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王德昌 《数理化学习(高中版)》2013,(2):11-12
在处理解析几何问题时,如能根据问题的特点,从整体上把握、处理题目中的一些条件和元素,常可收到简化运算的奇效.本文举例说明之.一、利用圆锥曲线定义,整体处理例1已知:椭圆x225+y29=1,F1、F2为焦点,点P为椭圆上一点,∠F1PF2=π3,求S△F1PF2.解:注意到点P为椭圆上一点,根据椭圆的定义,有|PF1|+|PF2|=10,设|PF1|=r1,|PF2|=r2. 相似文献
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圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线,是平面解析几何中的重要内容,三种圆锥曲线的定义既是教材的重要基本内容,也是解决许多问题的一种有效途径.有些问题若能巧用定义法则迎刃而解.在教学实践中,我们要积极主动培养学生建立采用定义法解题的意识.众所周知:平面内与两定点F1、F2距离之和等于常数2a(2a>|F1F2|)的动点的轨迹是椭圆.与两定点F1、F2距离之差的绝对值等于常数2a(2a<|F1F2|的动点轨迹是双曲 相似文献
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一、利用定义圆锥曲线的定义是其一切几何性质的“根”与“源”,有关离心率范围的问题可直接应用定义求解.【例1】已知双曲线x2a2-yb22=1(a>0,b>0)的左、右两焦点分别是F1、F2,P是它左支上的一点,P到左准线的距离为d,若d、|PF1|、|PF2|成等比数列,求离心率e的取值范围.解析:由题意容易联想到双曲线的定义:|PF1|d=e,|PF2|-|PF1|=2a.由题意知d·|PF2|=|PF1|2,由这三个关系式可解得:|PF1|=e2-a1,|PF2|=e2-ea1.因|PF1| |PF2|≥|F1F2|,故e2-a1 e2-ea1≥2c=2ea.即e2-2e-1≤0.解得:1相似文献
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解析几何的本质是用代数方法研究几何问题,而三角可以实现几何特征与代数运算的有效转化,因此解析几何中的三角问题俯拾即是:一、以三角为工具,用三角的一整套变换公式,求解圆锥曲线的特征变量【例1】设P是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上任意一点,F1、F2是椭圆的焦点,∠PF1F2=α,∠PF2F1=β,求椭圆的离心率e.解:由正弦定理得|PF1|sinβ=|PF2|sinα=|F1F2|sin(π-α-β),∴|PF1|+|PF2|sinα+sinβ=|F1F2|sin(α+β),即2asinα+sinβ=2csin(α+β),而e=ca,∴e=sin(α+β)sinα+sinβ=2sinα+β2cosα+β22sinα+β2cosα-β2=cosα+β2cos… 相似文献
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离心率是圆锥曲线的重要概念之一 ,是刻划圆锥曲线形状的主要参数 .对椭圆和双曲线都有 e =ca,下面对其求法归纳如下 ,供同学们参考 .一、直接利用定义因为 e=ca,所以只需求得 a与 c之间的关系即可 .例 1 已知椭圆的一个焦点将长轴分成 3∶ 2两段 ,求其离心率 e.解 :a + ca - c=32 ,∴ a =5c,∴ e =ca =15.例 2 过双曲线 x2a2 - y2b2 =1的右焦点 F2 作垂直于实轴的弦 PQ ,F1是左焦点 ,若∠ PF1Q =6 0°,求离心率 e.解 :∵ | F1F2 | =2 c,∠ P F1F2 =30°,∴ | PF2 | =| F1F2 | tan30° =2 33c,| PF1| =2 | P F2 | =4 33c.又 | PF… 相似文献
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王玉英 《数理化学习(高中版)》2002,(5)
在解析几何的解题过程中,经常遇到某些有特殊意义的数量关系,若能及时抓住它们的几何特征,并联想到已熟悉的知识,便能迅速地使某些问题得以解决,圆锥曲线的定义中的数量关系十分明显,若能正确地应用其解决有关问题,往往能达到事半功倍的目的.现举几例来说明它的应用. 1.求离心率 例1 已知椭圆上的一点P、F1、F2是椭圆的两个焦点,∠PF1F2=90°,∠PF2F1=30°,则椭圆的离心率为_. 解:如图1,设椭圆方程为x2/a2+y2/b2=1.在Rt△PF1F2中,∵∠PF2F1=30°.∴|PF1|=1/2|PF2|, 相似文献
