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1 定理定理 1 若A、B、C三点共线 (如图 1) ,且AC=λCB ,O为任意一点 ,则有OC =OA+λOB1+λ .证明 ∵OC =OA +AC =OA +λCB=OA+λ(OB- OC) , 图 1∴OC =OA+λOB1+λ .变式 若A、B、C三点共线 ,且AC=mn CB ,O为任意一点 ,则有OC =nOA +mOBn+m .定理 2 若OC =λOA +μOB (λ ,μ∈R) ,则A、B、C三点共线的充要条件是λ +μ =1.证明 (必要性 )如果A、B、C在一直线上 ,则存在一个实数m ,使得AC =mCB ,由定理 1得OC =OA +mOB1+m =11+m OA+m1+m OB .令λ=11+m,μ =m1+m,所以λ+μ =1.(充分性 )如… 相似文献
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孙翊 《中学生数理化(高中版)》2009,(11)
根据平面向量基本定理,可以得到如下结论:如果(→OA)、(→OB)是同一平面内的两个不共线向量,那么,对于平面内的任一向量(→OC),有且只有一对实数λ、μ,使(→OC)=λ(→OA)+μ(→OB).据此,还可以得到几个更进一步的结论,而且它们在近几年高考的向量题中屡有应用. 相似文献
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2004全国高中数学联赛第4题:O为ABC内部一点,且有OA+2OB+3OC=0,则ABC的面积与AOC的面积之比为()(A)2(B)23(C)3(D)35原解OA+2OB+3OC=0可变形为(OA+OC)+2(OB+OC)=0.(*)如图1,取AC中点M,BC中点N,则OA+OC=2OM,OB+OC=2ON,代入(*)有2OM+4ON=0,OM=-2ON.∴M、O、N共线,且|OM|=2|ON|,∴S OAM=S OMC=2S ONC.设S ONC=S,则S OAM=S OMC=2S,∴S OAC=4S,S MNC=3S.∵MN为ABC中位线,∴S ABC=4S MNC=12S,∴SS OABACC=142SS=3.现提供另一种解法,并将问题推广到一般情形.另解如图2,分别延长OB到B1,OC到C1… 相似文献
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根据平面向量基本定理,我们知道：选定平面向量的一组基底→OA、→OB,那么对于平面内任一向量→OP,有且只有一对有序实数对x、y,使→OP=x→OA＋y→OB.再结合共线向量定理,一个向量系数和为1的结论经常被用到：点P在直线AB上的充要条件是x＋y=1（如图1）。 相似文献
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平面向量的一个主要应用是解决一些平面几何问题,塞瓦定理和梅涅劳斯定理是平面几何中的两个重要定理,人们自然想到如何利用平面向量的知识证明这两个定理,这里给出一种向量证法.
现将两个定理叙述如下:
塞瓦定理 如图1,设O是△ABC内任意一点,AO,BO,CO分别交对边于D,E,F,则
AF/FB· BD/DC · CE/EA=1.(1)
梅涅劳斯定理 如图1,设一直线与△ADC的边AC,AD及CD延长线分别交于E,O,B,则
AO/OD· DB/BC· CE/EA=1 (2)
为了证明定理,先给出一个简单的引理:
若→OA=λ→ OB+μ→ OC(λ,μ为常数),则A,B,C3点共线的充要条件是λ+μ=1. 相似文献
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成钰 《数理天地(高中版)》2014,(12):4-5
有一类向量问题,可以利用三点共线的结论快速求解．
结论 已知^→OA,^→OB和^→OC是三个非零向量,且^→OC=m^→OA＋n^→OB,m,n∈R,则A,B,C三点共线的充要条件是m＋n=1. 相似文献
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高中数学新教材的向量内容中有一个很重要的定理 ,其应用面也比较大 ,对向量知识的进一步理解和掌握也具有积极的意义 .一、定理的叙述与证明定理 :如果不共线向量 a,b,c有公共起点 ,满足 c=λa +μb.那么三个向量的终点在同一直线上的充要条件是λ +μ =1(这里λ,μ∈ R) .证明 :如图 ,设向量 a =OA,b = OB,c =OC.必要性 :如果点 C在直线BC上 ,设 BC =λCA (λ∈ R) ,则BC = λ1+λBA所以 c=b+BC= b +λ1+λBA =b+λ1+λ( a- b) =11+λa +λ1+λb,因此 11+λ+λ1+λ=1.充分性 :如果λ+μ =1,则λ=1-μ,所以 c=( 1-μ) a +μb =a … 相似文献
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1定理 定理1若A、B、C三点共线(如图1),且→AC=λ→CB,O为任意一点,则有→OC=1+λ/→OA+λ→OB. 相似文献
11.
