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对于三角函数中的周期性内容的学习问题 ,笔者认为应从如下四个方面进行．一、正确理解周期函数的概念２０００年人教版全日制高中数学第一册(下 )第５１页给出了周期函数的定义 :“一般地 ,对于函数 ｆ(ｘ) ,如果存在一个非零常数Ｔ,使得当ｘ取定义域内的每一个值时 ,都有ｆ(ｘ+Ｔ)＝ｆ(ｘ) ,那么函数 ｆ(ｘ)就叫做周期函数 ,非零常数Ｔ叫做这个函数的周期．”“对于一个周期函数ｆ(ｘ) ,如果在它所有的周期中存在一个最小的正数 ,那么这个最小正数就叫做ｆ(ｘ)的最小正周期．”对周期函数这一概念的理解 ,应注意以下几点 :１．若 ｆ(ｘ)是… 相似文献
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蔡上鹤 《中学数学教学参考》2001,(4)
83 .教学周期函数与周期的概念时 ,要注意些什么 ?答 :( 1 )如果函数 ｆ(ｘ)对其定义域内的 每一个值 ,都有 ｆ(ｘ Ｔ) =ｆ(ｘ) ,其中Ｔ是非零常数 ,那么ｆ(ｘ)叫做周期函数 ,Ｔ叫做它的一个周期 .在所有的Ｔ值中 ,如果存在一个最小的正数 ,就把这个最小的正数称为 ｆ(ｘ)的最小正周期 .( 2 )上述“每一个值”这四个字是必不可少的 .如果函数 ｆ(ｘ)不是当ｘ取定义域内的每一个值时 ,都有ｆ(ｘ Ｔ) =ｆ(ｘ) ,那么Ｔ不是 ｆ(ｘ)的周期 .例如 ,分别取ｘ1=π4 ,ｘ2 =π6,则由ｓｉｎ π4 π2 =ｓｉｎ π4 ,但ｓｉｎ π6 π2 ≠ｓｉｎ π6可知… 相似文献
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韩永强 《中学生数理化(高中版)》2003,(Z1)
由ｆ(ｍ+ｘ)=±ｆ(ｎ±ｘ)来判断抽象函数ｙ=ｆ(ｘ)的周期性或对称性的情况,这类问题可说是随处可见.那么,孰断周期,孰断对称?下面总结四种类型:类型一:由“ｆ(ｍ+ｘ)=ｆ(ｎ+ｘ)”可判断周期性定理1 定义在Ｒ上的函数ｙ=ｆ(ｘ),对于任给的ｘ∈Ｒ,若有ｆ(ｍ+ｘ)=ｆ(ｎ+ｘ)成立(其中ｍ、ｎ为常数,且ｍ≠ｎ),则函数ｙ=ｆ(ｘ)为周期函数,Ｔ=ｎ-ｍ为函数ｆ(ｘ)的一个周期(也可以说Ｔ=ｍ-ｎ).分析:此类情况属显性周期,即由周期函数定义可迅速获得上述结论.证明:由已知ｆ(ｍ+ｘ)=ｆ(ｎ+ｘ)对于ｘ∈Ｒ均成立,故ｆ[(ｎ-ｍ)+ｘ]=ｆ[ｎ+(ｘ-ｍ)]=ｆ[ｍ… 相似文献
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根据周期函数的定义 ,我们不难得到它的几个判定方法 .定理 1 设ａ、Ｔ是常数且Ｔ ≠ 0 ,若 ｆ(ｘ)对定义域内的任意一个ｘ ,满足 ｆ(ｘ+Ｔ) =ａ- ｆ(ｘ) ,则 ｆ(ｘ)是周期函数且它的周期为 2Ｔ .证明 ｆ(ｘ + 2Ｔ) =ｆ[(ｘ+Ｔ) +Ｔ]=ａ-Ｔ(ｘ+Ｔ) =ａ- [ａ-ｆ(ｘ) ]=ｆ(ｘ) ,即 ｆ(ｘ+ 2Ｔ)=ｆ(ｘ) .由周期函数的定义可知 ,ｆ(ｘ)是一个以 2Ｔ为周期的函数 .定理 2 设Ｔ是常数Ｔ ≠ 0 ,若 ｆ(ｘ)对定义域内的任意一个ｘ ,满足 ｆ(ｘ+Ｔ) =ｆ(ｘ-Ｔ) ,则ｆ(ｘ)是周期函数且它的周期为 2Ｔ .证明 ｆ(ｘ+ 2Ｔ) =ｆ[(ｘ+Ｔ) +Ｔ]=ｆ[(ｘ+Ｔ… 相似文献
