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通用教材高中平面解析几何第116页上有这样一道例题: 例求证:椭圆x~2/25+y~2/9=1和双曲线x~2-15y~2=15在交点的切线互相垂直。课本首先解方程组,求得“它们有四个交点:P_1(5(15)~(1/2)/,3/4)…”笔者认为,教学中讲完课本证法后,引导学生探求新的证法是很有意义的。新的证法如下: 相似文献
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现高中教材《平面解析几何》(甲种本)第116页例3求证:椭圆x~2/25+y~2/9=1和双曲线x~2-15y~2=15在交点的切线互相垂直。书上证明方法是求四个交点坐标,再求交点处切线的斜率,验证两者成负倒数关系。实际上,本题可作一般性证明,即不必求出交点坐标。证明如下。设椭圆与双曲线的交点坐标为(x_0,y_0),则过(x_0,y_0)椭圆的切线为 x_0x/25+y_0y/9=1,即 9x_0x+25y_0y=225;双曲线的切线为x_0x-15y_0y=15,两切线的斜率分别为: 相似文献
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六年制重点中学解析几何课本194页第23题给出了这样一个结论:设二次曲线S_1、S_2(指非退化的情形,下同)的方程分别为 A_1x~2 B_1xy C_1y~2 D_1x E_1y F_1=0 (*) A_2x~2 B_2xy C_2y~2 D_2x E_2y F_2=0 (**) 如果(A_1-C_1)B_3=(A_2-C_2)B_1≠0,那么二次曲线S_1、S_2的交点在同一个圆上。显然(A_1-C_1)B_2=(A_3-C_2)B_1≠0是二次曲线S_1、S_2交点共圆的充分但不必要条件。例如双曲线xy=2与圆x~2 y~2=5;椭圆4x~2 9y~2=36与椭圆9x~2 4y~2=36;抛物线4x~2-4x 9y-35=0与双曲线x~2-4y~2-4=0的四个交点都是共圆的,但是它们都不符合(A_1-C_1)B_2=(A_2-C_2)B_1≠0的条件。 相似文献
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化学中有一种物质,它在化学反应里能改变反应速度,而本身的质量和化学性质在反应前后却没有改变,这种物质叫做化学催化剂。类似地,数学中也有一种量,它在解题过程中能改变解题速度,而本身究竟等于多少却并不一定知道,这种量我们也权且把它叫做数学催化剂。如: 例1 求证:椭圆x~2/25+y~2/9=1和双曲线x~2-15y~2=15在交点处的切线互相垂直。这是解几P_(116)的例3,常被各种数学杂志所引用,常见解法是: 相似文献
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题:求双曲线的两条互相垂直的切线的交点轨迹。解设双曲线的方程为x~2/a~2-y~2/b~2=1由于双曲线互相垂直的切线其斜率一定存在,且不等于零,故可设其斜率分别为k和-1/k,则两条切线方程分别为 y=kx±((a~2k~2)-b~2)~(1/2),①和 y=-(1/k)x±((k~2/a~2)-b~2)~(1/2)。 相似文献
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笔者根据多年的教学经验,发现离心率对圆锥曲线形状的影响较大,讨论这个问题时,我们首先在同一直角坐标系中把椭圆、抛物线、双曲线这三种曲线的方程统一起来．1．椭圆、抛物线、双曲线的统一方程将椭圆(x~2/a~2)+(y~2/b~2)=1(a＞b＞0)按向量(a,0)平移得到((x-a)~2/a~2)+(y~2/b~2)=1,即y~2=(2b~2/a)x-(b~2/a~2)x~2. 相似文献
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全国、上海、广东的1989年数学试题中涉及形象思维的内容较多,现摘其有代表性的作一些分析如下: 一、全国(文史类)第24题。给定椭圆:(x~2/b~2)+(y~2/a~2)=1(a>b>0),求与这个椭圆有公共焦点的双曲线,使得以它们的交点为顶点的四边形面积最大,并求相应的四边形的顶点坐标。 [分析] 如图1,设所求双曲线方程为 (x~2/α~2)-(y~2/β~2)=-1。 相似文献
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化简方程((x c)~2 y~2)~(1/2) ((x-c)~2 y~2)~(1/2)=2a得出椭圆的标准方程,教材中使用的方法计量大,学生感到困难,不易掌握,若用换元法进行计算,则十分简捷, 设υ=x~2 y~2 c~2,代入上述方程得 (υ 2cx)~(1/2) (υ-2cx)~(1/2)=2a. 将这个方程两边平方,得 υ (υ~2-4c~2x~2)~(1/2)=2a~2,即(υ~2-4c~2x~2)~(1/2)=2a~2-υ.两边再平方,得υ~2-4C~2x~2=4a~4-4a~υ υ~2, 相似文献
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<正>画法几何的创始人,18世纪法国数学家Gaspard Monge(蒙日)因发现蒙日圆而闻名于世.所谓蒙日圆,就是椭圆(或双曲线)的两条互相垂直的切线交点M的轨迹.具体地说,椭圆x~2/a~2+y~2/b~2=1的两条互相垂直的切线交点 相似文献
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所谓整体思维,就是指从整体角度思考问题,表现在解题时把一些组合式子或把解题过程当作一个整体来处理,如复数由实部和虚部组成,解题时可把复数看作一个整体来处理。又如,求三棱锥的体积,须求出高和底面积,而用整体思维方法处理只需求出底面积与高的积。用整体思维方法处理问题,可以避免复杂的运算,使问题获得简捷解决,提高解题能力,下面举例加以说明。例1 [《解析几何》(甲种本)P_(116)例3]求证:椭圆(x~2)/(25)+(y~2)/9=1和双曲线x~2-15y~2=16在交点处的切线互相垂直。书中采用求交点验证的方法,篇幅较多,运算很繁。下面用整体方法给出证明,从中可以看出整体方法的优越性。证明:设椭圆和双曲线的某一交点为 相似文献