习题：已知三角形OAB，其中OA=α，OB=b，而M、N分别是三角形两边OA、OB所在直线上一点，且有OM=λα，ON=μb，设直线AN与BM相交于P（如图1），试讨论P点的位置与相应的λ、μ的取值． 相似文献
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由平面向量基本定理知,对平面内一组基底OA、OB及任一向量OP,存在唯一的一对实数λ、μ,使OP=λOA+μOB.文[1]称入、M为平面向量基本定理系数,并探讨了平面向量基本定理系数等值线(等和线、等差线、等商线、等积线)的相关性质,但对于等值线的几何意义(如何求“值”)并未作深入探究. 相似文献
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题目给定两个长度为1的平面向量→OA和→OB,它们的夹角为120°,如图1所示,点C在以O为圆心的圆弧AB上变动.若→OC=x→OA+y→OB,其中,xy∈R,则x+y的最大值是 . 相似文献
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向量具有代数与几何形式的双重身份,故它是联系多项知识的“桥梁”,是中学数学知识的一个交汇点.数学高考重视能力立意,在知识网络的交汇点处设计试题,因此解析几何与平面向量的融合交汇是新课程高考命题改革的发展方向.我们在复习解析几何时应适时地融入平面向量的基础知识,渗透平面向量的基本方法.知识回顾1.|AB|→线段AB的长.注意:AB2=|AB|2.2.AB=λBC→点A、B、C共线(λ>0、λ=0、λ<0时,A、B、C三点的相对位置关系如何?).3.OC=λ1OA λ2OB且λ1 λ2=1→点A、B、C共线.4.AB.BC=0→AB⊥BC.5.∠ABC为钝角→BA.BC<0(但不… 相似文献
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新版高一数学 (下册 )第五章第三节《实数与向量的积》中 ,介绍了平面两个向量共线定理 :向量 b与非零向量 a共线的充要条件是有且只有一个实数λ,使得b =λa.由此 ,可以得到下列推论 :推论 1 OA、OB是平面内两不共线向量 ,向量OP满足 :OP =a OA +b OB( a,b∈ R) ,则 A、P、B三点共线的充要条件是 a +b =1.证明 :( 1)若 a +b=1,则 A P =OP - OA =( a -1) OA +b OB =b( OB - OA ) =b AB,故 AP与 A B共线 ,从而 A、P、B三点共线 ;( 2 )若 A、P、B三点共线 ,则存在唯一实数λ,使得AP =λAB,即 OP - OA =λ( OB - OA … 相似文献
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1常规中出特例,发现问题近日笔者在讲评空间向量一章数学测试练习题时遇到如下常见的一道向量选择题:题1若A,B,C三点共线,O为平面上任意一点,且OA αOB=βOC,则α-β的值为().(A)1(B)-1(C)41(D)-2.在平面向量学习中,我们曾解决过这样一道命题:“向量OA,OB,OC的终点共线的充要条件是存在实数m,n,且m n=1,使得OC=m OA n OB.”而且我们总结出“若A,B,C三点共线,且OC=m OA n OB,则m n=1”.学生都知道这一命题结论,在平面向量的解题中也经常直接使用该命题,给解决这类问题带来很大方便,根据这一命题题1即有如下简解:因OA αOB=β… 相似文献
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正平面中有关三点共线的一个重要的定理:定理1:设OA,OB为平面内不共线的两个向量,且OC=xOA+yOB(x,y∈R),则A,B,C共线的充要条件是x+y=1.文[1]探究了以上定理中将"x+y=1"中右边的"1"一般化后动点C的轨迹问题,得到了如下的结论:定理2:设O,A,B为平面α内不共线三点,OC=xOA+yOB(x,y∈R),过O与直线AB平行的直线为ι0,则满足x+y=k(k∈R)的动点C的轨迹是一条平行(重合)于ι0 相似文献
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向量形式的定比分点公式,是大家非常熟悉的.如图1,已知→AP=λ→PB,则→OP=（→OA＋λ→OB）/（1＋λ）.使用时要注意公式的特点：P、A、B三点共线,→OP、→OA、→OB三向量共起点,且→前的系数等于→OA、→OB前系数之和,所以更多时候是使用（1＋λ）→OP=→OA＋λ→OB这个式子,省去分式之繁. 相似文献
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吴艳梅 《数理天地(高中版)》2014,(7):5-6
1．问题的提出
我们知道,△ABC所在平面上,若O点满足→OA＋→OB＋→OC=0,则O是△ABC的重心,即O点位置是唯一确定的.那么,如果O点满足m→OA＋n→OB＋p→OC=0（m、n、p是正实数）,O点的位置在哪里？ 相似文献
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研究全日制普通高级中学教科书(试验修订本)数学·第一册(下)p.107的例5,得: 定理1 平面内,OA→,OB→不共线,则点P在直线AB上的充要条件是:存在实数λ,μ,使得OP=λ 相似文献