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现行高中数学教材“不等式”一章中,只讲了两个正数的均值不等式,即:如果a,b为正数,那么(a b)/2≥ab~(1/ab)(*),而把三个正数的均值不等式却放在了阅读教材中。因此,对不等式(*)进行变 相似文献
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由教材例习题引发的思考 总被引：2，自引：0，他引：2
李秀元 《中学数学教学参考》2004,(3):6-7
“如果a ,b∈R ,那么a2 b2 ≥2ab(当且仅当a =b时取“=”号)”,这是高中数学一个非常重要的定理,有着广泛的应用.如果限定a ,b∈R ,则得到a b2 ≥ab ,其中a b2 、ab分别称为正数a、b的算术平均数与几何平均数.对此,《教师教学用书》要求:“掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理,并会简单的应用.”教材在编写上也不涉及三个正数的情形,对于出现含三个正数的不等式,则是建立在两个正数的基础上,运用不等式的性质相加得到的,不属于三个正数平均值范畴.纵观不等式全章,我发现在所提供的两个正数不等式中,有… 相似文献
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李丽丽 《数理化学习(高中版)》2002,(19)
高中数学第二册上§6.2均值不等式定理:如果a、b是正数,那么a+b/2≥ab~(1/2)(当且仅当a=b时取“=”号),它有如下推广:如果a1,a2,…,an(n ∈N),n≥2)均为正数,那么(当且仅当a1=a2=…=an时取“=”号). 相似文献
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范灵超 《数学大世界(高中辅导)》2005,(9)
不等式a b≥2ab(a、b∈R )(当且仅当a=b时等号成立)a b2≥ab(a、b∈R )(当且仅当a=b是等号成立),其中a b2、ab分别是a与b的算术平均数、几何平均数,故简称其为“均值”不等式或“均值”定理.另外均值不等式可推广为三个(或多个)变元的形式,即:a b c≥33abc(a、b、c∈R )(当且仅当a=b=c时等号成立)a1 a2 a3 … an≥na1a2a3…an(a1,a2,a3,…,an∈R )(当且仅当a1=a2=a3=…=an时等号成立)均值不等式的功能除用于比较数的大小及证明不等式外,主要用于求函数的最值,在使用均值不等式求最值时必须具有三个缺一不可条件,即为:一正:诸元皆正;二定:… 相似文献
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高级中学数学第二册 (上 )第六章一组不等式 :1 如果a ,b ∈R ,那么a2 b2 ≥2ab(当且仅当a =b时取“=”号 ) (P9性质定理 ) .2 .已知a ,b是正数 ,且a≠b .求证a3 b3>a2 b ab2 (P12 例 3) .3.如果a ,b是正数 ,且a≠b是正数求证a6 b6 >a4 b2 a2 b4 (P16 习题 2 ) .从结构上看 ,三式之间有惊人的相似 ,反映了相关数学的本质属性 .由此类比拓展 ,可以得到更一般性的结论 ,形成新的解题序列 ,发挥教材的效应 .引申 1 如果a ,b是正数 ,那么an bn≥an- 1b abn- 1(n∈N ,n >1 ) (当且仅当a=b时取“=”号 ) .证明 an bn - (an- 1b abn- 1)… 相似文献
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均值不等式的定理: 如果a,b是正数,那么a b/2≥ab(当且仅当a=b时取"="号),我们称a b为a,b的算术平均数,称√ab为a,b的几何平均数. 相似文献
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不等式定理之一:如果a、b都为正数,那么(a b)/2≥ab~(1/ab)(当且仅当a=b时,取“=”号)。该不等式表明:变量a、b,当a＞0,b＞0时,若a b=常数,则在a=b 相似文献
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谭红明 《数理天地(高中版)》2012,(11):46-46,45
若a、b、C为正数,a＋b＋c/3≥^3√abc当且仅当a=b=c时,等号成立,这个不等式通常叫做三元均值不等式,它有两个推论： 相似文献
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数学科《考试说明》要求学生:1理解不等式的性质及其证明;掌握简单不等式的解法;掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式.2掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理及其应用.3理解不等式|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|.下面介绍高考不等式基础试题考点及解析.考点1 均值不等式定理简单应用例1 (1999年全国高考题)若正数a,b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是.解析:运用均值不等式求和的最小值或积的最大值时,必须具备三个条件:各数为正;和或积为定值;等号应能成立.解:由均值不等式定理得ab=a+b+3≥2ab+3.即(ab+1)(… 相似文献
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基本不等式(一些教材上也称重要不等式或均值不等式)可以叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数,即a+b2≥槡ab(a≥0,b≥0)(这里a,b可以为0).基 相似文献
