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题目(2020泰国数学奥林匹克不等式)已知a,b,c∈R+,a+b+c=3,求证:a6/c2+2b3+b6/a2+2c3+c6/b2+2a3≥1(1). 相似文献
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《中学生数理化(高中版)》2016,(8)
<正>定理若a,b,c,d都是实数,则(a2+b2+b2)(c2)(c2+d2+d2)≥(ac+bd)2)≥(ac+bd)2,当且仅当ad=bc时,等号成立。一、二维柯西不等式的课本证明证明:(人教A版31页)(代数法)展开这个乘积,整理得(a2,当且仅当ad=bc时,等号成立。一、二维柯西不等式的课本证明证明:(人教A版31页)(代数法)展开这个乘积,整理得(a2+b2+b2)(c2)(c2+d2+d2)=a2)=a2c2c2+b2+b2 d2 d2+a2+a2 d2 d2+b2+b2c2c2。由于a2。由于a2c2c2+b2+b2 d2 d2+a2+a2 d2 d2 相似文献
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题目证明:对于任意ΔABC,不等式a cos A+b cos B+c cos C≤p成立,其中a,b,c为ΔABC的三边,A,B,C分别为它们的对角,p为半周长.解法1:原不等式等价于a(1-2 cos A)+b(1-2 cos B)+c(1-2 cos C)≤0①.由余弦定理,不等式①等价于a4+b4+c4-2(a2b2+b2c2+a2c2)+a2bc+b2ca+c2ab≥0②.要证明②式,只需证明(a2+b2+c2)2-4(a2b2+b2c2+a2c2)+abc(a+b+c)≥0,即证明(a2+b2+c2)3-4(a2b2+b2c2+a2c2)(a2+b2+c2)+abc(a+b+c)(a2+b2+c2)≥0③.由均值不等式可得abc(a+b+c)(a2+b2+c2)≥abc·33 abc·33 a2b2c2=9a2b2c2.故要证③式,只需证(a2+b2+c2)3-4(a2b2+b2c2+a2c2)(a2+b2+c2)+9a2b2c2≥0④,由舒尔不等式可知④式显然成立,因此原不等式得证. 相似文献
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本刊有奖解题擂台(138)如下:设a、b、c是正实数,证明或否定a2+b2+c2≥a·3√2/b3+c3+b·3√2/c3+a3+c·3√2/a3+b3。 相似文献
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陈宇 《中学数学研究(江西师大)》2013,(9):47-48
2011年爱沙尼亚国家队选拔考试第4题设a,b,c为正实数,满足2a2+b2=9c2,证明:（2c）/a+c/b≥31/2.侯典峰、郝明泉两位老师在文[1]中主要依据均值不等式,对该题给出了"三个简证".经过探求,笔者发现,借助权方和不等式证明该题,更显简洁.证明:由题设知a,b,c为正实数,满足2a2+b2 相似文献
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胡艳 《中学数学研究(江西师大)》2022,(2)
题目(2020泰国数学奥林匹克不等式)已知a,b,c∈R+,a+b+c=3,求证:a6/c2+2b3+b6a2+2c3+c6b2+2a3≥1(1)文[1]对(1)的证明方法,变式及推广做了探究,将(1)推广为。 相似文献
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《中学数学教学》2018,(5)
<正>题目设a,b,c> 0,且abc=1,求证:(2(1+a2)(1+b2)(1+b2)(1+c2)(1+c2))(1/2)≥1+a+b+c.这是2017年沙特阿拉伯JBMO的一道不等式,左边有根号而右边没有,因此将左边根号去掉是解题的关键.下面介绍两个漂亮证法与读者分享.证法1设复数z_1=1+ai,z_2=1+bi,z_3=1+ci,则1+a2))(1/2)≥1+a+b+c.这是2017年沙特阿拉伯JBMO的一道不等式,左边有根号而右边没有,因此将左边根号去掉是解题的关键.下面介绍两个漂亮证法与读者分享.证法1设复数z_1=1+ai,z_2=1+bi,z_3=1+ci,则1+a2=z_12=z_12,1+b2,1+b2=z_22=z_22,1+c2,1+c2=z_32=z_32, 相似文献
