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在高中立体几何中引入了空间向量,大大降低了立体几何解题的难度,法向量的引入,对于解决空间的角与距离提供了很大的帮助.下面简单介绍法向量在立体几何中运用.一、点到平面的距离.(先确定平面的法向量,再求点与平面上一点连结线段在平面的法向量上的射影长.设n是平面α的一个法向量,P0是平面α外一点,P是平面α内一点,则点P0到平面α的距 相似文献
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韩晓辉 《数理化学习(高中版)》2006,(13)
平面向量是解答立体几何问题的一种快速、简捷的运算工具.不少复杂的立体几何问题,引入平面向量后,通过将空间元素的位置关系转化为数量关系,将过去的形式逻辑证明转化为数值运算,即借助平面使解题模式化,用机械性操作把问题转化,因此,平面向量为立体几何代数化带来了极大的便利.下面,介绍平面向量在立体几何中的应用.例1如图1,AB、CD为异面直线,CD平面α,AB∥平面α,M、N分别是AC、BD的中点,求证:MN∥平面α.证明:因为CD平面α,AB∥平面α且所以在α内存在a、b使AB=a,CD=b,且a、b不共线,由M、N分别是AC、BD的中点,得MN=21(MB… 相似文献
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探求以空间图形为背景的轨迹问题 ,要善于把立体几何问题转化到平面上 ,再联合运用平面几何、立体几何、空间向量、解析几何等知识去求解 ,实现从立体几何到解析几何的过渡 .下面通过典型例题的分析解答 ,探索题型规律 ,揭示解题方法 .例 1 己知平面α∥平面 β ,直线l α ,平面α ,β间的距离为 8,则在 β内到点P的距离为 10且到直线l的距离为 9的点的轨迹是( )A 一个圆 B 两条直线C 四个点 D 两个点解析 如图 1,设点P在平面 β上的射影是O ,则OP是平面α ,β的公垂线段 ,OP =8.在 β内到点P的距离等于 10的点到点O的距… 相似文献
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赵巍 《数理天地(高中版)》2023,(23):30-31
立体几何问题是高考的重难点问题之一,其中轨迹问题是立体几何类题目的常考题型.一般来说,主要是研究点的轨迹,对于此类题目需要灵活变换多种思维视角,找到合适的解题思路和策略.其中主要的方法有交轨法、建系法、向量法.本文对这三种方法结合实例进行解读,总结归纳解题的一般规律,以供参考. 相似文献
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<正>高中课本引入空间的向量后,高考中的立体几何问题大多可用向量的知识解.从而使解题更简捷有效.综观近年高考立体几何试题都设计为一题两法,既可用传统立体几何知识来解,又可用空间向量的知识求解,须恰当选用.在空间直角坐标系中,如果表示向量n,的有向线段所在的直线垂直于平面α,则称向量式为平面α的法向量.如果表示向量,n的有向线段所在的直线垂直于两条异面直线l1、l2,(即两条异面直线的公 相似文献
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<正>立体几何试题在高考中占了很大的分量,研究其解题方法显得尤为重要.直线与平面所成角问题是高考立体几何试题中几乎每年都会考到的问题,每年都有很多考生在这方面丢分.基于此,本文主要研究"从形到形"的传统方法与"化形为算"的向量法,解决立体几何空间角的有关问题,以便学生学会多种解题方法,做到有备无患.【知识回顾】(1)定义:直线l上任取一点P(交点除外),作PO⊥α于O, 相似文献
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唐小荣 《数学大世界(高中辅导)》2005,(6):19-21
逻辑推理能力与空间想象能力是解决立体几何问题的能力基础,如何把这两大能力转化为具体的解题方法呢?本文为此归纳了几种基本的策略方法,供同学们参考.一、点、线、面间关系的转化立体几何的知识结构中最核心的内容是线面间的垂直、平行关系,而它们有通过判定定理、性质定理而相互转化:点点———点线点线面线线面———面面.有意识思考这些转化,会提高运用定理的自觉性.图1【例1】如图1,二面角α-AB-β的平面角为30°,在β上作AD⊥AB,AD=10,过D作CD⊥α于C,若∠ACB=60°,求异面直线AC与BD的距离.解:分三个步骤完成图2(1)将“线线… 相似文献
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立体几何中的动点轨迹问题是高考立体几何中的一个新亮点,其实质是立体几何与解析几何的知识交汇。解决动点轨迹问题,关键是将点面距离、线面距离转化为二维空间的平面轨迹问题。一轨迹是点的问题例1(2006年浙江模拟卷)已知平面α∥平面β,直线l(?)α,且P∈l,平面α、平面β间的距离为8,则在β内到点P 相似文献
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全等三角形是解决初中数学中图形问题的重要的基础知识和工具.通过构造全等三角形,整合问题中隐含的解题信息,是常见的解题策略.本文以一道典型的求角度问题为例,从边入手,使解题需要的全等三角形自然生成.一、问题及解题困惑题目如图1,在△ABC中,AB=AC,∠CAB为钝角,延长AB到点D,延长CA到点E,连结DE,恰有AD=BC=CE=DE,求∠BAC的度数. 相似文献
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任三民 《中学数学教学参考》1995,(6)
