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中学代数中,有些较为特殊的方程,在实数范围内无解,若依照一般解法,不但演算过程复杂,而且很难判定它们在实数范围内是否无解。本文试图给出这类无解方程的两个判定定理,可以简化解题过程,省时省力。定理1:若方程f(x)=0可表示成f_1[g(x)]=0,且f_1(y)=0无实数根,则方程f(x)=0无实数根。(其中f(x),g(x),f_1(y)均为代数函数,下面定理2假设相同。)。证明:设f(x)=0有实数根x_0,则有: f_1[g(x_0)]=0。令 y_0=g(x_0),则f_1(y_0)=0 即y_0是方程f_1(y)=0的实数根,与题设相矛盾。从而方程f(x)=0无实数根。定理2:若f(x)=0可表示成f_1[g(x)]=0,且f_1(y)=0有实数根y_1,y_2,…,y_n,但对于每一个y_i(1≤i≤n),方程g(x)=y_i都无实数根,则方程f(x)=0无实根。 相似文献
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本文给出绝对值方程:|f(x)+g(x)|=|f(x)|+|g(x)|的简捷解法。定理,方程|f(x)+g(x)|=|f(x)|+|g(x)|与不等式f(x),g(x)≥0同解。证明:|f(x)+g(x)|=|g(x)|+|g(x)|[f(x)+g(x)]~2=[|f(x)|+|g(x)|]~2f~2(x)+2f(x)g(x)+g~2(x)=f~2(x)+2|f(x)g(x)|+g~2(x)f(x)g(x)=|f(x)g(x)|f(x)g(x)≥0。 相似文献
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题目:已知x1是方程x lgx=10的根,x2是方程x 10x=10的根,则x1 x2的值为().A.8B.10C.11D.12解法一:图像法.如右图,作出y=lgx,y=10x,y=10-x的图像,由对称性易知x1 x22=5,则x1 x2=10,选B.解法二:估值法.y10y=10xy=xy=lgxxy=10-x01x25x1101设(fx)=x 1gx,g(x)=x 10x,它们在各自的定义域内都是增函数.因为f(9)=9 lg9<10,(f10)=10 lg10=11>10,所以(f9)<(fx1)<(f10),910,则g(0)相似文献
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正摘要解方程f(x)=0时,令方程中关于x的某部分f1(x),f2(x),…,f n(x)分别为u1,u 2,…,u n,我们把这种换元法称之为分部换元法.用此法解某些根指数较大而又不易直接化去根号的无理方程,to通常较为简便.常见的有以下两种类型. 相似文献
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零点定理是新教材中增加的一个重要定理,在解题中有着广泛的应用.什么是零点呢?对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.即方程f(x)=0有实数根图像y=f(x)与x轴有交点函数y=f(x)有零点.什么是零点定理呢?如 相似文献
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文 [1 ]利用定理 :设 0≤ fi≤ gi(i=1 ,2 ,… ,n) ,则f1 g22 - f 22 f2 g23- f23 … fn g21 - f21 =12 (g21 g22 … g2n) f 21 f22 =g22 ,f22 f23=g23,……f 2n f21 =g21 .给出解无理方程的一种方法 .但是 ,这种方法不易被初中学生接受 .实际上 ,能够利用该定理解的无理方程完全可以用恒等式 ab=a2 b22 - (a- b) 22 给予解决 ,而且初中生接受起来也并不困难 ,下面就以文 [1 ]中的几道例题为例 ,给予说明 .例 1 解方程x 4- y2 - y 9- z2 - z 9- x2 =1 1 .解 原方程可化为[x2 (4- y2 )2 - (x- 4 - y2 ) 22 ] [y2 (9- … 相似文献
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李晟 《数学大世界(高中辅导)》2005,(3):9-10
一、一个周期问题若T是f (x)、g(x)的周期,则 T 也是f(x)±g(x)的周期.这是容易证明的定理,也是同学们熟悉的性质.然而,把周期换成最小正周期,结论就未必成立了,即是说若T是f(x)、g(x)的最小正周期.那么,T就不一定是f (x)±g(x)的最小正周期.譬如 sin4x,cos2x 容易断定它们都以π为最小正周期,但 y= sin4x cos2x 的最小正周期是多少? 却是一个值得探讨的事,2004 年全国高考正是以此疑问设置了一道选择题,现介绍如下:二、一道高考题及快速解法函数y=sin4x cos2x的最小正周期为( )(A)π4 (B)π2 (C)π (D)2π快速解法,设f(x)=s… 相似文献
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宋荣军 《数学大世界(高中辅导)》2000,(2):30-30
形如√f(x)±√g(x)=F(x),^n√f(x)±^n√g(x)=a(常数)的无理方程，常用乘方、分离根号的方法求解，其方法普遗易得，但过程繁琐．现举几例说明设公差法解无理方程． 相似文献