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陕西安振平老师在文[1][2]两次提出了如下一个颇有难度的无理不等式猜想,即已知a,b,c为正实数,则（a2/（a2+26bc））1/3+（b2/（b2+26ac））1/3+（c2/（c2+26ab））1/3≥1.（1）笔者经过一年多研究发现这个猜想不等式是成立的,现给出证明.证明:设x=（bc）/（a2）,y=（ac）/（b2）,z=（ab）/（c2）,则不等式（1）等价于下面命题,即x,y,z为正实数且xyz=1.则 相似文献
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1问题呈现设a,b,c为正实数,且a+b+c=3,求证:√ab/2a+b+c+√bc/2b+c+a+√ca/2c+a+b≤3/2.2问题的证明与推广证明:由已知条件结合均值不等式可得√ab/2a+b+c+√bc/2b+c+a+√ca/2c+a+b=√ab/3+a+√bc/3+b+√ca/3+c≤√ab/44√ a+√bc/44√ b+√ca/44√c=8√a3b4/2+8√b3c4/2+8√c3a4/2≤1+3a+4b/16+1+3b+4c/16+1+3c+4a/16=3+7 (a+b+c)/16=3+7×3/16=3/2,当且仅当a=b=c=1时取等号,则√ab/2a+b+c+√bc/2b+c+a+√ca/2c+a+b≤3/2. 相似文献
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《中学生数理化(高中版)》2016,(6)
<正>例题(2014年高考浙江省文科卷第16题)已知实数a,b,c满足a+b+c=0,a2+b2+b2+c2+c2=1。则a的最大值是。此题只是一个小小的填空题,但却以不等式、三角函数、函数与方程为背景,体现出数形结合的数学思想,充分显示"小情境、大数学"的丰富内涵。以下分别通过不等式、三角函数、函数与方程、数形结合等方面对其进行赏析。一、不等式 相似文献
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我们知道椭圆两种标准方程x2/a2+y2/b2=1（a>b>0）和y2/a2+x2/b2=1（a>b>0）中都有等式a2=b2+c2（其中c为半焦距）,而此等式正好满足勾股定理,构成了一个直角三角形（三边为a,b,c）,那么这样的三角形我们可以叫做椭圆的"特征三角形"。以x2/a2+y2/b2=1（a>b>0）为例,设B1,B2分别为椭圆的下上顶点,F1,F2分别为左右焦点,则△F2OB2就是这样 相似文献
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若(m+nR1/2)1/3能化简,则 m+nR1/2必能整理成（a+b）3的形式,现将化简的方法总结如下:设 a 为有理数,b 为无理数（这里指开方开不尽的数）,则在（a+b）3的形式 a3+b3+3a2b+3ab2中,a3+3ab2为有理数,b3+3a2b 为无理数,这样,可将a3+3ab2分解成 a（a2+3b2）,同时将 m 分解质因数, 相似文献
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《中学数学杂志》2016,(6)
<正>在求形如(A+B(1/2))(1/2))(1/3)+(A-B(1/3)+(A-B(1/2))(1/2))(1/3)(B≥0)的两个三次根式的代数和时,我们可把整个三次根式设为一个新变元,令x=(A+B(1/3)(B≥0)的两个三次根式的代数和时,我们可把整个三次根式设为一个新变元,令x=(A+B(1/2))(1/2))(1/3)+(A-B(1/3)+(A-B(1/2))(1/2))(1/3),然后利用两数和的立方公式:(a+b)(1/3),然后利用两数和的立方公式:(a+b)3=a3=a3+b3+b3+3ab(a+b)【此公式可通过(a+b)3+3ab(a+b)【此公式可通过(a+b)3=(a+b)3=(a+b)2(a+b)=(a2(a+b)=(a2+2ab+b2+2ab+b2)(a+b)求得.】将变换后的式子两边三次方,得到关于x的 相似文献