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二次曲线的切线方程可分为两类:一类是已知切点的切线方程,另一类是已知斜率的切线方程。本文想谈谈第二类切线方程的应用。我们知道,斜率为k,并且与椭圆x~2/a~2 y~2/b~2=1,双曲线x~2/a~2-y~2/b~2=1和抛物线y~2=2Px相切的切线方程分别 相似文献
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转化是一种常见的有效的数学思想方法,根据问题的特点转化为易解决的新问题,本文仅通过解方程来说明这种方法的应用。例1 解方程:(x-2 2((x-3)~(1/2)))~(1/2) (x 1 4((x-3)~(1/2)))=5 解:原方程转化为:(((x-3)~(1/2) 1)~2)~(1/2) (((x-3)~(1/2) 2)~2)~(1/2)=5, ∴ (x-3)~(1/2)=1,∴ x=4 经检验:x=4是原方程的解例2 解方程(x~2 12x 99)~(1/2) (x~2-12x 99)~(1/2)=20 解:原方程转化为:((x 6)~2 63)~(1/2) ((x-6)~2 63)~(1/2)=20 设y~2=63,方程又可转化为:以(-6,0)、(6,0)为焦点,长轴2a=20的椭圆方程,易知2b=2((10~2-6~2)~(1/2))=16故椭圆方程为:x~2/10~2 相似文献
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张斌 《数理化学习(高中版)》2011,(22):3-5
一、利用双曲线的定义求双曲线方程例1设双曲线与椭圆x~2/(27)+y~2/(36)=1有共同的焦点,且与椭圆相交,一个交点的纵坐标为4,求双曲线的方程.分析:由于椭圆的焦点坐标为(0,±3),且双曲线与椭圆具有相同的焦点,知双曲线的焦点也为(0,±3),从而知所设双曲线的形式应 相似文献
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一阶导数与二次曲线弦中点间存在着一种内在联系,这种联系为解决二次曲线中点弦一类问题开辟了一条较为简捷的路径.本文就以定理形式揭示这种联系并列举应用. 定理:椭圆x~2/a~2 y~2/b~2=1的以斜率为k的一组平行弦中点轨迹方程是x~2/a~2 yy_x~'/b~2=0(※)(|x|≤a,|y|≤b)其中y_x~'就是平行弦的斜率k,它等于直线(※)与椭圆交点处切线的斜率. 证明:设点P(x_0,y_0)是以k为斜率的弦P_1P_2的中点,点P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2) 相似文献
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《中学数学教学参考》2007,(5)
1 例题及解答例如图1,AB 是过椭圆 x~2/a~2 y~2/b~2=1(a>b>0)的左焦点 F 的一条动弦,AB 的斜率 k∈[3/4,4/3]并且3a~2-4b~2=0记 AF/FB=λ,求λ的取值范围.解法1:由3a~2-4b~2=0=b~2=(3/4)a~2,所以椭圆方程为x~2/a~2 4y~2/3a~2=1,即3x~2 4y~2=3a~2.(*)又∵c~2=a~2-b~2=(1/4)a~2,∴c=(1/2)a.则 A((-1/2)a λmcosθ,λmsinθ),B((-1/2)a-mcosθ,-msinθ), 相似文献
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《中学数学教学》1998,(2)
1.江苏省姜堰市第二中学 石志群(225500)题 已知两椭圆方程分别为:x~2 9y~广-45=0,x~2 9y~-6x-27=0,求过两椭圆的交点且与直线x-2y 11=0相切的圆的方程.(1984年高考题)解 设过两已知椭圆交点的圆的方程为:x~2 9y~2-6x-27 λ(x~2 9y~2 -45)=0.即 (1 λ)x~2 (9 9λ)y~2-6x-27-45λ=0,由x一2y 11=0得 x=2y-11,代入上式得(13 13λ)y~ 2-(56 44λ)y 160 76λ=0.当圆与直线相切时,有△=0,即(56 44λ)~2-4(13 13λ)(16O 76λ)=0. 相似文献
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中学各类“解几”课本封面均有下面图形,如图(1):图中双曲线(H)、抛物线(P)、椭圆(E)有相同焦参数p=b~2/a,它们的方程可统一写成y~2=2px-(1-e~2)x~2,它们有公共的对称轴、公共的顶点(0,0),但无其它交点,即常说的“双曲线、抛物线开口较大”情形。 相似文献
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高中数学课本第二册第141页第3题:求与双曲线x~2/9=y~2/16=1有共同的渐近线,且经过点A(-3,2 3~(1/2))的双曲线方程。不少学生是这样解的: 相似文献
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舒金根 《中学数学研究(江西师大)》2006,(11):21-22
两个常见命题:命题1 设 A、B 是椭圆x~2/a~2 y~2/b~2=1长轴的两个端点,CD 是与 AB 垂直的弦,则直线AD 与直线 BC 交点的轨迹方程是x~2/a~2-y~2/b~2=1.命题2 设 A_1、A_2是双曲线x~2/a~2-y~2/b~2=1实轴的两个端点,P_1P_2是与 A_1A_2垂直的弦, 相似文献