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石庆洪 《中学数学研究(江西师大)》2013,(2):46-47
y=f(x)的抽象函数方程中,有些方程有特定的几何意义,如f(x)=f(2a -x),f(x)+f(2a-x)=2b分别是轴对称(对称轴x=a)中心对称(对称中心(a,b))函数,特别地,a=b=0时,分别是偶函数和奇函数,f(x+T)=f(x)是周期函数,记住它们对解决问题很有意义.本文用这几个抽象函数方程给出2012全国高考四川卷(文、理)数学12题的快捷解法. 相似文献
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我们知道,每一解析函数式,当把其中的变量看成未知数时,它就是方程;反之,每一方程,当把其中的未知数看成变量时,它就是函数或函数的特殊情形.方程 f(x)=0就可说是函数y=f(x)在 y=0时的情形.对于方程 f(x)=g(x)的解,可看成是函数 y_1=f(x)和函数 y_2=g(x)在 y_1=y_2时的 x 值.用研究函数的观点去研究方程,可使一些难题的解答具有直观性,方法别致、巧妙. 相似文献
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2004年高考数学试题(广东卷)第21题第(2)问中给出了一个新定理(介值定理),要求学生透彻地理解新定理,准确地把握新定理,灵活地运用新定理,进而解决所给出的新问题.解决这类问题的关键就是创设新定理所需要满足的条件,然后运用新定理的结论来解决问题.这类问题极富思考性和挑战性,值得认真研讨,下面采撷几例,供参考.1阅读领悟函数中的新定理例1设函数f(x)=x-ln(x+m),其中常数m为整数.(1)当m为何值时,f(x)≥0;(2)定理:若函数g(x)在[a,b]上连续,且g(a)与g(b)异号,则至少存在一点x0∈(a,b),使g(x0)=0.试用上述定理证明:当整数m>1时,方程f(x)=0在… 相似文献
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薛惠良 《苏州教育学院学报》1998,(1)
文(1)给出一元函数对称性的二个定理,判定函数图象的对称性,本文根据上述定理,给出周期函数的三个充分不必要条件,不揣浅陋,请予指教.我们知道,对于函数y=f(x),若存在非零常数t,使f(x)=f(x t)对于任意x恒成立,则f(x)是周期函数,t为f(x)的周期.定理1:若函数y=f(x)的图象有两条与Y轴平行的对称轴,则函数y=f(x)是周期函数.证明:设函数y=f(x)的图象的两条对称轴方程分别是x=a,x=b(a≠b),则有f(x)=f(2a-x),f(x)=f(2b-x),∴f(x)=f(2(b-a) x),故f(x)是周期函数且周期为2(b-a).定理2:若函数y=f(x)的图象在平行于X轴的直线上有两个对称中心,则f(x)是周期函数. 相似文献
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奇偶性是函数的重要性质之一,应用广泛,是高考和数学竞赛命题的热点,灵活运用它可使许多难题迎刃而解.现将函数奇偶性的应用归纳如下,以供同学们复习时参考.一、求函数的值例1若函数f(x)与g(x)定义在R上,且f(x-y)=f(x)g(y)-g(x)f(y),f(-2)=f(1)≠0,求g(1)+g(-1)的值.解f(y-x)=f(y)g(x)-g(y)f(x)=-f(x-y),所以f(x)是奇函数.令x=-1,y=1,则f(-2)=f(-1-1)=f(-1)g(1)-g(-1)f(1)=-f(1)g(1)-g(-1)f(1)=-f(1)[g(1)+g(-1)].∵f(-2)=f(1)≠0,∴g(1)+g(-1)=-1.二、求参量的值例2若关于x的方程arctan(1-x)+arctan(1+x)=a有唯一解,求a的值.解令f(x)=arct… 相似文献
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初中数学中的无理方程解法常见有以下几种: 一、直接平方法例1 (2001年上海市中考题)解方程:x+2~(1/2)=-x析解:将方程两边直接平方得x+2=x2, 解得x1=一1,x2=2(增根,舍去) 所以,原方程根为.x=-1. 相似文献
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在各类考试中,经常遇到与函数方程有关的问题,或直接求解某一给定的函数方程,或根据所给的函数方程确定某些函数值或确定函数具有某种性质,这类问题通常没有通法,解法因题而异,思路灵活而奇趣横生.本文以三个常见的初等代数函数方程为例,探讨其解法.在初等代数函数中,如下三种函数:(1)正比例函数:f(x)=kx(k≠0);(2)指数函数:f(x)=ax(a>0且a≠1);(3)对数函数:f(x)=logax(a>0且a≠1)在各自的定义域上都是单调函数,且它们分别满足性质:(1)f(x+y)=f(x)+f(y);(2)f(x+y)=f(x)·f(y);(3)f(xy)=f(x)+f(y).现在我们探讨逆问题是否成立,即分别满足这三… 相似文献
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吴赛瑛 《中学数学研究(江西师大)》2007,(9):15-18
文[1]给出了一个定理:若f(x)是[a,b]上的增函数,x f(x)=m,x f~(-1)(x)=m的两根分别为a,b,则a b=m.文[2]将这个定理推广为:若方程x 相似文献