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在函数的性质中 ,周期性占有特殊地位 .本文给出几个在对称条件下函数周期性的一些判定方法及其应用例举 .结论 1 如果一个函数的图象有两条对称轴ｘ=ａ与ｘ =ｂ,那么这个函数一定是周期函数 .具体地说 ,若函数 ｙ=ｆ(ｘ) ,对于定义域Ｒ上的任何ｘ ,都有 ｆ(ｘ) =ｆ( 2ａ-ｘ) ,ｆ(ｘ) =ｆ( 2ｂ -ｘ) (ａ≠ｂ) ,则函数 ｆ(ｘ)是周期函数 ,且 2｜ａ-ｂ｜为其一个正周期 .证明 对于任一ｘ∈Ｒ ,都有ｆ[2 (ｂ-ａ) +ｘ]=ｆ( 2ｂ-2ａ +ｘ)=ｆ( 2ａ-ｘ) =ｆ(ｘ) ,∴ｙ=ｆ(ｘ)是一个周期函数 ,2｜ａ-ｂ｜为其一个正周期 .根据结论 1 ,若函数 ｆ(ｘ… 相似文献
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也谈周期函数的几个问题 总被引：2，自引：0，他引：2
黄清涛 《中学数学教学参考》1999,(12)
一、与周期函数定义有关的问题１．关于定义域的特征文［１］所引用的周期函数的定义就是现行高中代数课本中的定义,即“对于函数ｙ＝ｆ（ｘ）,如果存在一个不为零的常数Ｔ,使得当ｘ取定义域内每一个值时,ｆ（ｘ＋Ｔ）＝ｆ（ｘ）都成立,那么就把函数ｙ＝ｆ（ｘ）叫做周期函数．不为零的常数Ｔ叫做这个函数的周期”．根据定义可知,若Ｔ是ｆ（ｘ）的一个周期,且ｆ（ｘ）的定义域为Ｍ,则对于任何ｘ∈Ｍ,都有ｘ＋Ｔ∈Ｍ,进而推知ｘ＋ｎＴ∈Ｍ（ｎ∈Ｎ）,因此,周期函数的定义域至少是一端无界的数集,在数轴上至少可以向一方无限延伸… 相似文献
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函数的性质一直以来都是高考的一个重要考点.如何准确灵活地把握函数的性质,顺利地解答有关问题,是需要我们探索和研究的课题.笔者从函数的周期性和奇偶性方面入手进行了如下研究:
一、函数的周期性
一般地说,对于函数y=f(x),如果存在一个不为零的常数T,使取定义域内的每一个x值时,f(x+T)=f(x)都成立,那么就把函数y=f(x)叫做周期函数,不为零的常数T叫做这个函数的周期.理解周期性要注意以下几点:1.定义适合定义域中的每一个x值.2.并不是所有周期函数都存在最小正周期,如常数函数f(x)=c,所有的正数都是它的周期,但没有最小值,故常数函数没有最小正周期.3.周期函数的周期不止一个,若T是周期,则kT(K∈N+)也是周期. 相似文献
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贾贞 《长江工程职业技术学院学报》2001,18(1):44-45
我们平常接触的周期函数多为三角函数。本文将介绍几个特殊的函数 ,并对其周期性及图象进行探讨。例 1.Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ函数 :Ｄ(ｘ) =1 (ｘ是有理数 )0 (ｘ是无理数 )分析 :设ｒ为任一非零有理数 ,则当ｘ为有理数时 ,ｘ +ｒ也为有理数 ;当ｘ为无理数时 ,ｘ +ｒ也为无理数。于是 ,由Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ函数的定义 ,有 :Ｄ(ｘ +ｒ) =1 ｘ是有理数0 ｘ是无理数∴ Ｄ(ｘ +ｒ) =Ｄ(ｘ)这说明 ｒ为Ｄ(ｘ)的周期。结论 :Ｄ(ｘ)为周期函数 ,任何一个非零有理数都是它的周期 ,且无最小正周期。例 2 .函数 ｆ(ｘ) =ｘ - [… 相似文献