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（a+b）/2≥ab1/2（a,b∈R+,当且仅当a=b时取"="号）,（a+b）/2为a,b的算术平均数,ab1/2为a,b的几何平均数.此不等式即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的均值定理.应用均值定理时,需满足正（a,b均大于0）、定（a,b的和或积为定值）、等（a=b可以成立）三个条件.但是一些学生在应用解题时,常会出现貌似合理的解法,却造成矛盾或错误的结果等现象,究其原因,往往是对均值不等式中的"="的理解出现误区所致.实际上,均值不等式本身有其双重性.一方面, 相似文献
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1从实数的性质说起由于实数有“大小可比性”,因此才有关于实数的“不等式”.由于实数的平方有“不负性”,因此才有了正数的“平均不等式”.设x∈R,则有x~2≥0,令x=a-b,则有(a-b)2≥0a~2 b~2≥2ab,用a替代a~2,用b替代b~2,则有a b≥2ab,于是得到(a b)/2≥ab(a=b时等号成立).这就是著名的平均不等式:2个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.显然,要证明这个不等式的正确性,可用配方法回到“实数平方的不负性”上.证明因为a2 b-ab=a-22ab b=12(a-b)2≥0a 2b≥ab.图解在平均不等式a2 b≥ab中,视a2 b和ab分别为2条线段长,可以解释它们之间的… 相似文献
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如果a,bR,那么a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”号).该结论利用作差法极易证明.下面给出其推论及应用.推论1如果a,b是正数,那么a+b2≥ab√(当且仅当a=b时取“=”号).这个定理又可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.其应用极其广泛,常用于求最值、比较大小、求取值范围和证明不等式等.例1若实数a,b满足a+b=2,则3a+3b的最小值是A.18B.6C.23√D.234√解3a+3b≥23a·3b√=23a+b√=6(当且仅当a=b=1时取“=”号).即3a+3b的最小值为6.选B.推论2如果a,bR,那么a2+b2≥2｜ab｜(当且仅当｜a｜=｜b｜时取“=”号).证明∵a2+b2=… 相似文献
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公式原形:a2+b2≥2ab(a,b∈R,当且仅当a=b时取“=”).公式变形:a2/b+b≥2a(b∈R+,当且仅当a=b时取“=”).一、巧添项去分母均值不等式中“等号”的巧用@罗培基~~ 相似文献
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柳金爱 《语数外学习(高中版)》2008,(29):63-64
基本不等式（√a^2＋b^2）/2≥（a＋b）/2≥√ab（当且仅当a=b时,等号成立）的应用要注意两个问题：（1）“一正二定三等”．一正,即a,b两个数为正数;二定,即两个正数的乘积为定值;三等,即等号成立的等价条件是“a=b”．（2）规律是：积定和最小,和定积最大．本文谈谈基本不等式在解析几何中的运用． 相似文献
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新教材“不等式”一章中 ,把两项的重要不等式 a2+ b2 ≥ 2 ab ( a,b∈ R)和 a + b2 ≥ 2 ab ( a,b是正数 ) ,独立地列为一节“6 .2算术平均数与几何平均数”,删去了旧教材中三项的重要不等式 ,这说明了新教材更突出了基本知识和基本的转化思想 ,其它我们仅从这个最基本的不等式出发就可以做出精彩的文章 ,甚至解一些高难度的问题 .一、拆项例 1 (第 9届“希望杯”高二培训题 )已知 x,y,z是正数 ,求函数 u( x,y,z) =xy + yzx2 + y2 + z2 的最大值 .解 :u( x,y,z) =xy + yzx2 + y2 + z2= xy + yz( x2 + y22 ) + ( y22 + z2 )≤ xy + yz2 x… 相似文献
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高中教材中基本不等式a+b2 ≥ab(a>0 ,b >0 )是证明不等式时经常要用到的 ,等号成立的条件是“a=b” .若对a +b =P(定值 )当且仅当a =b=P2 (定值 )时 ,ab才取得最大值 .利用这一结论 ,我们可以证明一类不等式 :例 1 已知a、b都是正数 ,且a +b =1,求证 : a+1+b+1≤ 6.证明 由a +b=1,知当a =b=12 时有a +1=b +1=32 ,于是有a +1· 32 ≤a+1+322 ,b+1· 32 ≤b+1+322 ,两式相加 ,得a +1· 32 +b +1· 32≤ a+b +2 +32 =3 ,即 a+1+b+1≤ 6.上式的证明过程中先凑出了一个数32 ,这是根据字母a、b在题设条件和结论中地位是对等的 (即在条… 相似文献
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李军焰 《中学数学研究(江西师大)》2022,(2)
在一些不等式问题所给出的条件中,“已知正数a,b,c满足abc=a+b+c+2”出现的频率较高.本文首先给出“abc=a+b+c+2”的几个等价形式,然后探究以“abc=a+b+c+2”或它的等价形式为条件的一些不等式问题,最后探究“abc=a+b+c+2”的几何背景,仅供参考. 相似文献