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一、利用圆锥曲线的定义有关圆锥曲线的最值问题,利用圆锥曲线的定义,常常会使问题的解决显得非常巧妙!例1若点A坐标为(3,2),F为抛物线y~2= 2x的焦点,点P在该抛物线上移动,为使|PA| |PF|取得最小值,点P的坐标为______。 相似文献
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利用定义解圆锥曲线问题是解决解析几何问题的重要思路,通过多年的教学研究,笔者归纳出一些规律,并在教学实践中加以应用,取得了良好的效果,下面笔者分5种类型加以阐述.1要善于利用定义确定轨迹和轨迹方程,同时注意定义的条件例1已知双曲线x2a2-y2b2=1（a〉0,b〉0）,P在右支上,F1、F2为焦点,∠F1PF2的角平分线为PM,F1M⊥PM于点M,求M的轨迹方程. 相似文献
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本文探索了椭圆、双曲线焦半径与焦半径夹角的关系,得到如下两个结论. 定义圆锥曲线上一点与其焦点的连线段叫做焦半径. 定理1 P(x0,y0)是椭圆x2/a2 y2/b2=1(a>b>0)上一点,F1(-c,0),F2(c,0)是左右焦点,设|PF1|=r1,|PF2|=r2,∠F1PF2=θ,则 2b2/1 cosθ=r1r2,且tanθ/2=c|y0|/b2. 证:如图,在△F1PF2中有 相似文献
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我们知道,圆锥曲线是高考考查的重要内容之一,而圆锥曲线中的最值问题更是无处不在.在很多教学参考书中,我们都会见到这样的类似问题:已知椭圆C的方程为1x62+1y22=1,F1、F2是它的左、右两个焦点,点A的坐标为(3,1),试在椭圆上求一点P,(1)使得|PA|+|PF2|最小;(2)使得|PA|+2|PF2|最小,并求出相应的最小值.(亦可把椭圆改为双曲线或抛物线,有类似的问题)类似于这样的问题,初学者往往很难作答,即使在老师的讲解和点拨下也不易掌握.基础好的同学还可以理解,一般的同学下次再遇到类似的问题时仍然难以做对,还会出现很多不应有的错误.这里笔者… 相似文献
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以圆锥曲线准线上的两点为直径端点的圆称之为准线圆,本文给出准线圆的一个有趣定点性质,介绍如下.定理设A1,A为横向型圆锥曲线对称轴上的两顶点,P是曲线上不同于A1,A的一个动点,直线PA1,PA与同一条准线分别交于M1,M两点,则以线段M1M为直径的圆必经过曲线与该准线相应的焦点及曲线外的一个定点.证明以圆锥曲线对称轴所在直线为x轴,F为坐标原点建立直角坐标系.设焦点F到相应准线l的距离为p,则F(0,0),准线l的方程为x=-p.设R(x,y)是圆锥曲线上的一点,它到准线的距离为d,则由题设及圆锥曲线统一定义得|PF|d=e|PF|2=d2e2x2 y2=e2(x p)2.… 相似文献
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顾玉石 《数理天地(高中版)》2004,(4)
例1 设F1、F2是椭圆x2/9 y2/4=1的两个焦点,P是椭圆上的一点,且|PF1|:|PF2|=2:1,则△PF1F2的面积等于___.(03年高中联赛) 分析由椭圆的第一定义|PF1| |PF2|是定值2a,及|PF1|:|PF2l|=2:1可得|PFl|和|PF2|,又|F1F2|为焦距,则△PFlF2的三边长都已知,可求面积. 相似文献
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本文介绍椭圆与双曲线的一个有趣性质,并说明其应用. 性质 1 设P点是椭圆b2x2+a2y2=a2b2(a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点,记∠F1PF2=θ,则|PF1|·|PF2|=2b2/1+cosθ 简证:由椭圆定义有|PF1|·|PF2|=2a (1) 在△PF1F2中,由余弦定理有|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cosθ=4c2 (2) (1)2-(2)化简得 相似文献
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确定圆锥曲线离心率的取值范围是解析几何的一种重要题型 ,在各级各类的试题中屡见不鲜 ,下面仅就双曲线离心率范围的求解策略进行总结 ,希望能对大家的学习有所启发和帮助 .1 回归定义例 1 已知F1 、F2 是双曲线 x2a2 -y2b2 =1(a >0 ,b>0 )的左、右焦点 ,l为左准线 ,P是双曲线左支上一点 ,并且｜PF1 ｜是P到l的距离d与｜PF2 ｜的等比中项 ,试求离心率e的取值范围 .解 如图 1,由题设及双曲线的第二定义可知｜PF2 ｜｜PF1 ｜ =｜PF1 ｜d =e ,即｜PF2 ｜=e｜PF1 ｜① ,由双曲线的第一定义知｜PF2 ｜-｜PF1 ｜=2a② .联立① ,②解… 相似文献