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众所周知 ,三角函数都具有周期性 .本文利用类比、抽象的方法 ,通过由三角函数的周期得出一些函数的周期 .一、由诱导公式抽象出的具有周期性的函数(1 )由函数ｆ(ｘ) =ｔｇ π2ａｘ或ｆ(ｘ) =ｃｔｇ π2ａｘ(注 :ａ为非零正常数 ,用以使函数周期为相应的ｋａ ,ｋ∈Ｎ且ｋ >1形式 ,以下相同 )知周期是 2ａ ,且ｔｇ π2ａ(ｘ ａ)ｔｇ π2ａｘ=-1或ｃｔｇ π2ａ(ｘ ａ)ｃｔｇ π2ａｘ =-1 ,从而抽象出函数方程ｆ(ｘ ａ) =-1ｆ(ｘ) ,其周期是 2ａ .证 :因ｆ(ｘ 2ａ) =ｆ[(ｘ ａ) ａ]=-1ｆ(ｘ ａ) =ｆ(ｘ) .所以ｆ(ｘ)是周期函数 ,且周期为 2… 相似文献
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函数的周期性是函数的一个重要性质,如对其进一步的探讨,可以使我们加深对它的理解和掌握,达到灵活运用的目的。一、周期函数的概念关于周期函数的定义,教材中出现在三角函数一章。但一般代数函数中也广泛地存在周期函数,例如,函数ｆ（ｘ）＝ １（当ｘ为有理数） ０（当ｘ为无理数） 就是周期函数,每一个不为零的有理数都是它的周期,它没有最小正周期。另外,有的数列也具有周期性,例如,函数ｆ定义在整数集上,且满足ｆ（ｎ）＝ ｎ－３ （ｎ≥１０００） ｆ〔ｆ（ｎ＋５）〕（ｎ＜１０００） 当ｎ＜１０００时,ｆ（ｎ… 相似文献
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对于三角函数中的周期性内容的学习与把握 ,笔者认为应从如下四个方面进行 .1 正确理解周期函数的概念全日制高中数学第一册 (下 ) ,2 0 0 0年人教版第5 1页 ,给出了周期函数的定义 :“一般地 ,对于函数f(x) ,如果存在一个非零常数T ,使得当x取定义域内的每一个值时 ,都有 f(x+T) =f(x) ,那么函数f(x)就叫做周期函数 ,非零常数T叫做这个函数的周期 .”对于一个周期函数 f(x) ,如果在它所有的周期中存在一个最小的正数 ,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期 .对周期函数这一概念的理解 ,应注意以下几点 :(1)若 f(x)是周期函数 ,则其定… 相似文献
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本文的ｆ(ｘ)是定义在Ａ上的函数 ,对于任何一个ｘ ∈Ａ ,都有ｆ(ωｘ φ) =ｆ(ｘ) (其中ω、φ为常数 ) .众所周知 ,在上式中当ω =1、φ≠ 0时 ,,ｆ(ｘ)是Ｔ=φ的周期函数 ;当ω =- 1时 ,ｆ(ｘ)的图像关于直线ｘ =- φ2 对称 ;当ω =0时 ,ｆ(ｘ)是常值函数ｙ =ｆ(φ) .那么 ,当ω≠± 1、0时 ,ｆ(ｘ)又是如何的函数呢 ?设ｕ=ωｘ φ ,ｘ0 是Ａ上的任意一个自变量值 .1)若｜ω｜ <1,记ｕ1=ωｘ0 φ ,ｕ2 =ωｕ1 φ=ω2 ｘ0 ωφ φ ,… ,ｕｎ=ωｕｎ-1 φ=ωｎｘ0 ωｎ-1φ … ωφ φ=ωｎｘ0 1-ωｎ1-ωφ ,… .当ｎ→ ∞时 ,ｕｎ… 相似文献
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谈谈周期函数 总被引：1，自引：0，他引：1
曾建国 《中学数学教学参考》1999,(4)
周期性是函数的一条特殊而有趣的性质,在高中数学教材中并未作重点讨论．本文拟谈谈周期函数的几个问题,供教学时参考．一、关于周期函数的概念１．周期函数定义域的特征先看周期函数的定义：对于函数ｙ＝ｆ（ｘ）,如果存在一个不等于０的常数Ｔ,使得对定义域内任意的... 相似文献
