(a+b)2 B.(a-b)=(a+b)2 C.(a-6)2>(a+b)2 D.不能确定 (1997年“希望杯”初一数学竞赛试题) 解:(a-b)2-(a+6)2=[(a-b)+(a+b)][(a-b)-(a+b)]=-4ab 相似文献
19.
苟晓琴 《中学数学研究(江西师大)》2013,(10):48-49
众所周知,若a,b∈R+,则a/b+b/a≥2,等号成立当且仅当a=b.此不等式可变形为如下的一个结论:
结论 若a,b∈R+,则a/b-1≥1-b/a,等号成立当且仅当a=b.
我们可以用上面的结论简证或简解一些对称式或轮换对称式问题,笔者通过举例来说明其运用.
例1 (《数学教学》问题384)设a,b,c是△ABC的三边,求证:a2/b+c-a+b2/c+a-b+c2/a+b-c≥a+b+c. 相似文献
20.
2014年江西省数学高考理科第21题如下：
题目随机将1，2，…，2n（其中n∈N^＋，n≥2）这2n个正整数分成A组和B组，每组n个数，A组最大数为a1，最小数为a2；B组最大数为b1，最小数为b2，记ξ=a1-a2，η=b1-b2． 相似文献