正方体是学生早已熟悉的简单的几何体,它包含立体几何中研究的点、线、面元素,教材第一章中各种元素之间的关系都可以在正方体模型中找到。它制作简便,是立体几何教学不可缺少的教具,本文主要谈谈它在《立体几何》第一章的学习中的应用。 一、正方体中平面的基本性质 正方体有6个直观面,如图1,正方体AC_1中,直线AB上有两点A、B在平面AC内,直线AB就在平面AC内;直线AA_1只有一个点在平面AC内,直线A_1B_1和平面AC_1没有公共点,直线AA_1、A_1B_1都不在平面AC内. 平面AC和平面AB_1有一个公共点A,则平面AC 相似文献
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在立体几何中,解决线面成角、空间距离(点与面、线与面、面与面)、体积等问题时,同学们苦于找不到相应的平面角和相应的距离而陷入困境,觉得无从下手.其实,这些问题的解决都与垂足定位有关.1辅助垂面法面面垂直的性质定理说明:如果2个平面垂直,那么,其中一个平面内的任意一点(或任意一条直线)在另一平面内的射影在两平面的交线上.为此欲找一点P(或者一条直线l)在平面α内的射影,只需过点P(或者过直线l)找一个平面β与α垂直,则点P(或者直线l)在α内的射影在两平面的交线上.例1如右图,Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AC=2,D为AB中点,将△… 相似文献
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空间向量法是在三维空间坐标系中,以点的坐标为基础,利用空间向量来处理空间线线、线面、面面的位置关系和夹角等问题．运用空间向量法研究几何问题,思路简单,模式固定,可使几何问题代数化,抽象问题具体化,复杂问题简单化,使解题思路直观明了,在立体几何中有着无比的优越性和重要性．下面举例说明空间向量法在解决立体几何的问题中的多种应用． 相似文献
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高中数学实验教材引进了空间向量的内容,并运用向量理论来处理立体几何问题中的"点、线、面"等问题.引入空间向量,用向量代数来处理立体几何问题,体现了"数"与"形"的结合,淡化了传统立体几何教材中的"形"到"形"的推理方法,从而降低了思维难度,使解题变得程序化,学生易于接受,这是向量解立体几何问题的独到之处.利用空间向量可以解决的立体几何问题主要有以下几方面:(1)利 相似文献
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有关法向量的内容在人教版全日制普通高中数学教科书(必修)第二册(下B)第41页中只有寥寥几行,其应用更是只字未提,但用其解决立体几何问题时的简明、方便却不可小觑.同时,法向量也是连接初等数学和高等数学的一座桥梁,所以在高中数学教学中要重视法向量,深入挖掘法向量的应用.※空间距离类问题※1.点到平面的距离)求点到平面的距离可先求出平面的一个法向量,再求出该点与平面上一点连接线段在平面的法向量上的射影长.结论1:(如图1)点P在平面α内的射影为点P',点A为平面α内任意一点,n#为平面α的一个法向量,记d=PP',则d=｜$%AP·#n｜｜#… 相似文献
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先介绍以下结论 :如果ａ =(ａ1 ,ａ2 ,ａ3) ,ｂ =(ｂ1 ,ｂ2 ,ｂ3)为平面α上的两个不共线向量 ,又ｎ =(ｘ ,ｙ,ｚ) ,且ｎ·ａ=ａ1 ｘ +ａ2 ｙ +ａ3ｚ =0 ,ｎ·ｂ =ｂ1 ｘ+ｂ2 ｙ+ｂ3ｚ=0 ,则ｎ⊥平面α ,向量ｎ叫做平面α的法向量 .利用平面α的法向量ｎ,可解决立体几何中有关线面夹角、线面垂直、面面垂直、求二面角的大小和求点到平面的距离等问题 ,且思路清晰 ,解题快捷、准确 .以下举例说明它的应用 .一、直线与平面垂直要证直线与平面垂直 ,只要直线上的向量与该平面的法向量平行即可 .例 1 在棱长为 1的正方体ＡＢＣＤ -Ａ1 Ｂ1 Ｃ1 … 相似文献
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蒋明权 《第二课堂(小学)》2010,(6):15-22
运用向量法解决立体几何问题,思路流畅,方便快捷,可以减少繁杂证明,优化解题过程．因而,向量法是同学们解决立体几何难题的首选方法．本文主要把用向量法攻克立体几何难题的方法进行汇总,以帮助同学们更好地掌握这种重要的数学解题方法． 相似文献
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将空间问题转化为同一平面内的问题 ,是解证立体几何问题的基本思路 ,下面介绍实现这种转化的几种方法 .1 平移法直线或平面在空间平行移动 ,不改变它们与其他线面所成角的大小 .因此 ,常用平移法将分散在不同平面的有关量 ,纳入同一平面内进行解证 .例 1 如右图所示 ,在三棱锥D ABC中 ,DA⊥平面ABC ,∠ABC =90° ,∠ABD =3 0° ,AC =BC .求异面直线AB与CD所成的角的余弦值 .解 分别取BD、AB、AC、BC的中点P、Q、M、N ,由三角形中位线性质可知 ,MN∥AB ,PN∥DC ,所以∠PNM为所求的角 .设AC =BC =a ,因为∠ACB =90… 相似文献
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高中数学的学习既注重知识的整体性和综合性,又重视知识的交叉渗透.以立体几何为载体的动点轨迹问题将立体几何与平面几何、立体几何与解析几何、立体几何与三角、立体几何与函数等巧妙地结合在一起,立意新颖,综合性强.这也是今后高考命题的一大趋势.而这类问题的关键就是确定空间中的动点轨迹问题.现就立体几何中动点轨迹的几种常见求法介绍如下.1空间轨迹法由点集和两点之间的距离概念不难得出以下2个空间轨迹.1)平面轨迹:空间到一条线段两个端点的距离相等的点的轨迹是经过这条线段的中点并且与这条线段垂直的平面.2)球面轨迹:空间到一个… 相似文献