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《中学生数理化(高中版)》2017,(1)
<正>利用圆锥曲线定义解决解析几何问题,是同学们必须掌握的解题技巧,由于圆锥曲线的定义常常与几何问题联系在一起,因此其难度较大,需要对定义深入理解后才能够全面掌握。一、应用圆锥曲线定义解答离心率问题例1如图1,双曲 相似文献
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《考试说明》要求考生:1掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程及其几何性质和椭圆的参数方程;2掌握圆锥曲线的初步应用.下面介绍圆锥曲线基础试题的考点和解析.考点1 求椭圆坐标的取值范围例1 (2000年新课程卷高考题)椭圆x29+y24=1焦点为F1和F2,点P为椭圆上的动点.当∠F1PF2为钝角时,点P的横坐标的取值范围.解析:设P(x0,y0)是曲线x2a2±y2b2=1上的一点,则|PF1|=|a+ex0|,|PF2|=|a-ex0|(e为离心率,F1、F2为左、右焦点).运用焦半径公式可简捷地解决与焦点三角形有关的问题.解:a=3,b=2,c=5.设P(x,y),由焦半径公式知|PF1|=3+53x.|… 相似文献
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所谓椭圆焦点三角形是指椭圆上任一点与其两焦点构成的三角形 .本文以椭圆 x2a2 + y2b2 =1 (a >b>0 )为例 ,利用其定义及性质来证明△F1PF2 的十一个性质 .记P(x0 ,y0 ) ,∠F1PF2 =γ ,∠PF1F2 =α ,∠PF2 F1=β ,c =a2 -b2 ,e =ca ,则有以下性质 :性质 1 △F1PF2 的周长为 2a + 2c .证明略 .性质 2 |PF1| =a +ex0 ,|PF2 | =a -ex0 .证明略 .性质 3 △PF2 F1的面积S =b2 tan γ2 .证明 设 |PF1| =m ,|PF2 | =n ,则△PF2 F1的面积S =12 mnsinγ .由椭圆定义得m +n =2a .又由余弦定理得4c2 =m2 +n2 - 2mncosγ=(m +n) 2 -… 相似文献
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圆锥曲线的离心率,是描述曲线形状的重要参数.它除拥有求参数取值范围的一般方法外,还有着自己独特的一面.如何寻求合适的等式并将其过渡为含离心率e 的不等式,有着较为灵活的方法和技巧.本文通过列举实例,介绍一些常用的求离心率范围的方法. 1 解析几何的方法 1.1 利用曲线定义 圆锥曲线的统一定义都与离心率密不可分,在题中挖掘这隐含信息有助于解题. 例1 已知双曲线22221xyab-=的左、右焦点为1F、2F,左准线为,lP是双曲线左半支上一点,并且1||PF是P到l的距离d与2||PF的比例中项,求双曲线离心率的范围. 解 由题设知211||||||PFP… 相似文献
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椭圆x2/a2 y2/b2=1(a>b>0)中除长轴两端点外的任一点P(x1,y1)与两焦点F1(-c,0)、F2(c,0)所组成的三角形PF1 F2叫做焦点三角形 .焦半径|PF1|=a ex1,|PF2|=a-ex1.焦点三角形具有不少有益的结论,而对这些结论的证明亦颇有启迪性;并且这些结论在解题中也能起到不少帮助. 1.△PF1F2的周长为定值. 这个结论显而易见.由椭圆定义知|PF1| |PF2|=2a,而|F1F2|=2c,因此这个定值为2a 2c. 相似文献
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<正>最近,我有幸聆听了我校一位资深教师的数学公开课,主讲内容是高三第二轮复习解析几何专题.授课教师力求对解析几何问题求解的常见方法与思想进行梳理,让学生体会到"直线与圆锥曲线位置关系"有关综合问题常用的数学思想与方法、解题的基本规律与技巧等,从而提高综合分析问题和解决问题的能力.其中一道解析几何题引起了我的极大兴趣,课后在评课时才知道,这道解析几何题选自安徽省合肥市2013届高三第三次教学质量检测理科数学第20题.1原题再现,解法分析题目平面内定点F(1,0),定直线l:x=4,P为平面内动点,作PQ⊥l,垂足为Q,且|→PQ|=2|→PF|.(1)求动点P的轨迹方程;(2)过点F与坐标轴不垂直的直线,交动点P的轨迹于A、B,线段AB的垂直平分线交x轴于点R,试判断|FR||AB|是否为定值. 相似文献