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赵春祥 《中学数学教学参考》1996,(11)
数学竞赛中的周期问题河北乐亭二中赵春祥研究函数周期性或揭示数学中的周期现象是中学数学竞赛中的常见题型之一，下面分几个小问题来探讨．一、周期函数问题利用周期函数的定义判断或证明函数是周期函数，这是中学数学竟赛中的热点问题．例１设ｆ（ｘ）满足函数方程ｆ（... 相似文献
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今年全国高考数学最后一题〔理 (2 2 )题〕是 :设ｆ(ｘ)是定义在Ｒ上的偶函数 ,其图像关于直线ｘ=1对称 ,对任意ｘ1 ,ｘ2 ∈ 0 ,12 ,都有ｆ(ｘ1 ｘ2 ) =ｆ(ｘ1 )·ｆ(ｘ2 ) ,且ｆ(1 ) =ａ>0 .(Ⅰ )求ｆ 12 及ｆ 14;(Ⅱ )证明ｆ(ｘ)是周期函数 ;(Ⅲ )记ａｎ =ｆ 2ｎ 12ｎ ,求ｌｉｍｎ→∞(ｌｎａｎ) .这是一道涉及“函数方程”———含有未知函数的等式的试题〔见题中条件ｆ(ｘ1 ｘ2 ) =ｆ(ｘ1 ) ×ｆ(ｘ2 )〕 .此类题目在近些年全国高考中尚不多见 ,但在各类竞赛中却屡见不鲜 .寻求函数方程的解或证明函数方程无解叫做解函数方程 .下面… 相似文献
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20 0 1年全国高考理工农医类的压轴题是一个典型的函数问题 ,对这一试题的解答没有特别之处 ,但笔者认为 ,发散探究这一试题却妙趣横生 .试题 :设ｆ(ｘ)是在定义Ｒ上的偶函数 ,其图像关于直线ｘ =1对称 ,对任意ｘ1 ,ｘ2 ∈0 ,12 ,都有ｆ(ｘ1 ｘ2 ) =ｆ(ｘ1 ) ·ｆ(ｘ2 ) ,且ｆ(1 ) =ａ>0 .(1 )求ｆ 12 及ｆ 14;(2 )证明ｆ(ｘ)是周期函数 ;(3)记ａｎ =ｆ2ｎ 12ｎ ,求ｌｉｍｎ→∞(ｌｎａｎ) .下面对该题进行发散探究 .一、题设与结论的分析1 .题设分析本题题设包括 :(1 )函数的奇偶性 ;(2 )函数的对称性 ;(3)某区间上的函数模型及确定该函… 相似文献
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综观近年高考试题和中学数学期刊 ,抽象函数问题已经成为新的视点。然而 ,在这类问题的编制和求解中 ,若稍有疏忽也易致误。本文就几道流行题做一剖析 ,以期引起关注。例 1 (2 0 0 1年天津市高考模拟题 ) 已知 ｆ(ｘ)是定义在Ｒ上的偶函数 ,若 ｇ(ｘ)是奇函数 ,且 ｇ(ｘ)=ｆ(ｘ -1 ) ,ｇ(2 ) =2 0 0 1 ,则 ｆ(1 999)的值等于 ( )(Ａ) -2 0 0 0 (Ｂ) -2 0 0 1(Ｃ) 2 0 0 0 (Ｄ) 2 0 0 1通常的求解思路是 :由题意 ,知 ｆ(ｘ) =ｇ(ｘ +1 ) =-ｇ(-ｘ -1 )=-ｆ(-ｘ -2 ) =-ｆ(ｘ +2 ) ,∴ｆ(ｘ) =ｆ(ｘ +4) ,则 ｆ(ｘ)是周期函数 ,… 相似文献
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众所周知,三角函数是周期函数,如何求三角函数的最小正周期,对初学者有一定的困难,为了使学生会求一般形式的三角函数的周期,本文介绍几种常用方法．一、定义法根据周期函数的定义,ｆ（ｘ＋Ｔ）＝ｆ（ｘ）,（Ｔ≠０）,求出周期Ｔ的最小正值．例１求函数ｙ＝ｓｉ... 相似文献